專題 三角函數(shù)與圓-利用圓轉(zhuǎn)化角求三角形函數(shù)

專題三角函數(shù)與圓-利用圓轉(zhuǎn)化角求三角形函數(shù)

已知一個(gè)半徑為1的圓⊙O，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M。求sinCBD的值。解析：根據(jù)三角形性質(zhì)，△CBD和△OMB相似。所以，CD/OM=BD/BM。又因?yàn)镺M=OB×sinOBA=1×sinOBA=sinCBD，BM=AB×sinOBA=2×sinOBA=2sinCBD。所以，CD=2OMsinCBD=2sinCBD×sinCBD=2sin2CBD。因此，答案為D。已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為1，D、E分別為AB，AC的中點(diǎn)。求sin∠BAC的值。解析：根據(jù)三角形性質(zhì)，△ADE和△ABC相似。所以，AD/AB=AE/AC=DE/BC=1/2。因?yàn)镈E=BC/2=2sinBAC，所以AD=AB/2=1，AE=AC/2=√3/2。所以，sin∠BAC=DE/AD=2sinBAC=2sin60°=√3。因此，答案為D。已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑r＝3，AC＝2。求cosB的值。解析：因?yàn)锳D是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°。根據(jù)余弦定理，cosB=(AB2+BC2-AC2)/(2×AB×BC)=(AB2+BC2-4)/(4AB)。根據(jù)正弦定理，AB=2r×sinB=6sinB，BC=2r×sinC=6sinA。所以，cosB=(36-4)/(24sinB)=(32/24)×(1/sinB)=4/3sinB。因?yàn)閟inB=AC/2r=1/3，所以cosB=4/9。因此，答案為B。已知直角梯形ABME中，∠M＝90°，BM∥AE，以AB為直徑的⊙O與EM切于點(diǎn)C，連BE，若AE＝6，AB＝10。求tan∠BEM的值。解析：因?yàn)橐訟B為直徑的⊙O與EM切于點(diǎn)C，所以CE=CB=5。根據(jù)相似三角形性質(zhì)，△BEM和△BAC相似。所以，BE/BA=BM/BC=ME/AC。因?yàn)锽M∥AE，所以BM/ME=AB/AE=10/6=5/3。所以，BE/BA=5/3×ME/AC=5/3×ME/6=5ME/18=5/18ME。因此，tan∠BEM=ME/BE=18ME/5BE=18ME/5(10-ME)=18ME/(50-5ME)=18/5=3.6。因此，答案為C。已知⊙O與矩形ABCD的邊CD切于E，交BC于F，M為BF上一點(diǎn)，若CE＝7，AD＝7。求tan∠M的值。解析：因?yàn)椤袿與矩形ABCD的邊CD切于E，所以CE=OB=7。因?yàn)榫匦蜛BCD，所以AD=BC=7。因?yàn)椤鰾FC和△BME相似，所以BF/BE=BC/BM=7/BM。因?yàn)镃E=OB，所以△CBE是等腰三角形，所以∠CBE=∠CEB。因?yàn)椤螩EB=∠COB，所以∠CBE=∠COB。因?yàn)椤鰿OB是直角三角形，所以∠CBE=∠COB=90°。因?yàn)椤鰿BE和△MFB相似，所以ME/FB=CE/CB=1。所以，ME=FB。因?yàn)椤鱉FB和△CDE相似，所以FB/CD=BM/CE=BM/7。所以，F(xiàn)B=BM×7/CD=BM×7/14=BM/2。因?yàn)镸E=FB，所以ME=BM/2。因?yàn)椤鰾ME是直角三角形，所以tan∠M=ME/BE=BM/2BE=BM/2(BC+CE)=BM/(BC+CE/2)=BM/11。因此，答案為B。已知⊙O的半徑為10，AB＝6，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于D。求sinCBD的值。解析：因?yàn)椤鰽BC內(nèi)接于⊙O，所以BD是△ABC的高，所以BD=2×AB/BC=2×6/20=3/5。根據(jù)勾股定理，AD=√(AB2-BD2)=√(62-(3/5)2)=√(351/25)。因?yàn)镺D=OA=OB=OC=r=10，所以CD=2OD=20。因?yàn)閏osCBD=BD/CD=3/20，所以sin2CBD=1-cos2CBD=1-(3/20)2=391/400。因此，sinCBD=√(391/400)。因此，答案為C。已知AB為⊙O的直徑，弦AC、BD相交于P點(diǎn)，∠BPC＝α。求CD/AB的值。解析：因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°。因?yàn)椤鰾PC和△APD相似，所以CD/AB=PD/PC=BD/AC。因?yàn)椤鰾PD和△CPA相似，所以BD/AC=PD/PC=BP/CA。因?yàn)锽P+PC=BC=AB，所以BP=AB-PC。因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，所以CA2+CB2=AB2。因?yàn)椤螦CB=90°，所以CA2+CB2=AC2。所以，AC2=AB2-BC2=AB2-4r2=4r2。因?yàn)锳B=2r，所以r=AB/2=CD。因?yàn)锽P=AB-PC，所以BD/AC=BP/CA=(AB-PC)/CA=A