專題07 數(shù)列-學(xué)易金卷：五年（2019-2023）高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（新高考通用）含答案

五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題07數(shù)列考點(diǎn)一數(shù)列的函數(shù)特性1．（2020?浙江）已知數(shù)列滿足，則．考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)2．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件考點(diǎn)三等差數(shù)列的前n項(xiàng)和3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個(gè)．4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．5．（2020?海南）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前項(xiàng)和為．6．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．考點(diǎn)四等比數(shù)列的前n項(xiàng)和7．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．120 B．85 C． D．考點(diǎn)五等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合8．（2022?浙江）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．9．（2022?新高考Ⅱ）已知是等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合，中元素的個(gè)數(shù)．10．（2020?上海）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時(shí)的最小值．考點(diǎn)六數(shù)列遞推式11．（2022?浙江）已知數(shù)列滿足，，則A． B． C． D．12．（2020?浙江）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是A． B． C． D．13．（2019?浙江）設(shè)，，數(shù)列滿足，，，則A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，14．【多選】（2021?新高考Ⅱ）設(shè)正整數(shù)，其中，，記，則A． B． C． D．15．（2021?上海）已知，2，，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為．16．（2019?上海）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，則．17．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫出逆命題，并判斷命題是真是假，說(shuō)明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．（2021?浙江）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)七數(shù)列的求和19．（2021?浙江）已知數(shù)列滿足，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．20．（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．21．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么．22．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．23．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．24．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和．25．（2020?海南）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求．26．（2020?山東）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間，中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．27．（2020?浙江）已知數(shù)列，，滿足，，．（Ⅰ）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若為等差數(shù)列，公差，證明：，．考點(diǎn)八數(shù)列與不等式的綜合28．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．考點(diǎn)九數(shù)列與函數(shù)的綜合29．（2023?上海）已知，在該函數(shù)圖像上取一點(diǎn)，過點(diǎn)，做函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，若，則過點(diǎn)，做函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，以此類推，，，直至停止，由這些項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．（1）設(shè)屬于數(shù)列，證明：；（2）試比較與的大小關(guān)系；（3）若正整數(shù)，是否存在使得、、、、依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．（2019?浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列滿足：對(duì)每個(gè)，，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，，證明：，．考點(diǎn)十?dāng)?shù)列的應(yīng)用32．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，．已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.933．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則34．（2020?上海）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿足，則稱滿足性質(zhì)．（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）若是1，2，3，，的一個(gè)排列，符合，2，，，、都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的數(shù)列．35．（2019?上海）數(shù)列有100項(xiàng)，，對(duì)任意，，存在，，，若與前項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱具有性質(zhì)．（1）若，，求所有可能的值；（2）若不為等差數(shù)列，求證：數(shù)列中存在某些項(xiàng)具有性質(zhì)；（3）若中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)，這三項(xiàng)和為，使用，，表示．五年（2019-2023）年高考真題分項(xiàng)匯編專題07數(shù)列考點(diǎn)一數(shù)列的函數(shù)特性1．（2020?浙江）已知數(shù)列滿足，則．【解析】數(shù)列滿足，可得，，，所以．故答案為：10．考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)2．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解析】若是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，即，故為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，若為等差數(shù)列，則可設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，有，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，所以，則（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列．即甲是乙的必要條件．綜上所述，甲是乙的充要條件．故本題選：．考點(diǎn)三等差數(shù)列的前n項(xiàng)和3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個(gè)．【解析】等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各項(xiàng)均不相等，，，中不同的數(shù)值有：．故答案為：98．4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列滿足，即，變形可得，所以．故答案為：．5．（2020?海南）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前項(xiàng)和為．【解析】將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則是以1為首項(xiàng)、以6為公差的等差數(shù)列，故它的前項(xiàng)和為，故答案為：．6．（2021?新高考Ⅱ）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．【解析】（Ⅰ）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，故，根據(jù)可得，整理得，可得不合題意），故．（Ⅱ），，，，即，整理可得，當(dāng)或時(shí)，成立，由于為正整數(shù)，故的最小正值為7．考點(diǎn)四等比數(shù)列的前n項(xiàng)和7．（2023?新高考Ⅱ）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則A．120 B．85 C． D．【解析】等比數(shù)列中，，，顯然公比，設(shè)首項(xiàng)為，則①，②，化簡(jiǎn)②得，解得或（不合題意，舍去），代入①得，所以．故選：．考點(diǎn)五等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合8．（2022?浙江）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前項(xiàng)和為．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)，公差，因?yàn)?，可得，即，，即，整理可得：，解得，所以，即；（Ⅱ）因?yàn)閷?duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則，，整理可得：，則△恒成立在，整理可得，當(dāng)時(shí)，可得或，而，所以的范圍為；時(shí)，不等式變?yōu)?，解得，而，所以此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則符合要求，綜上所述，對(duì)于每個(gè)，的取值范圍為，，使，，成等比數(shù)列．9．（2022?新高考Ⅱ）已知是等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合，中元素的個(gè)數(shù)．【解析】（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，則，由，得，即，．（2）由（1）知，，由知，，，即，又，故，則，故集合，中元素個(gè)數(shù)為9個(gè)．10．（2020?上海）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿足時(shí)的最小值．【解析】（1）數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，，，可得，解得，則；（2）數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，，，可得，即，則，，，即為，即，可得，即的最小值為7．考點(diǎn)六數(shù)列遞推式11．（2022?浙江）已知數(shù)列滿足，，則A． B． C． D．【解析】，為遞減數(shù)列，又，且，，又，則，，，，則，；由得，得，累加可得，，，；綜上，．故選：．12．（2020?浙江）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是A． B． C． D．【解析】在等差數(shù)列中，，，，，，，，，，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得正確，．若，則，成立，正確，．若，則，即，得，，，符合，正確；．若，則，即，得，，，不符合，錯(cuò)誤；故選：．13．（2019?浙江）設(shè)，，數(shù)列滿足，，，則A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【解析】對(duì)于，令，得，取，，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，令，得或，取，，，，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，令，得，取，，，，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，，遞增，當(dāng)時(shí)，，，，．故正確．故選：．14．【多選】（2021?新高考Ⅱ）設(shè)正整數(shù)，其中，，記，則A． B． C． D．【解析】，，對(duì)；當(dāng)時(shí)，，（7）．，（2），（7）（2），錯(cuò)；，．，．對(duì)；，，對(duì)．故選：．15．（2021?上海）已知，2，，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為．【解析】設(shè)，由題意可得，，恰有一個(gè)為1，如果，那么，，，，同樣也有，，，，，全部加起來(lái)至少是；如果，那么，，，同樣也有，，，，，全部加起來(lái)至少是，綜上所述，最小應(yīng)該是31．故答案為：31．16．（2019?上海）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，則．【解析】由，①得，即，且，②①②得：．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，且．．故答案為：．17．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫出逆命題，并判斷命題是真是假，說(shuō)明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1），或．（2），，，，，，，為等差數(shù)列，，．逆命題：若，則，，，，，，，為等差數(shù)列是假命題，舉例：，，，，，，，，．（3）因?yàn)?，，，，，以下用?shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：當(dāng)，明顯成立，假設(shè)時(shí)命題成立，即，則，則，命題得證．回到原題，分類討論求解數(shù)列的通項(xiàng)公式：1．若，則矛盾，2．若，則，，，此時(shí)，，3．若，則，，，（由（2）知對(duì)任意成立），，事實(shí)上：矛盾．綜上可得．18．（2021?浙江）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）由可得，兩式作差，可得：，，很明顯，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為：．（Ⅱ）由，得，，，兩式作差可得：，則．據(jù)此可得恒成立，即恒成立．時(shí)不等式成立；時(shí)，，由于時(shí)，故；時(shí)，，而，故：；綜上可得，．考點(diǎn)七數(shù)列的求和19．（2021?浙江）已知數(shù)列滿足，．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，所以，，，故，由累加法可得?dāng)時(shí)，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，也成立，所以，所以，，故，由累乘法可得當(dāng)時(shí)，，所以．另解：設(shè)，，，可得在遞增，接下來(lái)運(yùn)用待定系數(shù)法估計(jì)的上下界，設(shè)，則探索也滿足上界的條件．．在此條件下，有，注意到，取，，從而，此時(shí)可得．故選：．20．（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．【解析】設(shè)的公比為，由，的各項(xiàng)和為9，可得，解得，所以，，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．故答案為：．21．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么．【解析】易知有，，共5種規(guī)格；由題可知，對(duì)折次共有種規(guī)格，且面積為，故，則，記，則，，，．故答案為：5；．22．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，為的前項(xiàng)和，，，則，即，解得，故；（2）證明：由（1）可知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，故原式得證．23．（2023?新高考Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和．（1）若，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，求．【解析】（1），，根據(jù)題意可得，，，又，解得，，，；（2）為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)，則，且；或設(shè)，則，且，①當(dāng)，，時(shí)，則，，，又，解得；②當(dāng)，，時(shí)，則，，，又，此時(shí)無(wú)解，綜合可得．24．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，，所以，，，，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以．另解：由題意可得，，其中，，于是，．（2）由（1）可得，，則，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，則的前20項(xiàng)和為．25．（2020?海南）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，．（2）令，則，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為8，，．26．（2020?山東）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間，中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，解得或（舍去），，，（2）記為在區(qū)間，中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，，，故，，，，，，，，，，，，，，，，，可知0在數(shù)列中有1項(xiàng)，1在數(shù)列中有2項(xiàng)，2在數(shù)列中有4項(xiàng)，，由，可知，．?dāng)?shù)列的前100項(xiàng)和．27．（2020?浙江）已知數(shù)列，，滿足，，．（Ⅰ）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若為等差數(shù)列，公差，證明：，．【解析】（Ⅰ）解：由題意，，，，，整理，得，解得（舍去），或，，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，，．，則，，，，各項(xiàng)相加，可得．（Ⅱ）證明：依題意，由，可得，兩邊同時(shí)乘以，可得，，數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列，且此常數(shù)為，，，又，，，，，故得證．考點(diǎn)八數(shù)列與不等式的綜合28．（2022?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，故，化簡(jiǎn)得：，，，，；所以，故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．所以．證明：（2）由于，所以，所以．考點(diǎn)九數(shù)列與函數(shù)的綜合29．（2023?上海）已知，在該函數(shù)圖像上取一點(diǎn)，過點(diǎn)，做函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，若，則過點(diǎn)，做函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，以此類推，，，直至停止，由這些項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．（1）設(shè)屬于數(shù)列，證明：；（2）試比較與的大小關(guān)系；（3）若正整數(shù)，是否存在使得、、、、依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：，則過點(diǎn)，的切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得，此時(shí)切線方程為，即，令，可得，根據(jù)題意可知，，即得證；（2）先證明不等式，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則（1），即，結(jié)合（1）可知，；（3）假設(shè)存在這樣的符合要求，由（2）可知，數(shù)列為嚴(yán)格的遞減數(shù)列，，2，3，，，由（1）可知，公差，，先考察函數(shù)，則，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則至多只有兩個(gè)解，即至多存在兩個(gè)，使得，若，則，矛盾，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，由于，，則存在，使得，于是取，，，它們構(gòu)成等差數(shù)列．綜上，．30．（2019?浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列滿足：對(duì)每個(gè)，，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，，證明：，．【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得，解得，，，．，，數(shù)列滿足：對(duì)每個(gè)，，，成等比數(shù)列．，解得，解得，．（Ⅱ）證明：，，用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，，不等式成立；②假設(shè)，時(shí)不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，不等式也成立．由①②得，．考點(diǎn)十?dāng)?shù)列的應(yīng)用32．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，．已知，，成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【解析】設(shè)，則，，，由題意得：，，且，解得，故選：．33．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則【解析】如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，滿足，但是數(shù)列不是遞增數(shù)列，所以不正確；如果數(shù)列，公比為，，數(shù)列是遞增數(shù)列，但是，所以不正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，可知，可得，所以，可得正確，所以正確；故選：．34．（2020?上海）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿足，則稱滿足性質(zhì)．（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）若是1，2，3，，的一個(gè)排列