高考數(shù)學一輪復習-第九章-導數(shù)及其應用-91-導數(shù)的概念及運算課件

§9.1導數(shù)的概念及運算第九章導數(shù)及其應用內容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析易錯警示系列思想方法感悟提高練出高分基礎知識

自主學習f′(x0)或y′|知識梳理1答案(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內構成一個新函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內的導函數(shù).記作f′(x)或y′.2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝

.f′(x0)答案3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝

f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝

f(x)＝sinxf′(x)＝

f(x)＝cosxf′(x)＝

f(x)＝exf′(x)＝

f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝

f(x)＝lnxf′(x)＝

f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝

0αxα－1cosx－sinxexaxlna答案4.導數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝

；(2)[f(x)·g(x)]′＝

；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5.復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝

，即y對x的導數(shù)等于

的導數(shù)與

的導數(shù)的乘積.yu′·ux′y對uu對x答案判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同.(

)(2)求f′(x0)時，可先求f(x0)再求f′(x0).(

)(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.(

)(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(

)(5)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導數(shù)是f′(x)＝cosx.(

)××√××思考辨析答案∴f′(－1)＝3.B考點自測2解析答案123452.如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(

)解析答案12345解析由y＝f′(x)的圖象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調遞減，故可排除A，C.又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D.答案D12345f′(x)＝－cosx－sinx.解析答案12345即x＝0時，“＝”成立.∴tanα∈[－1,0).∴y′∈[－1,0)，又α∈[0，π)，解析答案123455.(2015·陜西)設曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為

.解析y′＝ex，曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1，因為兩切線垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，則點P的坐標為(1,1).(1,1)解析答案返回12345題型分類

深度剖析例1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；解∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，∴y′＝18x2－10x－4.(2)y＝x2sinx；解y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.導數(shù)的運算題型一解析答案(3)y＝3xex－2x＋e；解y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.解析答案(5)y＝ln(2x－5).解令u＝2x－5，y＝lnu，解析答案思維升華(1)求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量.(2)復合函數(shù)求導時，先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元.思維升華(1)f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，則x0等于(

)A.e2 B.1C.ln2 D.e故由f′(x0)＝2017得2017＋lnx0＝2017，則lnx0＝0，解得x0＝1.B跟蹤訓練1解析答案(2)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于(

)A.－1 B.－2C.2 D.0解析f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)為奇函數(shù)，且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.B解析答案命題點1已知切點的切線方程問題故該切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.C導數(shù)的幾何意義題型二解析答案(2)曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為

.解析∵y′＝－2e－2x，曲線在點(0,2)處的切線斜率k＝－2，∴切線方程為y＝－2x＋2，該直線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形如圖所示，解析答案命題點2未知切點的切線方程問題例3

(1)與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程是(

)A.2x－y＋3＝0 B.2x－y－3＝0C.2x－y＋1＝0 D.2x－y－1＝0解析對y＝x2求導得y′＝2x.則切線斜率為k＝2x0.由2x0＝2得x0＝1，故切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.D解析答案(2)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為(

)A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0解析∵點(0，－1)不在曲線f(x)＝xlnx上，∴設切點為(x0，y0).解得x0＝1，y0＝0.解析答案又∵f′(x)＝1＋lnx，∴切點為(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.故選B.B命題點3和切線有關的參數(shù)問題又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1.設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，于是解得m＝－2.故選D.D解析答案命題點4導數(shù)與函數(shù)圖象的關系例5

如圖，點A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，過點E作OB的垂線l.記△AOB在直線l左側部分的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象為下圖中的(

)解析答案思維升華解析函數(shù)的定義域為[0，＋∞)，當x∈[0,2]時，在單位長度變化量Δx內面積變化量ΔS大于0且越來越大，即斜率f′(x)在[0,2]內大于0且越來越大，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的，且圖象是下凸的；當x∈(2,3)時，在單位長度變化量Δx內面積變化量ΔS大于0且越來越小，即斜率f′(x)在(2,3)內大于0且越來越小，因此，函數(shù)S＝f(x)的圖象是上升的，且圖象是上凸的；當x∈[3，＋∞)時，在單位長度變化量Δx內面積變化量ΔS為0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)內為常數(shù)0，此時，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線.答案D思維升華導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：k＝f′(x0).(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(4)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.思維升華(1)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，若過點A(0,16)且與曲線y＝f(x)相切的直線方程為y＝ax＋16，則實數(shù)a的值是

.解析先設切點為M(x0，y0)，聯(lián)立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，9跟蹤訓練2解析答案(2)若直線y＝2x＋m是曲線y＝xlnx的切線，則實數(shù)m的值為

.解析設切點為(x0，x0lnx0)，得切線的斜率k＝lnx0＋1，故切線方程為y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，解得x0＝e，故m＝－e.－e解析答案返回易錯警示系列典例

(14分)若存在過點O(0,0)的直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值.易錯分析由于題目中沒有指明點O(0,0)的位置情況，容易忽略點O在曲線y＝x3－3x2＋2x上這個隱含條件，進而不考慮O點為切點的情況.13.求曲線的切線方程條件審視不準致誤易錯警示系列解析答案返回易錯分析溫馨提醒解易知點O(0,0)在曲線y＝x3－3x2＋2x上.(1)當O(0,0)是切點時，由y′＝3x2－6x＋2，得y′|

＝2，即直線l的斜率為2，故直線l的方程為y＝2x.依題意Δ＝4－4a＝0，得a＝1. [4分]規(guī)范解答解析答案溫馨提醒(2)當O(0,0)不是切點時，設直線l與曲線y＝x3－3x2＋2x相切于點P(x0，y0)，解析答案溫馨提醒溫馨提醒對于求曲線的切線方程沒有明確切點的情況，要先判斷切線所過點是否在曲線上；若所過點在曲線上，要對該點是否為切點進行討論.溫馨提醒返回思想方法

感悟提高1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常數(shù)，其導數(shù)一定為0，即(f(x0))′＝0.2.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.3.未知切點的曲線切線問題，一定要先設切點，利用導數(shù)的幾何意義表示切線的斜率建立方程.方法與技巧1.利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.復合函數(shù)的導數(shù)要正確分解函數(shù)的結構，由外向內逐層求導.2.求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過P點的切線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者.3.曲線的切線與曲線的交點個數(shù)不一定只有一個，這和研究直線與二次曲線相切時有差別.失誤與防范返回練出高分1234567891011121314151.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，則f′(1)等于(

)A.－e B.－1C.1 D.e∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－1.B解析答案1234567891011121314152.已知曲線y＝lnx的切線過原點，則此切線的斜率為(

)因為切線過點(0,0)，所以－lnx0＝－1，C解析答案1234567891011121314153.已知函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)，且滿足關系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，則f′(2)的值等于(

)解析因為f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，C解析答案1234567891011121314154.(2014·課標全國Ⅱ)設曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a等于(

)A.0 B.1C.2 D.3由導數(shù)的幾何意義可得在點(0,0)處的切線的斜率為f′(0)＝a－1.又切線方程為y＝2x，則有a－1＝2，∴a＝3.D解析答案1234567891011121314155.已知a為常數(shù)，若曲線y＝ax2＋3x－lnx存在與直線x＋y－1＝0垂直的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(

)解析由題意知曲線上存在某點的導數(shù)為1，即2ax2＋2x－1＝0有正根.解析答案當a≥0時，顯然滿足題意；A1234567891011121314156.設函數(shù)f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，若f′(0)＝6，則k＝

.解析∵f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)＝x4－7k2x2－6k3x，∴f′(x)＝4x3－14k2x－6k3，∴f′(0)＝－6k3＝6，解得k＝－1.－1解析答案1234567891011121314157.已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，若過點A(0,16)且與曲線y＝f(x)相切的直線方程為y＝ax＋16，則實數(shù)a的值是

.解析先設切點為M(x0，y0)，聯(lián)立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，9解析答案1234567891011121314158.(2015·課標全國Ⅱ)已知曲線y＝x＋lnx在點(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝

.得曲線在點(1,1)處的切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝1＝2，所以切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.8解析答案1234567891011121314159.已知曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點P0在第三象限.(1)求P0的坐標；解由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.當x＝1時，y＝0；當x＝－1時，y＝－4.又∵點P0在第三象限，∴切點P0的坐標為(－1，－4).解析答案123456789101112131415(2)若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程.解∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，∵l過切點P0，點P0的坐標為(－1，－4)，即x＋4y＋17＝0.解析答案12345678910111213141510.設函數(shù)f(x)＝ax－

，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；解析答案123456789101112131415(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.解析答案123456789101112131415解設P(x0，y0)為曲線上任一點，解析答案123456789101112131415令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0，2x0).所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，且此定值為6.123456789101112131415A解析答案12345678910111213141512.曲邊梯形由曲線y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所圍成，過曲線y＝x2＋1(x∈[1,2])上一點P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，則這一點的坐標為(

)解析答案123456789101112131415答案B12345678910111213141513.若函數(shù)f(x)＝

x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是

.∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)存在零點，[2，＋∞)解析答案12345678910111213141514.已知曲線f(x)＝xn＋1(n∈N*)與直線x＝1交于點P，設曲線y＝f(x)在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值為

.解析f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，點P(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，∴x1·x2·…·x2015則log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015＝log2016(x1x2…x2015)＝－1.－1解析答案12345678910111213141515.已知函數(shù)