高等數(shù)學(xué)(武大社)第二章極限與連續(xù)課件

高等數(shù)學(xué)第二章

極限與連續(xù)第一節(jié)

數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)無窮小與無窮大第五節(jié)兩個(gè)重要極限第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第四節(jié)函數(shù)極限的運(yùn)算法則第七節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)基本要求：了解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性；熟悉極限的基本理論及定義，極限存在準(zhǔn)則，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；掌握兩個(gè)重要極限、無窮小的比較、等價(jià)無窮小代換、連續(xù)函數(shù)的定義及運(yùn)算、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。重點(diǎn)：

函數(shù)的性質(zhì)；極限的性質(zhì)、四則運(yùn)算法則；無窮小階的比較；兩個(gè)重要極限。難點(diǎn)：

函數(shù)在某點(diǎn)處的左、右極限；利用等價(jià)無窮小代換求極限；用兩個(gè)重要極限求極限。一.數(shù)列極限的定義數(shù)列是整標(biāo)函數(shù):注意：

數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取第一節(jié)

數(shù)列的極限問題:意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言定量地刻劃它.定義1定義2注意:用定義”驗(yàn)證數(shù)列極限，關(guān)鍵是如何由任意給定的尋找N

？具體方法：例1證例2證注:例3證證綜合之，故二.數(shù)列極限的運(yùn)算法則【例5】【例6】求下列極限一.函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限第二節(jié)

函數(shù)的極限一般地有定義1幾何解釋:單側(cè)極限:例如,左極限右極限定理左右極限存在但不相等,例1證例2解左右極限存在且相等,用定義”驗(yàn)證函數(shù)極限:關(guān)鍵是如何由尋找

？具體方法：證證證問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃兩個(gè)“無限趨近”.二.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限定義2定理1幾何解釋:用定義”驗(yàn)證函數(shù)極限:關(guān)鍵是如何由尋找

？具體方法：證證證定義1

一.無窮小及其性質(zhì)第三節(jié)無窮小與無窮大定理1（一般極限與無窮小的關(guān)系）定理2解解

二.無窮小階的比較極限不同,反映了趨向于

0的“快慢”程度不同.觀察各極限定義2常用等價(jià)無窮小定理3證證畢定理4(乘積因子等價(jià)無窮小代換定理

)ⅰⅱ證?、⒆C畢三.無窮大及其性質(zhì)定義3性質(zhì)（無窮大與無窮小的關(guān)系）注意:無窮大量無界量（證明略）【例4】解答下列各題：定義4第四節(jié)函數(shù)極限的運(yùn)算法則(1)1第五節(jié)兩個(gè)重要極限證(證畢(2)證證畢【例1】求下列極限：第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的增量二、函數(shù)的連續(xù)第七節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性(四則運(yùn)算)性質(zhì)1(復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)性質(zhì)2極限符號可以進(jìn)入到連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號內(nèi)，它對求復(fù)合函數(shù)的極限是很有用的.（證明略）二、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性一般結(jié)論：三.初等函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)3：初等函數(shù)在其定義域區(qū)間上連續(xù).注意：1.初等函數(shù)僅在其定義域區(qū)間上連續(xù),例如：函數(shù)在這些孤立點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)沒有定義，

因此在這些孤立點(diǎn)無法討論其連續(xù)性

.在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)

.又如：函數(shù)在0

點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)沒有定義，因此在

0點(diǎn)無法討論其連續(xù)性；【例1】解【例2】(i)(ii)四、

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4（有界性）注意:

若區(qū)間是開區(qū)間,或閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),則結(jié)論不一定成立.（證明略）性質(zhì)4（最值性）注意:

若區(qū)間是開區(qū)間,或閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),則結(jié)論不一定成立.（證明略）性質(zhì)5（介值定理）Mmab幾何解釋:證再由性質(zhì)3,證畢Mmab證【例3】第二章小結(jié)了