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復變函數(shù)任群北京理工大學理學院1第二章解析函數(shù)§2-1復變函數(shù)的導數(shù)§2-2函數(shù)的解析性和指數(shù)函數(shù)§2-3

初等解析函數(shù)2§2-1復變函數(shù)的導數(shù)一Δ、導數(shù)的概念及其求導法則二、微分的定義及其可微的充要條件3一Δ、導數(shù)的概念及其求導法則定義:設函數(shù)是區(qū)域D內(nèi)的單值函數(shù)，并

，如果

存在并且等于,則稱此極限為函數(shù)

在點

的導數(shù)，記作

.此時，稱函數(shù)

在點

可導，否則，稱函數(shù)在點

不可導．4求導法則5若函數(shù)在點

可導，則

在點

連續(xù)．反之，未必．6例1

試證函數(shù)

（n為自然數(shù)）在復平面上處處可導，且證

用定義來證明．

對于復平面上的任意一點z，由導數(shù)定義有

于是，

在點z的導數(shù)存在且等于

．由點

z

在復平面上的任意性，證得

在復平面上處處可導．函數(shù)

在復平面解析．

7例2

設

定義在復平面上，試證

于復平面上僅在原點可導．證用定義來證明．

若

，則因

所以，

在點

可導．

8若

，則有

令

，于是有

由于上式當

在過點z平行于虛軸的直線上趨于０（即

）時，其極限為

x，而當

在過點

z

平行于實軸的直線上趨于０（即

）時，其極限為

，所以，當

時，

不存在，故

在點

處不可導．

9

于復平面上僅在原點可導．

可證得函數(shù)

在復平面上處處不可導．該函數(shù)在復平面上是一個處處連續(xù),但又處處不可導的函數(shù).1011定理:設函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)確定，則函數(shù)在點可導的充分必要條件是⑴

與

在

可微．

⑵

在的導數(shù)為條件(*)常稱為柯西—黎曼條件（C.—R.條件）．柯西——黎曼條件方程（C.—R.方程）12判別可導性P33,4(3)判斷函數(shù)f(z)=zRe(z)在那些點可導，那些點連續(xù)。f(z)＝zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xyf(z)在整個復平面連續(xù)C-R方程2x=x，0=-y僅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y)在點(0,0)可微，所以f(z)僅在點z=0處可導。13用L’Hospital法則求型的極限

設函數(shù)f(z)和g(z)在點z0可導且，試證等式P34,6證:說明:(1)當而時，極限為無窮大。(2)當時，可繼續(xù)用L’Hospital法則求極限(3)的情形，可用

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