九年級(jí)-相似三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題16相似三角形的性質(zhì)例題與求解【例1】如圖，已知口ABCD中，過(guò)點(diǎn)B的直線順次與AC，AD及CD的延長(zhǎng)線相交于E，F(xiàn)，G,若BE=5,EF=2，則FG的長(zhǎng)是解題思路：由相似三角形建立含F(xiàn)G的關(guān)系式，注意中間比的代換.【例2】如圖，已知^ABC中，DE〃GF〃BC,且AD:DF:FB=1:2:3,則S:S:S=( )△ADE 四邊形DFGE四邊形FBCGA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36解題思路△ADE，△AFG都與△ABC相似，用△ABC面積的代數(shù)式分別表示^ADE、四邊形DFGE、四邊形FBCG的面積.【例3】如圖，在△ABC的內(nèi)部選取一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作三條分別與^ABC的三邊平行的直線，這樣所得的三個(gè)三角形11,12,13的面積分別為4,9和49,求4ABC的面積.（第二屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）解題思路：由于問(wèn)題條件中沒(méi)有具體的線段長(zhǎng)，所以不能用面積公式求出有關(guān)圖形的面積，可考慮應(yīng)用相似三角形的性質(zhì).BHG如圖所示，經(jīng)過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)向各邊作平行線(也稱(chēng)剖分三角形)，我們可以得到：①△FDPs'IPEs&PHGs'abc；②③HGIEDF

+ + =1；BCACABDEFGHI

+ + =2；BCACAB④上述性質(zhì)，敘述簡(jiǎn)捷，形式優(yōu)美，巧妙運(yùn)用它們解某些平面幾何競(jìng)賽題，簡(jiǎn)明而迅速，奇特而匠心獨(dú)運(yùn)，請(qǐng)讀者給出證明.【例4】如圖，△ABC中，O是三角形內(nèi)一點(diǎn)，滿足/BAO=ZCAO=ZCBO=ZACO.求證：BC2=AC-AB.解題思路：這實(shí)際上是一個(gè)著名的問(wèn)題：布洛卡點(diǎn)問(wèn)題.設(shè)P是'ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足ZPAB=ZPBC=ZPCA=θ，稱(chēng)點(diǎn)P是'ABC的布洛卡點(diǎn)，則有cotZBAC+cotZABC+cotZACB=cotθ.【例5】如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,DC=5,AB=4√2,ZB=45。.動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為％秒.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)MN/AB時(shí)，求t的值；(3)試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形.解題思路：對(duì)于(2),由,構(gòu)造相似三角形,由三角形相似得對(duì)應(yīng)邊成比例,進(jìn)而解決問(wèn)題；對(duì)于(3),需要分情況討論.在證明含線段平行關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常常聯(lián)想到以下知識(shí)：①勾股定理；②相似三角形面積比等于相似比的平方.【例6】設(shè)^ABC｝的面積為Sl,△ABC的面積為E(S<S),當(dāng)^A1B1C1-△ABC7，且111 1 222 2 1 2 111 222S0.3≤g≤0.4時(shí)，則稱(chēng)△A1B1CI與△A2B2C2有一定的“全等度”.如圖，已知梯形ABCD,AD//BC,2/B=30。，/BCD=60。，連接AC.(1)若AD=DC,求證：△DAC與^ABC有一定的“全等度”；(2)你認(rèn)為：△DAC與^ABC有一定的“全等度”正確嗎？若正確，說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例說(shuō)明.解題思路：本題設(shè)置了“全等度”這一新概念,要求在對(duì)其理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行辨析和判斷,并舉例說(shuō)明符合或不符合概念特征的正例或反例,這是試題對(duì)概念理解考查的有力保障..能力訓(xùn)練A級(jí)1.如圖，在△ABC與^BED中ABBCAC5若——=——=——=-BDBEDE3且^ABC與^BED的周長(zhǎng)之差為10cm,則^ABC的周長(zhǎng)為cm.(第1題)(第2題)(第3題),,2.如圖，△ABC中，CE:EB=1:2,DE〃AC.若^ABC的面積為S,則4ADE的面積為,3.如圖，在^ABC中，DE〃BC,DE,CD交于F,且S=3S，貝US:S△EFC △FED △ADE △ABC.若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為3cm和4cm,則此正方形的邊長(zhǎng)為cm..如圖，□ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，EF交AC于點(diǎn)O,FE的延長(zhǎng)線交CB的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，那么S:S=（ ）△AOF △COGA.1:4 B.1:9 C.2:5 D.1:2ADCADFV、、OEBGBCAOMDf N).EEMFBC（第5題） （第6題） （第7題）.如圖，直角梯形ABCD中，/BCD=90。，AD〃BC,BC=CD,E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且/BEC=90。.將^BEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到△DCF,連接EF交CD于點(diǎn)M.已知BC=5,CF=3,則DM:MC的值為（ ）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:4.如圖，△ABC中，DE〃BC,BE與CD交于點(diǎn)O,AO與DE,BC分別交于點(diǎn)N,M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）ANONSAN2ANOEON2SA.-= B.△ONE= C.——= D. =△ADEAMOMSAM2AMOCOM2S△OMB△ABCCN.....如圖，在正萬(wàn)形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N點(diǎn)在CD上.若/BMN=ZMBC，則——的值ND為（ ）221A.一21B.—3ABMN35DADCC（第8題） （第9題）FF9.如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC,ZACD=ZB.求證AD于F,OE⊥OB交BC于點(diǎn)E.(1)求證：△ABFs'COE；AB2_BC

CD=AD10.如圖1,在Rt'ABC中,ZBAC=90。，AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交BA圖1圖2(2)當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，AC=2時(shí)，AB如圖2,求OF的值;OE(3)當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，AC=n時(shí)，AB請(qǐng)直接寫(xiě)出OF的值.OEDBEOCADEOCB級(jí).如圖，在△ABC中，DE/FG/BC,GI/EF/AB,若'ADE,△EFG,△GIC的面積分別為20cm2,45cm2,80cm2,則△ABC的面積為,(第2題)(第1題).如圖，梯形ABCD中，AD/BC,ZABC=90。，對(duì)角線AC⊥BD于P點(diǎn)，已知AD:BC=3:4,則BD:AC的值是3.如圖，正方形OPQR內(nèi)接于△45。，已知4AOR,△BOP和^CRQ的面積分別是S=1,S=3和S=1,1 2 3那么正方形OPQR的邊長(zhǎng)是（ ）則AE:ED=（ ）A.23B.-2C七5+1.2V5-1D. 25.如圖，△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且Z1=Z2=Z3.如果^ABC，△EBD，△m+m5ADC的周長(zhǎng)依次是m，m1，m?，證明：mm2≤5.12 m46.如圖，P是^ABC內(nèi)的一點(diǎn)，等長(zhǎng)的三條線段DE，F(xiàn)G和HI分別平行于邊AB，BC和CA，并7.如圖，銳角△ABC中，PQRS是^ABC的內(nèi)接矩形，且S =nS，其中n為不小于3的△ABC 矩形PQRS自然數(shù).求證：竺為無(wú)理數(shù).AB.如圖，已知直線11的解析式為y=3%+6，直線11與1軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，直線12經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8,0）.又已知點(diǎn)P在1軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在直線12上從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.設(shè)移動(dòng)時(shí)間為/秒.（1）求直線12的解析式；（2）設(shè)4PCQ的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;（3）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形?.如圖，設(shè)△ABC三邊上的內(nèi)接正方形（兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另兩邊上）的面積相等.求證：△ABC為正三角形..在矩形ABCD和矩形CEFG中，已