第06講-矩陣特征值與特征向量的計(jì)算課件

矩陣特征值與特征向量7/19/2023矩陣的特征值問題7/19/2023最大特征值的冪法原理7/19/2023冪法7/19/2023冪法的算法設(shè)計(jì)7/19/2023冪法的程序設(shè)計(jì)1clearallclcA=[2-10;02-1;0-12];n=3;epsilon=1.0e-3;N=20;x=[0;0;1];k=1;mu=0;7/19/2023冪法的程序設(shè)計(jì)2whilek<N[alpha,r]=max(abs(x));y=x/alpha;x=A*y;lambda=x(r);ifabs(lambda-mu)<epsilonreturn;endk=k+1;mu=lambda;end7/19/2023重特征值問題前若干個(gè)特征值相同；前兩個(gè)特征值絕對(duì)值相同、符號(hào)相反。7/19/2023冪法的局限冪法只能求得絕對(duì)值最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。用不同的初始向量迭代得到的結(jié)果是相同的。即使在迭代向量中不包含“最大”特征向量的分量，由于舍入誤差，最終得到的也是絕對(duì)值最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。7/19/2023冪法的加速與反冪法原點(diǎn)移位法Aitken加速反冪法7/19/2023原點(diǎn)移位法7/19/2023Aitken加速——原理7/19/2023Aitken加速——公式7/19/2023Aitken加速——算法7/19/2023Aitken加速——程序1n=3;A=[2-10;02-1;0-12];x=[001]';eps=1.0e-6;N=100;k=1;alpha0=0;alpha1=0;lambda0=1;7/19/2023Aitken加速——程序2whilek<N[xm,r]=max(abs(x));alpha=x(r);y=x/alpha;x=A*y;alpha2=x(r);lambda=alpha0-(alpha1-alpha0)^2/(alpha2-2*alpha1+alpha0);ifabs(lambda-lambda0)<eps;return;end

fprintf('%d%f%f

%f

%f%f\n',k,x(1),x(2),x(3),alpha2,lambda);alpha0=alpha1;alpha1=alpha2;lambda0=lambda;k=k+1;end7/19/2023關(guān)于Matlab的打印輸出函數(shù)

fprintf('%d%f%f

%f

%f%f\n',k,x(1),x(2),x(3),alpha2,lambda);7/19/2023實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)7/19/2023實(shí)對(duì)稱矩陣的Jacobi方法7/19/20232x2正交矩陣7/19/20232x2矩陣的對(duì)角化7/19/20232x2矩陣的對(duì)角化7/19/20233x3矩陣的對(duì)角化7/19/2023相似變換算例clearallclcA=[2-10;-12-1;0-12];%將A(1,2)和A(2,1)化為零phi=atan2(2*A(1,2),A(1,1)-A(2,2))/2;c=cos(phi);s=sin(phi);V1=[cs0;-sc0;001];A1=V1*A*V1'7/19/2023相似變換算例……%再將A1(1,3)和A1(3,1)化成零phi=atan2(2*A1(1,3),A1(1,1)-A1(3,3))/2;c=cos(phi);s=sin(phi);V2=[c0s;010;-s0c];A2=V2*A1*V2'7/19/2023通過相似變換發(fā)現(xiàn)了什么？7/19/2023Jacobi方法7/19/2023Jacobi方法程序?qū)崿F(xiàn)clearall;clcA0=[2-10;-12-1;0-12];A=A0;n=size(A,1);epsilon=1.0e-3;MaxIter=50;error=1.0;loop=0;Q=eye(n);while(error>=epsilon)&&(loop<MaxIter)loop=loop+1;ifloop==MaxIter

fprintf('迭代次數(shù)達(dá)到最大控制數(shù)\n');break;enderror=0.0;fori=1:nforj=(i+1):nifabs(A(i,j))>error

imax=i;jmax=j;error=abs(A(i,j));endendendV=eye(n);phi=-atan2(2*A(imax,jmax),A(jmax,jmax)-A(imax,imax))/2;c=cos(phi);s=sin(phi);

V([imax

jmax],[imax

jmax])=[cs;-sc];A=V*A*V';Q=Q*V';end7/19/2023矩陣乘法VAV’的計(jì)算說明

7/19/2023QR方法7/19/2023矩陣的QR分解直接對(duì)滿陣A進(jìn)行QR分解計(jì)算特征值，計(jì)算量較大。用Schmit方法進(jìn)行矩陣的QR分解穩(wěn)定性較差。7/19/2023Household變換7/19/2023利用Household變換

化一般矩陣為擬上三角矩陣7/19/2023Household變換算例clcclearallA=[5-22*sqrt(2)-3*sqrt(2)105/sqrt(2)-1/sqrt(2)0-sqrt(2)100sqrt(2)-4-1]n=size(A,1);fork=1:n-1x=A(k+1:end,k);y=zeros(n-k,1);y(1)=-sign(x(1))*norm(x);

w=x-y;w=w/norm(w);H=eye(n-k)-2*w*w';H=[eye(k)zeros(k,n-k)

zeros(n-k,k)H];A=H*A*Hend7/19/2023Givens旋轉(zhuǎn)變換