矩陣位移法-課件(講課)

第九章矩陣位移法1

§9.1概述§9.2桿件單元的離散化§9.3單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)系）

§9.4單元?jiǎng)偠染仃嚕ㄕw坐標(biāo)系）

§9.5連續(xù)梁的剛度矩陣

§9.6剛架的剛度矩陣

§9.7等效結(jié)點(diǎn)荷載

§9.8忽略軸向變形時(shí)矩形剛架的整體分析第9章矩陣位移法2

矩陣位移法是以矩陣形式表達(dá)的位移法。它與位移法的基本原理總體上是相同的。即它們都是以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，通過先“拆散”、后“組裝”，利用平衡方程求解，然后再計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力的方法。按照矩陣位移法的術(shù)語，主要有以下三個(gè)基本環(huán)節(jié)：結(jié)構(gòu)的離散化單元分析整體分析9.1概述

簡單概括為：“先分再合，拆了再搭”3

將結(jié)構(gòu)整體拆開，分解為有限個(gè)較小的單元各單元只在有限個(gè)結(jié)點(diǎn)處相連，這個(gè)過程稱作離散化。對于桿件結(jié)構(gòu)，一般以一根等截面直桿為一個(gè)單元。因此，整個(gè)結(jié)構(gòu)可看作是有限個(gè)單元的集合體，這一環(huán)節(jié)，相當(dāng)于建立位移法的基本結(jié)構(gòu)。1.結(jié)構(gòu)的離散化矩陣位移法的三個(gè)基本環(huán)節(jié)42.單元分析矩陣位移法的三個(gè)基本環(huán)節(jié)

單元分析的任務(wù)在于，分析桿單元的桿端內(nèi)力與桿端位移之間的關(guān)系，以矩陣形式表示，建立單元?jiǎng)偠确匠?。這一環(huán)節(jié)，與位移法中建立轉(zhuǎn)角位移方程相對應(yīng)。5整體分析——把各桿單元集合成原來的結(jié)構(gòu)。

整體分析的任務(wù)——將單元集合成整體，由單元?jiǎng)偠染仃嚢凑談偠燃梢?guī)則形成整體剛度矩陣，建立整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度方程，以求解原結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移。這一環(huán)節(jié)，與建立和求解位移法的基本方程相對應(yīng)。據(jù)此，可進(jìn)一步算出各單元的桿端內(nèi)力。3.整體分析矩陣位移法的三個(gè)基本環(huán)節(jié)

直接由單元?jiǎng)偠染仃噷?dǎo)出整體剛度矩陣的集成規(guī)則，是矩陣位移法的核心內(nèi)容。6

9.2.1單元與結(jié)點(diǎn)的劃分和編號結(jié)點(diǎn)：將結(jié)構(gòu)離散成單元的分割點(diǎn)。構(gòu)造結(jié)點(diǎn):桿件轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)、截面突變點(diǎn)、自由端、材料交界點(diǎn)等。非構(gòu)造結(jié)點(diǎn)：集中荷載作用點(diǎn)。單元：結(jié)點(diǎn)間的桿件1.單元與結(jié)點(diǎn)的劃分9.2桿件結(jié)構(gòu)的離散化123485761234567PP7整體(結(jié)構(gòu))坐標(biāo)系，用x-y表示，其坐標(biāo)原點(diǎn)可任意選取，從x軸正方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度為y軸正方向桿件結(jié)構(gòu)的離散化2.單元與結(jié)點(diǎn)的編號①②③、、、單元編號：結(jié)點(diǎn)編號：1、2、3、、、編號順序：原則上隨意，考慮對計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間的影響，通常應(yīng)使每個(gè)單元兩端結(jié)點(diǎn)號差值盡可能最小。

9.2.2兩種直角坐標(biāo)系局部(單元)坐標(biāo)系，用表示，其坐標(biāo)原點(diǎn)在單元的始端點(diǎn)，從始端指向末端的為的正方向；從軸的正方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度為軸的正方向。每個(gè)單元一套坐標(biāo)系。xyyxoxx8剛架單元的每個(gè)端點(diǎn)有三個(gè)桿端力分量和相應(yīng)的三個(gè)桿端位移分量（如圖所示），則單元的桿端位移向量和桿端力向量分別為：

9.2.3單元桿端力和桿端位移的表示方法yx1.表示方法排列順序：先始端后末端2.符號規(guī)定1、桿端轉(zhuǎn)角位移和桿端彎矩順時(shí)針為正；2、其他桿端位移和桿端內(nèi)力與坐標(biāo)軸正向一致為正。局部碼結(jié)點(diǎn)位移在單元中的編碼99.3.1一般單元的單元?jiǎng)偠确匠毯蛦卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?.3單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)系）一般桿單元——兩端剛結(jié)的桿單元（考慮材料的軸向變形）。

單元?jiǎng)偠确匠獭竼卧獥U端內(nèi)力和桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。它表示單元在任意給定位移時(shí)所產(chǎn)生的桿端力。單元坐標(biāo)系中，單元?jiǎng)偠确匠瘫硎緸閱卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?09.3單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)系）2'1'12E,A,I,lY2X2M2Y1X1M1xy119.3單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)系）

在線彈性小變形時(shí)，忽略軸向變形與彎曲變形之間的相互影響，根據(jù)桿件的拉壓胡克定律和無荷載作用時(shí)的轉(zhuǎn)角位移方程，按照本章的正負(fù)號規(guī)則，寫出剛度方程。2'1'12E,A,I,lY2X2M2Y1X1M1xy引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)12寫成矩陣的形式進(jìn)一步:9.3單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)系）13其中，單元?jiǎng)偠染仃嚍?.3單元?jiǎng)偠染仃嚕ň植孔鴺?biāo)系）149.3.2、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)1、單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義——?jiǎng)偠染仃囍械拿總€(gè)元素的意義e—代表單元桿端第j個(gè)位移分量等于1（同時(shí)其他位移分量為0）時(shí)所引起的第i個(gè)桿端力分量。e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)159.3.2、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)1、單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義——?jiǎng)偠染仃囍械拿總€(gè)元素的意義例如代表單元桿端第2個(gè)位移分量時(shí)所引起的第5個(gè)桿端力分量的數(shù)值。eee(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)169.3.2、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)2、單元?jiǎng)偠染仃囀菍ΨQ矩陣，e即。e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)根據(jù)反力互等定理可以從理論上進(jìn)行證明（略）179.3.2、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)3、一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣；e從數(shù)學(xué)上可以證明一般單元的剛度矩陣e的行列式e=0故為奇異矩陣，其逆矩陣不存在！e(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)實(shí)際上可以很明顯看出該矩陣中某兩行（列）之間存在線性關(guān)系，必為奇異矩陣189.3.2、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)3、一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣；e從數(shù)學(xué)上可以證明一般單元的剛度矩陣e的行列式e=0故為奇異矩陣，其逆矩陣不存在！eee由單元桿端位移，可以推求單元桿端力，且為唯一解。

這一性質(zhì)說明：但是由單元桿端力反推單元桿端位移，卻不一定有唯一解！199.3.3、特殊單元e以連續(xù)梁為例：12e126個(gè)桿端位移分量“一般”單元是指以上6個(gè)桿端位移分量均可指定為任意值，而不是預(yù)先確定。若單元6個(gè)桿端位移中有某一個(gè)或幾個(gè)已知為零，則該單元稱為特殊單元，其剛度方程是一般單元?jiǎng)偠确匠痰奶乩Ｈ∶靠缌鹤鳛橐粋€(gè)單元，則只有兩個(gè)桿端轉(zhuǎn)角可以指定為任意值，其余四個(gè)分量均已知為零！209.3.3、特殊單元實(shí)際上，特殊單元的剛度矩陣可以由一般單元?jiǎng)偠染仃囎魈厥馓幚淼玫健?/p>

12eeee已知第1，2，4，5位移分量為零，則刪去第1，2，4，5行和列的相關(guān)元素即可。2112eeeeeeeee為了程序的標(biāo)準(zhǔn)化和通用性，不采用特殊單元，只用一般單元，如果結(jié)構(gòu)有特殊單元，可以通過程序由一般單元來形成。22軸力（桁架）單元寫成矩陣的形式：exX1X223§9-4單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系)Pxy123采用局部坐標(biāo)系對每根桿件進(jìn)行討論，可以建立具有簡單形式的單元?jiǎng)偠染仃?。但最終形成整體剛度矩陣，進(jìn)行整體分析時(shí)，必須采用統(tǒng)一的公共坐標(biāo)系。因此需要通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法將局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系中的剛度矩陣。24§9-4單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeee單元桿端力的轉(zhuǎn)換式？一、單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣從整體坐標(biāo)系x

軸到局部坐標(biāo)系x

軸的夾角a

以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?5§9-4單元?jiǎng)偠染仃?整體坐標(biāo)系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣一、單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣26正交矩陣[T]-1=[T]T或

[T][T]T=[T]T[T]=[I]于是根據(jù)同理有eeee??正交矩陣的性質(zhì)！ee自行推導(dǎo)，與桿端力轉(zhuǎn)換式推導(dǎo)過程完全相同27需要找出與[k]的關(guān)系ee局部坐標(biāo)系中：eee整體坐標(biāo)系中(b)eee{F}=[k]{}(a)二、整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嘯k]稱為在整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噀28e{F}=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]T

ke[T]e(e)二、整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕╞）式可轉(zhuǎn)換為：方程(c)兩邊前乘[T]T顯然整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍閑ee局部坐標(biāo)系中：eeee分別代入(b)e[T]T[T]

{F}=[T]T[T]{}eek利用正交矩陣的性質(zhì)29[k]=[T]T

ke[T]e[k]e的性質(zhì)與ek一樣。二、整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囋豮ij的意義對稱矩陣對于一般單元，是奇異矩陣至此，可以得到整體坐標(biāo)系中的單元桿端力和桿端位移的關(guān)系eee{F}=[k]{}其中整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚳梢赃@樣計(jì)算：30例1.試求圖示剛架中各單元在整體座標(biāo)系中的剛度矩陣。設(shè)1和2桿的桿長和截面尺寸相同。1l=5ml=5m2xyl=5m，bh=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124解:(1)先求局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?2)整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噀[k]ke單元1：=0，故坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[T]=[I]k1=1[k]k=k31單元2：=90，單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為[k]=[T]T

k[T]1l=5ml=5m2xy故單元2在整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?2eeeeee{F}=[k]{}小結(jié)

局部坐標(biāo)系單元?jiǎng)偠确匠?、矩陣整體坐標(biāo)系單元?jiǎng)偠确匠?、矩陣單元分析坐?biāo)轉(zhuǎn)換矩陣整體分析將各單元集合成結(jié)構(gòu)整體，形成整體剛度矩陣，建立整體剛度方程33§9-5連續(xù)梁的整體剛度矩陣按傳統(tǒng)的位移法先以簡單的連續(xù)梁為例，討論整體剛度矩陣、方程的建立方法i1i212123F1F2F3F3{F}=[F1F2]TD3{D}=[D1D2]T整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量{D}{F}如何建立單元集成法（剛度集成法、直接剛度法）——本章的核心內(nèi)容34若按傳統(tǒng)的位移法建立整體剛度方程分別考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角獨(dú)自引起的結(jié)點(diǎn)力偶。i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對{F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對附加約束上的約束力{F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)進(jìn)行疊加而計(jì)算所得。傳統(tǒng)位移法35一、單元集成法的力學(xué)模型和基本概念分別考慮每個(gè)單元對{F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)，然后進(jìn)行疊加§9-5連續(xù)梁的整體剛度矩陣（剛度集成法、直接剛度法）“由單元直接集成”整體剛度矩陣i1i212123F1F2F336i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31可令i2=0，則F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000單元1的貢獻(xiàn)矩陣表示單元1對結(jié)點(diǎn)力{F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)要略去其它單元的貢獻(xiàn)。首先考慮單元1對結(jié)點(diǎn)力{F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)單元1的剛度矩陣37i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i22i24i22i2000001232[K]{}{F}=2設(shè)i1=0，則F12=0[K]=24i22i24i22i200000單元的貢獻(xiàn)矩陣F3{F}2=[F12F222]T表示單元對結(jié)點(diǎn)力{F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)要略去單元的貢獻(xiàn)。再來考慮單元2對結(jié)點(diǎn)力{F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)381[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i22i24i22i200000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}故整體剛度矩陣為：根據(jù)單元和單元分別對結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)，可得整體剛度方程：[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i2與傳統(tǒng)位移法的結(jié)果完全一致391[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i22i24i22i200000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}故整體剛度矩陣為：單元集成法求整體剛度矩陣步驟：根據(jù)單元和單元分別對結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)，可得整體剛度方程：[k]e40[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000004i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2[k][K][K]ee[k]e在單元分析中已經(jīng)解決核心步驟！各單元貢獻(xiàn)矩陣簡單疊加可通過引入“單元定位向量”來協(xié)助完成這一步41二、按照單元定位向量由[k]求

e[K]e(1)在整體分析中按結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。(2)在單元分析中按單元兩端結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)編碼，稱為局部碼。以連續(xù)梁為例121231(1)(2)2(1)(2)在整體中位移統(tǒng)一編碼，總碼在單元中位移單獨(dú)編碼，局部碼[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i200000上例中：建立如下兩種編碼：實(shí)質(zhì)是確定中的元素在中的位置。[k]e[K]e可見由[k]求

e[K]e42二、按照單元定位向量由[k]求

e[K]e以連續(xù)梁為例121231(1)(2)2(1)(2)在整體中位移統(tǒng)一編碼，總碼單元12對應(yīng)關(guān)系局部碼總碼“單元定位向量”e(1)1(2)21=(1)2(2)32=在單元中位移單獨(dú)編碼，局部碼由單元對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移總碼組成的向量單元定位向量描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對應(yīng)關(guān)系，也稱為“單元換碼向量”43考察單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e[K]e和單元貢獻(xiàn)矩陣中元素的對應(yīng)關(guān)系單元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=123123元素按局部碼排列元素按總碼排列單元定位向量123121(1)(2)單元貢獻(xiàn)矩陣可以由單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)谩皢卧ㄎ幌蛄俊边M(jìn)行“換碼重排座”得到。[K]=14i12i14i12i10000044考察單元?jiǎng)偠染仃嘯k]e[K]e和單元貢獻(xiàn)矩陣中元素的對應(yīng)關(guān)系單元[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=123123元素按局部碼排列元素按總碼排列單元定位向量121232(1)(2)[K]=24i22i24i22i200000單元貢獻(xiàn)矩陣可以由單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)谩皢卧ㄎ幌蛄俊边M(jìn)行“換碼重排座”得到。單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦趩卧暙I(xiàn)矩陣中的新位置根據(jù)單元定位向量中的號碼來確定！45三、單元集成法的實(shí)際操作方案[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）將[K]置零，得[K]=[0]；（2）將[k]的元素在[K]中按{}定位，得[K]=[K]；（3）將[k]的元素在[K]中按{}定位并進(jìn)行累加，得[K]=[K]+[K]；按此作法對所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣[K]。基于“換碼重排座”的原則，集成整體剛度矩陣可以如下進(jìn)行：邊“定位”、邊“累加”兩步合并為一步進(jìn)行！4612i1i2i3312301230=0（1）結(jié)點(diǎn)位移分量總碼（2）單元定位向量1=2=3=例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。規(guī)定：凡給定為零值的結(jié)點(diǎn)位移分量，其總碼均編為0（邊界條件的先處理方法）4712i1i2i3312301230=0（1）結(jié)點(diǎn)位移分量總碼（2）單元定位向量1=2=3=（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。單元?jiǎng)偠染仃囂幐鶕?jù)單元定位向量標(biāo)注整體碼，可方便后續(xù)“定位”、“累加”操作此處將來如何處理“定位”操作？4812i1i2i3312341234=0（1）結(jié)點(diǎn)位移分量總碼（2）單元定位向量1=2=3=（3）單元集成過程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i334334[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。先處理方法：零編碼對應(yīng)的行（列）元素在整體剛度矩陣中舍棄！49四、整體剛度矩陣[K]的性質(zhì)（1）整體剛度系數(shù)的意義————整體剛度矩陣中每個(gè)元素的意義（2）[K]是對稱矩陣（3）對幾何不變體系，[K]是可逆矩陣，如連續(xù)梁。i1i2123F1F2F3{F}=[K]{}{}=[K]-1{F}

Kij代表j=1(其余結(jié)點(diǎn)位移均為0)時(shí)產(chǎn)生的第i個(gè)結(jié)點(diǎn)力Fi502i3四、整體剛度矩陣[K]的性質(zhì)（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+14i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in2in…...稀疏矩陣:矩陣中存在大量的零元素帶狀矩陣：非零元素集中在主對角線附近0051§9-6剛架的整體剛度矩陣（1）整體剛度矩陣由各單元?jiǎng)偠染仃嚰?；e[k]（2）集成是通過將中的元素在[K]中進(jìn)行定位、累加(1)一般要考慮各單元的軸向變形；（忽略桿件軸向變形作為特例處理）(2)每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量；(3)對于存在多個(gè)不同方向的桿件時(shí)，需要采用整體坐標(biāo)進(jìn)行分析；(4)要處理結(jié)構(gòu)中非剛結(jié)點(diǎn)的特殊情況。討論對象：一般平面剛架與連續(xù)梁相比，基本思路相同：但要處理更復(fù)雜的情況：e{}（3）“定位”是依據(jù)單元定位向量進(jìn)行的。52§9-6剛架的整體剛度矩陣一、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼ABCxy123004000結(jié)點(diǎn)位移總碼{}=[1

234]T規(guī)定：對于已知為零的結(jié)點(diǎn)位移分量，其總碼均編為零。（以后均采用先處理方法）=[uA

vA

A

C]T整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量為：相應(yīng)地結(jié)點(diǎn)力向量為：=[XA

YA

MA

MC]T{F}=[F1

F2

F3

F4]T①②53x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)單元結(jié)點(diǎn)位移分量局部碼二、單元定位向量單元單元局部碼總碼局部碼總碼（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0三、單元集成過程①②ABCxy12300400結(jié)點(diǎn)位移總碼②①0(4)(1)(4)541ABC2xy123004000121234[K]=123400000000000000001[k]=000000000000000000000000000000000000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332[k]123000123000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566=55四、鉸結(jié)點(diǎn)的處理[K]求單元常數(shù){}[T]整體坐標(biāo)系下

單元?jiǎng)偠染仃嘯k]程序設(shè)計(jì)框圖（局部：集成整體剛度矩陣）1122剛結(jié)點(diǎn)：完全變形連續(xù)，截面1和截面2具有相同的結(jié)點(diǎn)位移。鉸結(jié)點(diǎn)：部分變形連續(xù)，截面1和截面2具有相同的結(jié)點(diǎn)線位移；而其角位移不相等。鉸接點(diǎn)處對于不同桿件的“角位移”分量，采用不同的編碼56123ABDxy000123456C1C2457000123結(jié)點(diǎn)位移分量總碼結(jié)點(diǎn)C1[456]結(jié)點(diǎn)C2[457]單元定位向量1[k]=1234562[k]=1230001230001234565700000000000000000000000000000000000000000000000001231[k]=1234561234562[k]=1230001230003[k]=457000457000[K]=1234567123456758§9-7

等效結(jié)點(diǎn)荷載{F}=[K]{}………………(1)結(jié)構(gòu)體系剛度方程：一、位移法基本方程k11

1+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222

+··········+k2nn+F2P=0

··································kn1

1+kn22+

··········+knnn+FnP=0

[K]{}+{FP}={0}…………...………(2){F}+{FP}={0}…………..………(3)將(1)式代入(2)式：表示結(jié)點(diǎn)位移{}和結(jié)點(diǎn)力{F}之間的關(guān)系，反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，而不涉及原結(jié)構(gòu)上作用的實(shí)際荷載，并不是原結(jié)構(gòu)的位移法基本方程?；倔w系在荷載單獨(dú)作用下產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)約束力?；倔w系在結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)作用下產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)約束力。59二、等效結(jié)點(diǎn)荷載的概念結(jié)點(diǎn)約束力——{FP}結(jié)點(diǎn)約束力——{FP}等效結(jié)點(diǎn)荷載{P}原荷載??顯然{P}=–{FP}………解決了計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)荷載的問題等效原則是兩種荷載在基本體系中產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)約束力[K]{}={F}{FP}+=+=060三、按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載{P}(1)局部座標(biāo)單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載{P}exee{P}ee(2)整體座標(biāo)單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載{P}