第三章-離散傅里葉變換(DFT)課件

第三章DFT§3-7抽樣Z變換--頻域抽樣理論§3-8利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近§3-6DFT的性質§3-5DFT--有限長序列的離散頻域表示§3-3周期序列的DFS§3-4DFS的性質§3-2傅氏變換的幾種可能形式§3-1引言一.DFT是重要的變換

1.分析有限長序列的有用工具。

2.在信號處理的理論上有重要意義。

3.在運算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關都可以通DFT在計算機上實現(xiàn)?！?-1 引言二.DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁

DFT要解決兩個問題： 一是離散與量化， 二是快速運算。信號處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化

§3-2 傅氏變換的幾種可能形式一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換0t0時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對稱性:

時域連續(xù)，則頻域非周期頻域連續(xù)，則時域非周期二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù)0t------0時域信號頻域信號連續(xù)的周期的非周期的離散的*時域周期為

頻域譜線間隔為三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換

--序列的傅氏變換x(nT)T-T0T2Tt0------時域信號頻域信號離散的非周期的周期的連續(xù)的四.離散時間、離散頻率的傅氏變換--DFTx(nT)=x(n)t0T2Tn0k四.離散時間、離散頻率的傅氏變換--DFT0

0123kx(nT)=x(n)t0T2Tn12N

NT由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的DFT的簡單推演：在一個周期內，可進行如下變換：視作n的函數(shù)，視作k的函數(shù)，這樣,正反

§3-3周期序列的DFS一、周期序列DFS的引入（一）對上式進行抽樣，得：導出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的復數(shù)傅氏級數(shù)開始的：，代入因是離散的，所以應是周期的。，代入而且，其周期為，因此應是N點的周期序列。由于

所以求和可以在一個周期內進行，即

這就是說，當在k=0,1,...,N-1求和與在k=N,...,2N-1求和所得的結果是一致的。（連續(xù)）周期信號的傅氏級數(shù)：

基頻序列周期基頻Ｋ次諧波序列連續(xù)周期離散周期三、

的k次諧波系數(shù)的求法

1.預備知識同樣，當 時，p也為任意整數(shù)，則所以亦即的表達式將式的兩端乘

，然后從n=0到N-1求和，則：的DFS通常將常數(shù)1/N移到表示式中。即：

的周期性周期性：3.離散傅氏級數(shù)的習慣表示法

通常用符號 代入，則：正變換：反變換：

的一個周期內序列記作

,而且=,0nN-10,其他n對

作Z變換，4.用Z變換求4.用Z變換求可見，是Z變換在單位圓上抽樣，抽樣點在單位圓上的N個等分點上，且第一個抽樣點為k=0。如果，則有1234567(N-1)k=0其中，a,b為任意常數(shù)?！?-4 DFS的性質一.線性如果則有二.序列的移位則有：如果證明：令i=m+n,則n=i-m。n=0時，i=m;n=N-1時，i=N-1+m所以*和都是以N為周期的周期函數(shù)。三.調制特性

如果

則有

證明：時域乘以虛指數(shù)()的m次冪，頻域搬移m,調制特性。四.周期卷積和

1、如果則：

2.兩個周期序列的周期卷積過程（1）畫出和的圖形；（2）將翻摺,得到

m計算區(qū)mm

0123（3）將右移一位、得到可計算出：m計算區(qū)mm

0123m（4）將再右移一位、得到，可計算出：（5）以此類推，

n1344計算區(qū)313.頻域卷積定理如果，則證明從略。

§3-5DFT--有限長序列的離散頻域表示一.預備知識

1.余數(shù)運算表達式如果，

m為整數(shù)；則有：此運算符表示n被N除，商為m，余數(shù)為。是的解,或稱作取余數(shù),或說作n對N取模值,或簡稱為取模值,n模N。例如：

(1)N-1nx(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。取余的運算相當于將有限長序列進行周期延拓，以形成對應的周期序列2.例：

(1)(2)二.有限長序列x(n)和周期序列的關系=,0nN-10,其他n周期序列是有限長序列x(n)的周期延拓。有限長序列x(n)是周期序列的主值序列。三.周期序列與有限長序列X(k)的關系同樣，周期序列是有限長序列X(k)的周期延拓。而有限長序列X(k)是周期序列的主值序列。四.從DFS到DFT從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進行。因此可得到新的定義，即有限長序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。,0kN-1,0nN-1或者：例、求矩形脈沖序列

的DFT解：由定義可得

§3-6DFT的性質一.線性1.兩序列都是N點時如果

則有：2.和的長度N1和N2不等時，選擇

為變換長度,短者進行補零達到N點。二.序列的圓周移位1.定義一個有限長序列

的圓周移位定義為

這里包括三層意思：1、先將

進行周期延拓2、再進行移位3、最后取主值序列：

n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圓周位移的含義

由于我們取主值序列，即只觀察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把

排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于

在圓上旋轉，故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列:

。12345n=0N=6時域移位定理若：則：信號序列延時，相當于相位譜各次諧波相位平移。幅度頻譜不變證明：令n-m=p,則有頻域移位定理若：則：此定理可看作信號的頻譜搬移，也稱其為調制定理。如果，則三.圓周卷積和1.時域圓周卷積定理設和均為長度為N的有限長序列，且，NN證明：證明（續(xù)）：證明：方法2

相當于將 作周期卷積和后，再取主值序列。將周期延拓：則有：在主值區(qū)間，所以：N同樣可證：N2.時域圓周卷積過程例：N-10mN-10m0m0m0m0m0233211N-1nN最后結果：四.有限長序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積的長度為的長度為它們線性卷積為的非零區(qū)間為的非零區(qū)間為兩不等式相加得也就是不為零的區(qū)間.例如:1012n1012n3m-1-2-3mm1012mmn2103145233211012m設的長度為的長度為則它們的線性卷積為2.用圓周卷積計算線性卷積它們的L點圓周卷積為圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列利用循環(huán)卷積計算線性卷積如下圖：

圓周卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L.由于有個非零值,所以周期L必須滿足:

圓周卷積能夠代表線性卷積五、共軛對稱性復習：對于任意序列1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對稱分量分別定義為同樣，有2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量分別定義為由于所以這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。3.共軛對稱特性之一證明：4.共軛對稱特性之二證明：可知：5.共軛對稱特性之三證明：6.共軛對稱特性之四證明：7.共軛對稱特性之五、六8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性

§3-7抽樣Z變換--頻域抽樣理論一、DFT、DTFT、Z變換的關系設x(n)為有限長序列，x(n)的Z變換為：單位圓上的的Z變換為：單位圓上的的Z變換為有限長序列的DTFT在單位圓上進行等間隔采樣：即令1234567(N-1)k=0把單位圓圓周N等分，并把N等分點作為采樣點，k=0，1，2…..N-1在單位圓上進行等間隔采樣為該有限長序列的DFT二、如何從頻域抽樣恢復原序列１、頻域抽樣:

對一有限長序列進行DFT變換，所得X(k)就是對序列的傅立葉變換的采樣.同時，DFT也是序列的Z變換在單位圓上的均勻抽樣所以，DFT就是頻域抽樣。2、由頻域抽樣

恢復序列x(n)對X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為對進行反變換,并令其為,則1,m=n+rN,0,其他m

結論：

由

得到的周期序列

是非周期序列x(n)的周期延拓。

頻域抽樣造成時域周期延拓。3.頻域抽樣不失真的條件當序列x(n)的長度為M時,只有當頻域采樣點數(shù)NM時,才能由X(k)不失真的恢復信號x(n),即三、由X(k)表達

X(Z)與的問題——內插公式1.由X(k)恢復X(Z)

序列x(n),（0nN-1）的Z變換為由于，所以上式就是由X(k)恢復X(Z)的內插公式——內插函數(shù)。2.內插函數(shù)的特性

令分子為零,得:

令分母為零,得:為一階極點為(N-1)階極點N個零點極點與一零點相消。這樣只有(N-1)個零點,抽樣點

稱作本抽樣點。因此說,內插函數(shù)僅在本抽樣點處不為零,其他(N-1)個抽樣點均為零。3.頻率響應單位圓上的Z變換即為頻響,代入

既是的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為：3.頻率響應單位圓上的Z變換即為頻響,代入內插函數(shù)的頻率特性可見,

既是的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為：當k=0時,則有時,由于i與k均為整數(shù),所以i

k

時

這就是說,內插函數(shù)在本抽樣點上,

而在其他抽樣點上

與X(k)的關系

與X(k)的關系在每個抽樣點上其值為1,故就精確等于X(k)。即

而在抽樣點之間,等于加權的內插函數(shù)值

疊加而得。1.用DFT進行譜分析

1.連續(xù)時間非周期信號傅氏變換對2.連續(xù)時間周期信號傅氏級數(shù)變換對§3-8DFT的應用3.DFT變換對:

4.對連續(xù)非周期信號的傅立葉變換的DFT逼近

用DFT計算所得的頻譜分量乘以T，就等于頻譜的正常幅度電平；用IDFT計算非周期信號的傅氏反變換，再乘以就得到所需信號的正常幅度電平。所以,從時間到頻率,

再從頻率到時間，整個過程總共乘了

幅度電平未受到影響。設用DFT計算所得的頻譜分量乘以T的理由：用IDFT計算非周期信號的傅氏反變換乘以的理由５.對連續(xù)時間周期信號的傅立葉級數(shù)的DFS逼近采樣t=nTFT周期延拓DTFT截斷DTFT卷積