第4章定積分資料課件

第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分的換元法及分部積分法第四節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用第五節(jié)定積分在物理上的應(yīng)用第六節(jié)反常積分一、定積分問題引例1、曲邊梯形的面積什么是曲邊梯形？設(shè)在上連續(xù)且。由直線，，x軸及曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形。其中曲線弧稱為曲邊，x軸上對應(yīng)[a,b]的線段稱為底邊。應(yīng)用曲邊梯形面積可以求出幾何上任意一種圖形的面積。求如圖陰影部分面積，其實(shí)只要求兩個(gè)曲邊梯形面積之差即可。xyO如何求曲邊梯形的面積？當(dāng)時(shí)，所圍成的圖形是一個(gè)矩形。

但當(dāng)，即是一條曲線時(shí)，曲邊梯形的高在每一點(diǎn)上是變化的，故不能用上式計(jì)算?？磮D分析Oyx曲邊梯形的面積=每個(gè)小區(qū)間上窄曲邊梯形面積之和而窄曲邊梯形面積窄矩形面積曲邊梯形面積每個(gè)小區(qū)間上窄矩形面積之和再令每個(gè)小區(qū)間的長度，則曲邊梯形的面積每個(gè)小區(qū)間上窄矩形面積之和的極限Oyx(1)分割(2)近似代替(3)求和(4)求極限可按如下步驟進(jìn)行２、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題設(shè)速度函數(shù)為，在上連續(xù)且若物體作勻速運(yùn)動(dòng)，則但現(xiàn)在速度是變量，由曲邊梯形問題的分析得知，可以把分成n個(gè)時(shí)間段。在每一個(gè)時(shí)間段上任取一個(gè)時(shí)刻，并以這個(gè)時(shí)刻的速度作為該時(shí)間段的平均速度。前面兩個(gè)問題都是歸結(jié)為求一種特定和的極限。若的極限存在且等于Ｉ，則把Ｉ稱為在上的定積分。記作也可以說在上可積。二、定積分定義１、定義前面的曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程分別可以表示為注意：（1）定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記號無關(guān)。２、定積分存在定理定理１設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積。定理２設(shè)在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，

則在上可積。３、定積分的幾何意義（分三種情況）

（a）在上，則表示曲邊梯形

的面積。Oyxab（b）在上，則表示曲邊梯形面積的負(fù)值。Oyx（c）在上有正有負(fù)，則表示在x軸上方的面積減去x軸下方面積之差。yOxab例應(yīng)用定義計(jì)算定積分。（１）當(dāng)a=b時(shí)，

（２）當(dāng)a>b時(shí)，性質(zhì)１函數(shù)的和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差）。三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)２被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面。（k是常數(shù)）性質(zhì)3（定積分的區(qū)間可加性）將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和。設(shè)a<c<b，則補(bǔ)充：不論的相對位置如何,上式總成立.證性質(zhì)5若在上，則性質(zhì)４如果在區(qū)間上，則推論1如果在區(qū)間上，，則證推論2

證性質(zhì)６設(shè)Ｍ及m分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則OxyaAbBmM證（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）性質(zhì)７（定積分中值定理）如果在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上，至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：

證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知Oyabx使即幾何意義：在[a,b]上至少存在一點(diǎn)，使得以[a,b]為底、以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的矩形的面積?？疾於ǚe分記一、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理１如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

在上有

Oxxyab證例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）（2）由積分中值定理得二、牛頓－萊布尼茨公式（微積分基本公式）

定理３如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的任意一個(gè)原函數(shù)，則定理２如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則

就是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。證又也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)令令例１計(jì)算例２計(jì)算例３計(jì)算正弦曲線y=sinx在上與x軸所圍成的平面圖形的面積。xyOx例4設(shè)，求例5求例6求例7一汽車以36km/h的速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等加速度a=－5米／秒2剎車。問從開始剎車到停車，汽車駛過多少距離？一、定積分的換元法例1計(jì)算例２計(jì)算例３計(jì)算例4求例5試證（１）若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則

（２）若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則例6證明例7已知f(x)是奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)二、定積分的分部積分法例2求例1求例證明一、定積分的元素法1、回顧曲邊梯形的面積問題（１）用一組分點(diǎn)將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，

設(shè)第i個(gè)窄曲邊梯形的面積為，曲邊梯形的面積Ａ為（2）用窄矩形代替窄曲邊梯形（3）求和（4）取極限2、面積元素

用表示任一小區(qū)間上窄曲邊梯形的面積，然后用窄矩形代替窄曲邊梯形，則就叫面積元素，記為3、元素法若所求量U與變量x的變化區(qū)間有關(guān)，且關(guān)于具有可加性，在的任意一個(gè)小區(qū)間

上找出部分量的近似值以它作為被積表達(dá)式，而得到這種方法稱為元素法。

稱為所求量U的元素。二、平面圖形面積1、直角坐標(biāo)情形取x為積分變量12面積元素面積公式例１計(jì)算由兩條拋物線、所圍成的圖形的面積。例２計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形面積。(2，-2)(8，4)以y為積分變量12面積元素例3求橢圓所圍圖形的面積。

（即橢圓的面積）O-a-b解一解二2、極坐標(biāo)情形取x軸為極軸，原點(diǎn)O為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)。

由曲線與射線、圍成的圖形稱為曲邊扇形。現(xiàn)在來研究曲邊扇形的面積。取極角為積分變量，變化區(qū)間為曲邊扇形面積公式O例1計(jì)算阿基米德螺線(a>0)的一段弧與極軸所圍成的圖形面積。例2計(jì)算心形線

所圍成圖形的面積。三、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積（1）什么是旋轉(zhuǎn)體？平面圖形繞著它所在平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。（2）體積元素現(xiàn)在研究平面圖形是曲邊梯形的情況。x體積元素旋轉(zhuǎn)體體積公式例1計(jì)算由橢圓所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體（叫做旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積。yxO例2計(jì)算正弦曲線弧與x軸所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積。Oy=sinx2、平行截面面積為已知的立體設(shè)立體介于過點(diǎn)x=a、x=b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間。已知過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積為A(x)，則體積元素例一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底圓交成角，計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積。1、直角坐標(biāo)情形四、平面曲線的弧長設(shè)曲線弧

在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。yＭＮＴＯx?！瘛馪Q弧長元素弧長公式例１計(jì)算曲線上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度。xyabO2、參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧為例計(jì)算擺線的一拱的長度。3、極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧為且在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：例計(jì)算心形線的弧長。一、變力沿直線所作的功例將一個(gè)質(zhì)量為m的物體從地面鉛直送到高為h的高空處，問克服地球引力要作多少功？解：以地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，r軸鉛直向上。k：萬有引力系數(shù)M：地球質(zhì)量R：地球半徑二、引力設(shè)有質(zhì)量分別為、的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們距離為。則（k為引力常數(shù)）例設(shè)有一長為，質(zhì)量為M的均勻細(xì)桿。另有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和桿同一直線且到桿的近端距離為