福大金融經(jīng)濟(jì)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

第一章金融：金融是在時(shí)間和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)維度上優(yōu)化的配置資源。金融學(xué)：學(xué)習(xí)和研究金融問題的學(xué)科。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)（狹義）：是金融學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)，著重討論金融市場(chǎng)的均衡建立機(jī)制，其核心是資產(chǎn)定價(jià)。金融/財(cái)務(wù)決策和資產(chǎn)估值之間的關(guān)系涉及的問題是：（1） 實(shí)物資產(chǎn)的投資決策。長期（超過1年）的實(shí)物資產(chǎn)投資決策在公司財(cái)務(wù)中稱為資本預(yù)算。投資決策的核心問題是如何正確地為實(shí)物資產(chǎn)定價(jià)，也就是正確的資產(chǎn)估值。（2） 融資和償付決策。即如何為實(shí)物資產(chǎn)的投資籌集資金并安排償付。其核心是如何為進(jìn)行融資的金融工具（包括銀行貸款、債券、股票等）正確定價(jià)。金融/財(cái)務(wù)決策和資產(chǎn)管理之間的關(guān)系涉及的最主要問題是：風(fēng)險(xiǎn)管理決策，即風(fēng)險(xiǎn)管理如何符合未來企業(yè)的投資和融資的需要（對(duì)于個(gè)人理財(cái)來說是如何滿足未來消費(fèi)的需要）。套利機(jī)會(huì)：套利機(jī)會(huì)是具有以下性質(zhì)的一組交易：（1）對(duì)整組交易而言，初始投資非正（2）未來產(chǎn)生的收益非負(fù)（3） 或者初始投資嚴(yán)格負(fù)，或者至少在未來某種狀態(tài)發(fā)生時(shí)收益嚴(yán)格正，或者這兩種情況同時(shí)出現(xiàn)資本成本：貨幣資本如果投資于金融資產(chǎn)（有價(jià)證券），則其預(yù)期收益率被稱為資本成本。資本的機(jī)會(huì)成本：貨幣資本如果投資于實(shí)物資產(chǎn)，則其證券化復(fù)制品的預(yù)期收益率被稱為資本的機(jī)會(huì)成本。第二章確定性條件下的效用函數(shù)選擇公理1（完備性）：任何兩個(gè)消費(fèi)集X中的消費(fèi)計(jì)劃是可以比較好壞的，數(shù)學(xué)表達(dá)為€ci,c2eX，一定有Ci,C2或者C2,Ci。選擇公理2（反身性）：任何消費(fèi)計(jì)劃都不比自己差，數(shù)學(xué)表達(dá)為€cEX，一定有c,c。選擇公理3（傳遞性）：不會(huì)發(fā)生循環(huán)的邏輯選擇，如果C1?C2,C3是消費(fèi)集X中的三個(gè)消費(fèi)計(jì)劃，c1不比c2差,，2不比c3差，則c1一定不比c3差。數(shù)學(xué)表達(dá)為%C2,C3&X，ci>c2，C2，C33Ci，C3o選擇公理4（連續(xù)性）：偏好關(guān)系不會(huì)發(fā)生突然的逆轉(zhuǎn)。也就是說，如果有一串消費(fèi)集X中的消費(fèi)計(jì)劃Ci'°?i,2,…，所有的Ci都不差于消費(fèi)集中的某個(gè)消費(fèi)計(jì)劃c，即有Ci€c,i=1,2,…；而Ci'°=1,2,…收斂于一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃c(由消費(fèi)集的閉性知，c也一定屬于X),則一定有c€c。選擇公理5(局部非厭足性)：對(duì)于任何一個(gè)消費(fèi)集中的消費(fèi)計(jì)劃，一定可以通過對(duì)它稍作修改，獲得嚴(yán)格比它好的消費(fèi)計(jì)劃。也就是說，沒有一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃能夠使消費(fèi)者完全滿意。滿足理性選擇公理(1，2，3)和選擇公理4則存在效用函數(shù)，且效用函數(shù)是唯一的。不確定條件下的期望效用函數(shù)：行為公理1(理性選擇)：偏好關(guān)系€,必須滿足理性選擇公理1至3,即滿足完備性、反身性和傳遞性。行為公理2(獨(dú)立性)：如果兀?兀，??！?,，并且兀€,兀5，則對(duì)于任何a?(0,1)，有…兀+(1_…加爐兀.+(―…加”，對(duì)于不嚴(yán)格的偏好關(guān)系€,，獨(dú)立性公理有類似的描述。行為公理3(阿基米德性)：如果兀5兀，5?！眅,，并且?！柏??,K”，則存在…5卩?(0,1)，使得…兀+(1一…)兀，兀，》，卩兀+(1一卩)兀“滿足行為公理123則期望效用函數(shù)存在。公平賭博：預(yù)期收益(平均收益)為0,則這個(gè)賭局被稱為公平賭博。4?風(fēng)險(xiǎn)厭惡：E[u(c)]-u[E(c)]風(fēng)險(xiǎn)中性：E[u(c)]=u[E(c)]風(fēng)險(xiǎn)喜好：E[U(c)]€u[E(c)]一個(gè)投資者是(嚴(yán)格)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，其必要和充分的條件是他的確定性效用函數(shù)是(嚴(yán)格的)凹函數(shù)。5?風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償：一個(gè)確定性的財(cái)富的量減去一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)量后，其效用水平與不確定條件下期望的效用水平相等。這個(gè)數(shù)量就被稱為風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。6?絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡和相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡A(w)三-四 R(w)三A(w)w三-四W=_竺/空絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡： u'(w)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡： u'(w) u'wdA(w)>° dA(w)<0dw次品，dw正常品(1)風(fēng)險(xiǎn)中性的情況u(w)=w。A(w)=R(w)=0(2)負(fù)指數(shù)效用函數(shù)(常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡CARA)U(w)=一阿5a>O,此時(shí)有：A(w)=a,R(w)=aw

aw1-awaaaw1-awu(w)€w一一w2,a,0 A(w)€ ,R(w)=(3)二次效用函數(shù) 2 的情況，此時(shí)有 1一aw請(qǐng)注意，此時(shí)有dA(w)/dw=a2/(1一aw)2>0即隨著財(cái)富w的增加，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡會(huì)加大。直觀的經(jīng)濟(jì)含義是：具有這種效用函數(shù)的人，風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于他來說好比劣質(zhì)商品，隨著自己財(cái)富的增加，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡會(huì)變大。u(w)= ,Y?1,丫…0幕效用函數(shù)(常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡CRRA) Y 此時(shí)有A(w)=口,R(w)=1-Yw(5)對(duì)數(shù)效用函數(shù)(CRRA)A(w)u(w(5)對(duì)數(shù)效用函數(shù)(CRRA)A(w)u(w)=logw此時(shí)有丄,R(w)w(6)雙曲線絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(HARA)A(w)=1-Y(1一丫)d+wT(w)三或者1A(w)7.風(fēng)險(xiǎn)厭惡的比較：定理2.4：如果u1()和u2()分別是兩位投資者的確定性效用函數(shù)。下面4條準(zhǔn)則用來判別投資者1和投資者2“在總體上”更加厭惡風(fēng)險(xiǎn)，這4條準(zhǔn)則互相之間是等價(jià)的。⑴A1(w)>A2(w)對(duì)所有的w和公平賭局而言，有\(zhòng)>Z2。U1(U-1(y))是嚴(yán)格的凹函數(shù)，其中y=U(w)是效用函數(shù)U(.)取值的值域變量，U-1(y)則是U(.)的反函數(shù)。⑷存在一個(gè)函數(shù)g(?)，有g(shù)")>0和g''(?)?0，使得U1(w)=g[U2(w)]。第三章一般均衡：是指Walras均衡同時(shí)又是帕累托(Pareto)最優(yōu)配置(或帕累托有效)定義3.1(Walras均衡即競爭性均衡)：在上述經(jīng)濟(jì)體中，我們說(c*，y*，P)構(gòu)成一個(gè)競爭性均衡(Walras均衡)，如果滿足以下條件：對(duì)于每個(gè)廠商j，其生產(chǎn)集合集Yj中的技術(shù)因素yj*實(shí)現(xiàn)利潤最大化pTyj-PTyj*，<yjGYj對(duì)每個(gè)消費(fèi)者i,在預(yù)算約束集

工?ii Ti Ti ?iT i{c€Xi:Pc5Pwo+j，1 jPyj*沖消費(fèi)c*對(duì)于偏好關(guān)系…i是最優(yōu)的。（3）市場(chǎng)結(jié)清，既有工 工ii，ic =Wo+j，iyj福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理：如果（C*,y*,P）是一個(gè)競爭性均衡（即Walras均衡），則配置（C*,y*）是帕累托最優(yōu)配置福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第二定理：假設(shè)每個(gè)消費(fèi)集XI和產(chǎn)生集Yi都是凸集，每個(gè)偏好關(guān)系>>j都滿足理性選擇公理，而且（W1,W2,。。。Wi）>>0（0是c維向量），則對(duì)每一個(gè)帕累托最優(yōu)配置（C*,y*）,存在一個(gè)價(jià)格體系（向量）P=（p1，p2，…卩丿tHO,使得（C*,y*,P）是一個(gè)競爭性均衡4?狀態(tài)或有要求權(quán)orArrow-Debreu證券基本證券：一個(gè)狀態(tài)W的或有要求權(quán)是這樣的一種證券，到t=1時(shí)期，如果出現(xiàn)狀態(tài)W,則支付1個(gè)單位的消費(fèi)品，如果不出現(xiàn)狀態(tài)W,則不支付任何東西。狀態(tài)價(jià)格以°w記狀態(tài)W的或有要求權(quán)的價(jià)格。請(qǐng)注意，這是在t=0時(shí)期的價(jià)格。之所以稱為“或有要求權(quán)”,是因?yàn)榈轿磥韙=1時(shí)期,可能是得到支付也可能是得不到支付。這種可能性體現(xiàn)在（t=0時(shí)期）是有價(jià)值的，表現(xiàn)為價(jià)格"w。"w也稱為狀態(tài)價(jià)格（stateprices）優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)和約束條件金融資產(chǎn)通過市場(chǎng)交易定價(jià)，與投資者個(gè)人的偏好完全無關(guān)Arrow-Debreu經(jīng)濟(jì)的均衡Arrow-Debreu經(jīng)濟(jì)的一般均衡是存在的；Arrow-Debreu經(jīng)濟(jì)的均衡是帕累托最優(yōu)（有效的）。金融市場(chǎng)的完全性（證明題）市場(chǎng)完全等價(jià)于狀態(tài)價(jià)格存在無套利可以推出：30>>無套利可以推出：30>>0,P，Z①基本定價(jià)方程P，工Zk①，工兀 羋2Zk，E[v'(c)Zk]k ww wu'(c)wu'(c)w=1 w=1 0 010?等價(jià)鞅的概念：如果隨機(jī)變量過程滿足：€t，E9+10〉t，1，12…，貝y稱為鞅。冗余證券：市場(chǎng)上有沒有這樣的證券就無關(guān)緊要，不會(huì)影響市場(chǎng)的均衡定價(jià)機(jī)制。（行、列可以表示成其他行列的線性組合）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)P-工?Zk- 工…k ww ?w www，1 w，1 fw，1 f在風(fēng)險(xiǎn)中性的環(huán)境下，金融資產(chǎn)的定價(jià)是未來收入現(xiàn)金流的預(yù)期值用無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。兩期模型的金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一基本定理：風(fēng)險(xiǎn)中性概念存在的必要而充分的條件是金融市場(chǎng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)（證明題）兩期模型的金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二基本定理：風(fēng)險(xiǎn)中性概率是唯一的，其必要而充分的條件是金融市場(chǎng)是完全的（證明題）帕累托最優(yōu)（金融市場(chǎng)中的福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第二定理）（論述題）課本74頁框框+75頁1，2段15?總量分析（論述題）：課本82頁定理3.10意味著……+對(duì)它進(jìn)行否定+課本80頁最后一段+課本75頁第2段第九章資本預(yù)算是指中長期投資決策M(jìn)M第一命題：在MM條件下，企業(yè)的價(jià)值與企業(yè)的資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。MM第二命題：權(quán)益投資成本等于企業(yè)總的資本成本（即加權(quán)平均資本成本）加上企業(yè)總的資本成本相對(duì)于負(fù)債資本成本的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤瞧髽I(yè)的財(cái)務(wù)杠桿（負(fù)債權(quán)益比）。加權(quán)平均資本成本：E(q)-(D+E)D+E證明題3選1定理3.3 設(shè)證券的支付矩陣為 NxS階矩陣Z，證明：rank（Z），S的充分必要條件是金融市場(chǎng)是完全的。證：(1)必要性。因rank(Z)=S，故Z有S個(gè)線性無關(guān)的行向量，不妨設(shè)為Zk,k=1,2,...,S。由于它們都是S維向量，故它們構(gòu)成Rs的基底。對(duì)每一個(gè)可能發(fā)生的狀態(tài)€，設(shè)它到t二1時(shí)期的狀態(tài)或有要求權(quán)的支付為,€，(“)?eRs，又設(shè)Z中前S個(gè)線性無關(guān)的行向量構(gòu)成的矩陣為Z…，則存在s維向量y€，使得,€=(0,?…,0,1,0,?…,0)=(y€)?Z…構(gòu)造復(fù)合證券的組合：N維向量x€=((y€)?,0,?…,0)?，貝V，€=(0,?€Ol,。,€?,0)=(X€)TZ所以，狀態(tài)€(€=1,2,?€,S)的或有要求權(quán)可以以復(fù)合證券的組合x€來復(fù)制，即市場(chǎng)上都相應(yīng)地存在€的狀態(tài)或有要求權(quán)。因此金融市場(chǎng)是完全的。(2)充分性。設(shè)金融市場(chǎng)是完全的，要證rank(Z)，S。反證)若rank(Z)，r<S，記z的列向量Z,k，1,2,,S，不妨設(shè)Z,€,Z線性無關(guān)，則對(duì)于任意k…r，存在在，/，1,2,€,r，使得Z，2Lr九z (1)另一方面,k因?yàn)榻?融市場(chǎng)是完全的，故存在組合xk，使得(0,,0,1,0,,0)，(xk)tZ即(xk)tZ，1， (xk)tZ，0,i豐k (2)式(1)兩邊左乘(xk)t，并利用式(2)，得1=0矛盾，所以rank(Z)>S；又顯然rank(Z)<S，因此，rank(Z)，S。證明金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一基本定理：風(fēng)險(xiǎn)中性概率存在的充要條件是金融市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。證：必要性。設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率€*存在，使得k，1,2,€,N(1)P，EZk]/(1+r)，為€k，1,2,€,N(1)k f i，1ii f令①，兀*/(1+打)，由兀*>>0，故?>>0；由式1)得P，Z?于是，據(jù)資產(chǎn)定價(jià)基本定理知，金融市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。充分性。設(shè)金融市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)，據(jù)資產(chǎn)定價(jià)基本定理知，存在狀態(tài)價(jià)格向章〉0，使得：P,Z①。即pk，^S=1?iZik，k=12…,N ⑵令兀*=O（1+打），貝嚴(yán)*?0；又狀態(tài)價(jià)格滿足斗覚=1/（1+打），故斗j：=1。且由式2）得P，為兀*Zk/（1+r），E[Zk]/（1+r），k二I2,?…，Nk i，1ii / /從而兀:為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，即風(fēng)險(xiǎn)中性概率存在。 、證明金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第二基本定理：設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性概率存在，貝風(fēng)險(xiǎn)中性概率是唯一的充要條件是金融市場(chǎng)是完全的。證明：必要性。由于風(fēng)險(xiǎn)中性概率存在，由金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一基本定理，金融市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。據(jù)資產(chǎn)定價(jià)基本定理知，存在狀態(tài)價(jià)格向書〉0，使得:P,尬。又因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性概率是唯一的，如果狀態(tài)價(jià)格向量不唯一，根據(jù)金融經(jīng)濟(jì)學(xué)第一基本定理的證明中兩者的關(guān)系知，風(fēng)險(xiǎn)中性概率也不唯一，矛盾。所以狀態(tài)價(jià)格向量也是唯一的。于是方程—^有唯一解，從是列滿秩的，所以rankZ)=S，同定理.3知，金融市場(chǎng)是完全的。充分性。因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性概率存在，故存在狀態(tài)價(jià)格向量存在，從而P=滋有解。又因?yàn)榻鹑谑袌?chǎng)是完全的nk故)=S，于是Z是列滿秩的。所以方程F=加有唯一解，即狀態(tài)價(jià)格向量是唯一的，所以風(fēng)險(xiǎn)中性概率也是唯一的。計(jì)算5選21.假設(shè)1期有兩個(gè)概率相等的狀態(tài)a和b。1期的兩個(gè)可能狀態(tài)的狀態(tài)價(jià)格分別為€和a€b?？紤]一個(gè)參與者’他的稟賦為(e。；寫；霊)。其效用函數(shù)是對(duì)數(shù)形式U(c;c;c)=logc,—(logc,logc)01a1b 02 1a 1b問：他的最優(yōu)消費(fèi)／組合選擇是什么？解答：給定狀態(tài)價(jià)格和他的稟賦，他的總財(cái)富是W=e，€e，€e。他的最優(yōu)化問0a1ab1b題是

1maxc0,c1a,c1bs.t.logc+—(logc+logc)02 1a 1bw一(c+€c+€c)=00 a1a b1bc,c,c?001a1b其一階條件為：1/c=九+卩00-(1/c)=九€+卩2 1a a a-(1/c)=九€+卩2 1b b bc+€c+€c=w0a1a b1b卩c=0,i=0,a,bii給定效用函數(shù)的形式，當(dāng)消費(fèi)水平趨近于0時(shí)，邊際效用趨近于無窮。因此，參與者選擇的最優(yōu)消費(fèi)在每一時(shí)期每一狀態(tài)都嚴(yán)格為正，即所有狀態(tài)價(jià)格嚴(yán)格為正。在這種情況下，我們可以在一階條件中去掉這些約束(以及對(duì)應(yīng)的乘子)而直接求解最優(yōu)。因此，卩c=0(i=0,a,b)。對(duì)于c我們立即得到如下解:iic=1a…2€1a11c=2b …2€1b把c的解代人預(yù)算約束，我們可以得到…的解:九=?最后，我們有1wc= 1wc= 1a 4€ac1b1w可以看出，參與者把一半財(cái)富用作現(xiàn)在的消費(fèi)，把另外一半財(cái)富作為未來的消費(fèi)。某一狀態(tài)下的消費(fèi)與對(duì)應(yīng)的狀態(tài)價(jià)格負(fù)相關(guān)。狀態(tài)價(jià)格高的狀態(tài)下的消費(fèi)更昂貴。結(jié)果，參與者在這些狀態(tài)下選擇較低的消費(fèi)。2.考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)，在1期有兩個(gè)概率相等的狀態(tài)a和b。經(jīng)濟(jì)的參與者有1和2，他們具有的稟賦分別為:

—0e—0e:100—1—0e:0€2—200—50兩個(gè)參與者都具有如下形式的對(duì)數(shù)效用函數(shù)：U(c)=logc,—(logc,logc)02ab在市場(chǎng)上存在一組完全的狀態(tài)或有證券可以交易。因?yàn)橛袃蓚€(gè)狀態(tài)，因而只有兩個(gè)狀態(tài)或有證券。試分析這個(gè)經(jīng)濟(jì)的均衡。解答：考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)，在1期有兩個(gè)概率相等的狀態(tài)a和b。經(jīng)濟(jì)中有參與者1和2,他們具有的稟賦分別為：—0e—0e:100———0e:0€2—200—50兩個(gè)參與者都具有如下形式的對(duì)數(shù)效用函數(shù)：U(c)=logc,—(logc,logc)0 2ab在市場(chǎng)上存在一組完全的狀態(tài)或有證券可以交易。因?yàn)橛袃蓚€(gè)狀態(tài)，因而只有兩個(gè)狀態(tài)或有證券?，F(xiàn)在我們開始分析這個(gè)經(jīng)濟(jì)的均衡。從給定交易證券價(jià)格下參與者的最優(yōu)化問題開始。記e=3；e］為狀態(tài)價(jià)格(向量)，即兩個(gè)狀態(tài)或有證券的價(jià)格。我們可以定義每個(gè)參與者的財(cái)aa富為w=0Te，這里e=［1;］；而e是他的稟賦。這時(shí)，最優(yōu)化問題變成了:1maxlogc+—(logc+logc)0 2a b)c)c=wbbs.t.c+0c+00a該問題的解為1c=w1c=wk,02k1wc= k,k,a 40ack,b1w=k4ea這里w這里w=100而w12=2000+500。ab均衡由市場(chǎng)出清決定。有兩個(gè)交易證券，每一市場(chǎng)都應(yīng)該出清：均衡由市場(chǎng)出清決定。有兩個(gè)交易證券，每一市場(chǎng)都應(yīng)該出清：_110012000，500_200TOC\o"1-5"\h\zc,c— , ab 2001,a 2,a40 4 0aa110012000，500 ”c,c— , ab—501,b 2,b40 4 0bb

均衡價(jià)格的解為€=1/4和€=1。參與者2的財(cái)富為w=200(1/4)+(50)(1)=100。因ab2此，參與者2和參與者1的財(cái)富相同，盡管他們的稟賦非常不同。均衡配置是c二c二[50;[100;25]]。這并不奇怪。給定他們具有相同的偏好和財(cái)富，他們的消費(fèi)計(jì)劃12也應(yīng)該相同?，F(xiàn)在讓我們來看看均衡配置。對(duì)于每個(gè)參與者，他的相對(duì)邊際效用為c w/22c 2w/(4€)k,w kw①—ac w/22c 2w/(4€)k,w kw①—a①—b?U(c) (1/c)0k k k,0_€”-11"這對(duì)于兩個(gè)參與者來說是一樣的。3．一個(gè)投資者有本金x,可以投資的錢數(shù)在0到x之間，如果投資了y，則會(huì)以概率p獲益y，以1-p損失y。如果p>12，投資者的效用函數(shù)是對(duì)數(shù)的，則投資者應(yīng)該投入多少？解：設(shè)投入金額是ax，0<a<1，投資者的投資結(jié)果記為X，它等于x,ax或x-ax,出現(xiàn)這兩種結(jié)果的概率分別是P，1-P，它們的期望效用為：Plog((1+a)x)+(1-p)log((1—a)x)—plog(1+a)+plog(x)+(1—p)log(1—a)+(1—p)log(x)—log(x)+plog(1+a)+(1一p)log(1一a)。為求出a的最優(yōu)值，對(duì)上式關(guān)于a求導(dǎo)plog(1+a)+(1—p)log(1—a)得：f(plog(1+a)+(1—p)log(1—a))———pda 1+a1—a令上式等于0，得：p—ap—1—p+a—ap 或 a—2p—1。所以投資者每次都應(yīng)投資他現(xiàn)有財(cái)富的100(2p-1)%。例如，如果獲利的概率p=0.6,則投資者應(yīng)該投資全部財(cái)富的20%。如果p=0.7，他應(yīng)該投資40%。(當(dāng)p，1/2時(shí)，容易證明最優(yōu)投資數(shù)量為0。4.2.1和叭c)是兩個(gè)效用函數(shù)，［\.V(x)=f(U(x))r其中八)足一止單調(diào)函數(shù)。證明這兩個(gè)效用函數(shù)表示了相同