微分方程模型-數(shù)學(xué)建模真題解析課件

微分方程模型常微分方程的基本方法匚微分方程基礎(chǔ)分方程是含有函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程如果方程(組)只含有一個自變量(通常是肘間t),則稱為常微分方程。否則稱為偏微分方程。例:下面的方程都是徽分方程m+ku=mgsineSIl微分方程的解是函數(shù),對應(yīng)一個變化過程。常微分方程的解是隨肘間t`化的函數(shù),比如一輛汽車在公路上飛馳,一個球從空中落下等。偏微分方程不但描述物體隨時間變化發(fā)生位置的改變,而且物體各部分之間的位置的相對變化。如水的流動,煙雰的擴散,公路上車流的涌動等。微分方程解決的主要問題:(1)描述對象特征隨肘間(空間)的演變過程(2)分析對象特征的變化規(guī)律(3)預(yù)報對象特征的朱來性態(tài)4)研究控制對象特征的手段微分方程模型包括兩個部分:方程和定解條件。由于微分方程的求解需要借助微分的逆運算一積分,而積分出現(xiàn)任意常數(shù),因此方程的解不唯一,需要附加條件將所求的解唯一確定下來。這樣的條件稱為定解條件。帟徽分方程的定解條件:對一個m階常微分方程,需要積分m次才能將解函數(shù)求出,因此需要m個定解條件。方程組的定解條件個數(shù)是每個方程定解條件個數(shù)之和。定解問題分為初值問題和邊值問題初值問題的定解條件在同一個點上,而邊值問題的定解條件在不同點上。導(dǎo)數(shù)的意義:瞬肘變化率在實際上我們遇到的描述變化的詞有速率(物理)增長率(經(jīng)濟,生物,人口等)哀變(原子反應(yīng))邊際的(經(jīng)濟噼時變化率的描述絕對增加率:單位肘間增加的量相對增加率:單位肘間增加的百分比。變化率三增加率減少率由于是噼肘的,其量的關(guān)糸只有在很短的肘間間隔中才能夠利用靜態(tài)的方法分析。(微元法)微分方程的建模方法(1)利用導(dǎo)數(shù)的意義,建立含有導(dǎo)數(shù)的方程(微分方程)。(2)微元法。微分方程的穩(wěn)定性理論對微分方程組=∫(x)dt若f(x)=0,則稱X是方程組的平衙點。如果在平衡點X處,f(X)的Jacob矩陣ofraf,afrfDfD(,f2,L,fn)2DxD(r,,x2,L,,)afaf,a0ax.a的所有特征值的實部都小于0,則Ⅺ是穩(wěn)定的平衡點如果存在某個特征值的實部大于0,則Ⅺ是不穩(wěn)定的平衡點。穩(wěn)定的平衡點的實際意義如果傲分方程存在穩(wěn)定的平衡點,設(shè)X(t是傲分方程的解,則當(dāng)t>∞肘,Ⅺ(t)趨句于某個穩(wěn)定的平衡點例:對Logistic方程,=r(1dt它有兩個平衡點Ⅹ=0和X=N。其中X=0是不穩(wěn)定的平衡點,X=N是穩(wěn)定的平衡點。例1:某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本的新陳代謝。在健身訓(xùn)練中,他每公斤體重所消耗的熱量大約是16卡/天。設(shè)以脂肪形式貯存的熱量100%有效,且1公斤脂肪含熱量10000卡,分析這個人體重的變化。分析:問題研究人體重量隨時間的烹化w(t)。條件給出的是熱量單位射間的變化2500-1200-16w(t)