第04講空間的平行直線（3種題型）

第04講空間的平行直線（3種題型）【知識(shí)梳理】一、公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c；二、等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；推論1、如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或者互補(bǔ)；推論2、如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；【考點(diǎn)剖析】題型一：公理4例1.如圖所示為一長(zhǎng)方體木料，經(jīng)過木料的面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？并說明理由．【解析】如圖所示，在面A1C1內(nèi)過P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則直線EF即為所求；理由：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC；【考點(diǎn)】公理4；公理4與作平面交線的簡(jiǎn)單交匯；【變式1】設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；上述命題中錯(cuò)誤的是（寫出所有錯(cuò)誤命題的序號(hào)）【答案】②③【解析】由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；故填②③.【考點(diǎn)】公理4；與空間想象能力與分類討論的簡(jiǎn)單交匯；【變式2】已知空間四邊形ABCD，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).則四邊形EFGH的形狀是【答案】梯形；【解析】在△ABD中可得EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD，在△CBD中可得FG∥BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD，所以EH，F(xiàn)G平行且不相等，所以四邊形EFGH是梯形；【考點(diǎn)】公理4；注意：精準(zhǔn)畫出圖像以及與平面幾何中“平行線截得線段成比例”的交匯；【變式3】（2021·上海市控江中學(xué)高二期中）空間四邊形中，???分別是???的中點(diǎn)，且，則四邊形的形狀是___________.【答案】矩形【分析】先由中位線的性質(zhì)證明是平行四邊形，然后再由已知垂直即可求解．【詳解】因?yàn)???分別是???的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，，，所以，所以四邊形為矩形，故答案為：矩?【變式4】在四面體中，、分別是、的重心，連接、分別延長(zhǎng)并交、于點(diǎn)、，則、、、中，與平行的直線的條數(shù)是（）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【分析】作出圖形，可知點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，利用重心的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，結(jié)合平行線的傳遞性，可得出與直線平行的直線.【詳解】如下圖所示：由題意可知，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，則，由重心的性質(zhì)可知，，，若，則，矛盾，同理可知，與也不平行，因此，、、、中，與平行的直線有兩條.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線平行的判定，涉及到重心性質(zhì)的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)以及平行線的傳遞性，考查推理能力，屬于中等題.題型二：等角定理及其推論例2.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1方向相同，則下列結(jié)論正確的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行【答案】D【詳解】如圖，；當(dāng)時(shí)，且，與的方向相同，與是不一定平行，如上圖所示，故選D.【變式1】已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于（）A．30°B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】B；【解析】因?yàn)锳B∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR與∠ABC相等或互補(bǔ)；因?yàn)椤螦BC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°；【考點(diǎn)】等角定理推論1；【變式2】已知a，b，c是空間中的三條直線，a∥b，且a與c的夾角為θ，則b與c的夾角為

【答案】θ；【解析】本題考查空間中直線的夾角問題，因?yàn)閍∥b，所以a，b與c的夾角相等；因?yàn)閍與c的夾角為θ，所以b與c的夾角也為θ；【考點(diǎn)】等角定理推論1；注意：與直線的夾角的交匯；【變式3】（2021·上?！とA東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如果OA//O1A1，OB//O1B1，∠AOB=，則∠A1O1B1=_______________【答案】或【分析】根據(jù)等角定理，結(jié)合直線的方向，即可得到答案；【詳解】OA//O1A1，OB//O1B1，當(dāng)直線，中方向都相同或都相反時(shí)，，當(dāng)直線，中方向有一條不同，一條相反時(shí)，，故答案為：或【變式4】（2021·上海外國(guó)語大學(xué)閔行外國(guó)語中學(xué)高二期中）設(shè)與的兩邊分別平行，若，則___________.【答案】或．【分析】根據(jù)等角定理即可得到答案．【詳解】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．故答案為：或．【變式5】（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如果，，那么與之間具有什么關(guān)系？【答案】相等或互補(bǔ)【分析】按與在同一平面內(nèi)和不在同一平面內(nèi)分別推理判斷作答.【詳解】當(dāng)與在同一平面內(nèi)時(shí)，令OB交A1O1于點(diǎn)M，如圖：因，則，，又，則，因此，，，顯然C與A可換位，所以與之間相等或互補(bǔ)；當(dāng)與不在同一平面內(nèi)時(shí)，若射線OA與O1A1同方向，射線OB與O1B1同方向，在射線OA與O1A1上分別取點(diǎn)E，E1，使OE=O1E1，在射線OB與O1B1上分別取點(diǎn)D，D1，使OD=O1D1，連接OO1，DD1，EE1，ED，E1D1，如圖，因，則四邊形OEE1O1是平行四邊形，EE1//OO1，且EE1=OO1，同理DD1//OO1，且DD1=OO1，于是得EE1//DD1，且EE1=DD1，則四邊形DEE1D1是平行四邊形，即有ED=E1D1，從而有，則，即，射線OC是射線OA的反向延長(zhǎng)線，則有，即，顯然C與A可換位，因此，與之間相等或互補(bǔ)，若射線OA與O1A1方向相反或射線OB與O1B1方向相反，則射線OA的反向延長(zhǎng)線與O1A1同方向或射線OB的反向延長(zhǎng)線與O1B1同方向，在其反向延長(zhǎng)線上按上述同樣的方式進(jìn)行，可得與之間相等或互補(bǔ)，所以與之間相等或互補(bǔ)，綜上得：與之間相等或互補(bǔ).題型三：公理4、等角定理及其推論的綜合應(yīng)用例3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；（2）求證：∠BMC＝∠B1M1C1.【提示】（1）欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形，可證其一組對(duì)邊平行且相等；（2）可結(jié)合(1)利用等角定理證明或利用三角形全等證明；【證明】（1）∵ABCD-A1B1C1D1為正方體．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分別為棱AD、A1D1的中點(diǎn)，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．（2）方法1、由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1；方法2、由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1＝BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1；【考點(diǎn)】公理4、等角定理及其推論的綜合應(yīng)用；【點(diǎn)精】1、空間兩條直線平行的證明：一是定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；二是利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；三是利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行；2、求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似；【變式1】下列命題中，錯(cuò)誤的命題的序號(hào)是：①.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等②.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等③.如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)④.如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行【答案】①③；【解析】這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，命題①A錯(cuò)誤；由等角定理知，命題②正確；在空間中，這樣的兩個(gè)角大小關(guān)系不確定，命題③錯(cuò)誤；由公理4知命題④正確；【考點(diǎn)】公理4、等角定理及其推論；【變式2】（2021·廣東·忠信中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)和平面幾何知識(shí)可得證；（2）根據(jù)空間兩個(gè)角相等定理或三角形全等可得證.【詳解】解：(1)∵為正方體．∴，且，又，分別為棱，的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且．又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形．(2)法一：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．∵和方向相同，∴．法二：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．又∵，∴，∴．【變式3】（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：(1)；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.試題分析：(1)連接，，由三角形中位線定理可得，，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，故而可得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，首先證明四邊形是平行四邊形，得到，再證四邊形是平行四邊形及平行的傳遞性，得到，同理得，結(jié)合角兩邊的方向相反，進(jìn)而可得結(jié)論成立.試題解析：(1)連接，，在中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，同理，在正方體中，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所?(2)取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，同理可證：，又與兩邊的方向均相反，所以.點(diǎn)睛：本題主要考查了公理4即線線平行的傳遞性，等角定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，得到線線平行主要用到三角形中位線定理，平行四邊形推論以及線線平行的傳遞性，證明兩角相等即證明角對(duì)應(yīng)的兩邊分別平行且方向相同或相反.【過關(guān)檢測(cè)】一、概念填空1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（1）基本事實(shí)：平行于同一條直線的兩條直線_______________．（2）等角定理文字語言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角___________或___________圖形語言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)[微思考]如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？______________【答案】平行相等互補(bǔ)比一定平行，可以相交、異面、平行二、單選題2．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論中正確的是（

）①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間中有四條直線a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】B【分析】根據(jù)空間中直線間的位置關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】①錯(cuò)誤，兩條直線可以異面；②正確，平行的傳遞性；③錯(cuò)誤，和另一條直線可以相交也可以異面；④正確，平行的傳遞性.故選：B.3．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（

）A．且方向相同 B．，方向可能不同C．OB與不平行 D．OB與不一定平行【答案】D【分析】畫出圖形，當(dāng)滿足題目中的條件時(shí)，出現(xiàn)的情況有哪些，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，當(dāng)∠AOB=∠A1O1B1時(shí)，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1是不一定平行．故選：D．4．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則直線EF與直線GH的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直【答案】C【分析】連接AD1，CD1，AC，根據(jù)E，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理和平行關(guān)系的傳遞性判斷.【詳解】如圖，

連接AD1，CD1，AC，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故選：C5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）給出下列命題：①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．其中正確的命題有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】對(duì)于①，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，據(jù)此判斷；對(duì)于②，根據(jù)等角定理判斷；對(duì)于③，空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時(shí)兩個(gè)角有可能不相等且不互補(bǔ)，據(jù)此判斷.【詳解】對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；對(duì)于③，如圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個(gè)角不一定相等，也不一定互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤．所以正確的命題有1個(gè)．故選：B6．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）下列命題中，正確的結(jié)論有(

)①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】①中，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；②中，如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等，故②正確；③中，如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，在空間中，兩角大小關(guān)系不確定，故③錯(cuò)誤；④中，如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故④正確；故選B.三、多選題7．（2023·上海·高二專題練習(xí)）(多選題)下列說法中，正確的結(jié)論有（

）A．如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等B．如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等C．如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行【答案】BD【分析】由等角定理可判斷A的真假；根據(jù)直線夾角的定義可判斷B的真假；舉反例可判斷C的真假；由平行公理可判斷D的真假.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，這兩個(gè)角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互補(bǔ)，也可能既不相等，也不互補(bǔ).反例如圖，在立方體中，與滿足，，但是，，二者不相等也不互補(bǔ).故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.四、填空題8．（2022秋·上海嘉定·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為___________.【答案】45°或135°/135°或45°【分析】根據(jù)等角定理即可得到答案.【詳解】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).故答案為：45°或135°.9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，與平行的棱有____________(填寫所有符合條件的棱)【答案】【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特點(diǎn)直接寫出與平行的棱即可.【詳解】長(zhǎng)方體具有三組互相平行的棱，并且每一組棱都有四條，由圖可知與平行的棱還有：，故答案為：.10．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）空間中有兩個(gè)角、，且角、的兩邊分別平行.若，則________.【答案】或【分析】根據(jù)等角定理可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榻桥c兩邊對(duì)應(yīng)平行，但方向不確定，所以與相等或互補(bǔ)，故或.故答案為：或.11．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）基本事實(shí)4基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線_____.【答案】平行【分析】由平行公理求解.【詳解】由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線平行，故答案為：平行12．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角_____.【答案】相等或互補(bǔ).【分析】由等角定理求解.【詳解】如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).故答案為：相等或互補(bǔ).13．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且有一組邊方向相反，那么這兩個(gè)角的關(guān)系是______.【答案】互補(bǔ)/互為補(bǔ)角【分析】由等角定理及其推論可判斷【詳解】根據(jù)等角定理的推論可知，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且有一組邊方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)故答案為：互補(bǔ)五、解答題14．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，可得，再證明四邊形為平行四邊形，得，從而得；（2）根據(jù)等角定理證明即可.【詳解】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接.在矩形中，易得，因?yàn)?，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所?在矩形中，易得，.所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.（2）因?yàn)?，，又與的對(duì)應(yīng)邊方向相同，所以.15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，且方向相同可證得結(jié)論；（2）根據(jù)，且方向相同可證得結(jié)論.【詳解】（1）由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得：，，且方向相同，由等角定理可得：.（2）由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得：，，四邊形為平行四邊形，，，且方向相同，由等角定理可得：.16．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知E，F(xiàn)，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，若，證明:四邊形EFGH為梯形.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)，得到EH∥BD且EH=BD，同理得到FG∥BD且FG=BD，再利用平行關(guān)系的傳遞性證明.【詳解】證明：如圖，在ABD中，因?yàn)椋訣H∥BD且EH=BD.在BCD中，因?yàn)?，所以FG∥BD且FG=BD，所以EH∥FG且EH>FG，所以四邊形EFGH為梯形.17．（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】結(jié)合線線平行以及平行四邊形的知識(shí)來證得結(jié)論成立.【詳解】由于分別是長(zhǎng)方體的中點(diǎn)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知且，所以四邊形是平行四邊形.18．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD、AD的中點(diǎn).求證：（1）四邊形是梯形；（2）∠DNM＝∠D1A1C1.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)直線的平行性的傳遞性可得且，根據(jù)梯形的定義可得結(jié)論成立；（2）根據(jù)等角定理可證結(jié)論成立.【詳解】（1）連接，因?yàn)镸，N分別是棱CD、AD的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，所以且，所以四邊形是梯?（2）由（1）知，又根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，且與的方向相同，所以根據(jù)等角定理可得.【點(diǎn)睛】本題考查了平行直線的傳遞性，考查了等角定理，屬于基礎(chǔ)題.19．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn).求證：.【答案】證明見解析【分析】通過平行以及長(zhǎng)度關(guān)系證明，，然后根據(jù)等角定理證明.【詳解】證明：因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.同理可證，又與方向相同，所以.20．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，和的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線，，交于同一點(diǎn)O，且.（1）證明:，，.（2）求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件可證可得，即可證明，同理可證，；（2）根據(jù)等角定理得出，進(jìn)而可得，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榕c相交于點(diǎn)O，所以與共面，在和中，可得，又因?yàn)椋?，所以，，所以同理?（2）因?yàn)?，，且和，和的方向相反，?同理，因此，又，所以.21．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點(diǎn)，試判斷直線MN與直線EF是否平行．【答案】平行【分析】根據(jù)給定條件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判斷作答.【詳解】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點(diǎn)，則有MN//AC，而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直線MN與直線EF平行．22．（2022秋·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)和平面幾何知識(shí)可得證；（2）根據(jù)空間兩個(gè)角相等定理或三角形全等可得證.【詳解】解：(1)∵為正方體．∴，且，又，分別為棱，的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且．又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形．(2)法一：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．∵和方向相同，∴．法二：由(1)知四邊形為平行四邊形，∴．同理可得四邊形為平行四邊形，∴．又∵，∴，∴．23．在正方體A1B1C1D1﹣ABCD中，E、F分別是BC、A1D1的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形B1EDF是菱形；（2）作出直線A1C與平面B1EFD的交點(diǎn)（寫出作圖步驟）．【分析】（1）取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，可證四邊形B1BGF為平行四邊形，四邊形BEDG為平行四邊形，得到四邊形B1EDF為平行四邊形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，得到四邊形B1EDF是菱形；（2）連接A1C和AC1，則A1C與AC1的交點(diǎn)O，即為直線A1C與平面B1EFD的交點(diǎn)．【詳解】（1）證明：取AD中點(diǎn)G，連接FG，BG，如圖1所示，則B1B∥FG，B1B＝FG，∴四邊形B1BGF為平行四邊形，則BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，且E，G分別為BC，AD的中點(diǎn)，可得BEDG為平行四邊形，∴BG∥DE，BG＝DE，則B1F∥DE，且B1F＝DE，∴四邊形B1EDF為平行四邊形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，∴四邊形B1EDF是菱形；（2）連接A1C和AC1，則A1C與AC1的交點(diǎn)O，即為直線A1C與平面B1EFD的交點(diǎn)，如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了空間想象與邏輯推理能力，是中檔題．關(guān)鍵是掌握正方體的性質(zhì)和熟練使用平行公理.24.在正方體中，分別是的中點(diǎn).求證：空間四邊形是菱形.【分析】取中點(diǎn)，連接，證明四邊形，都是平行四邊形，從而得到四邊形是平行四邊形，再證明，得到空間四邊形是菱形.【詳解】證明：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則，四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是平行四邊形，，，∴四邊形是平行四邊形，又,,，空間四邊形是菱形.【點(diǎn)睛】本題考查正方體內(nèi)線段之間的關(guān)系，空間四邊形的證明，屬于簡(jiǎn)單題.25.空間四邊形ABCD中E?F?G?H分別為AB?BC?CD?AD上的點(diǎn)（1）求證：當(dāng)E?F?G?H分別為各邊的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EFGH為平行四邊形；（2）當(dāng)E?F?G?H滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH為梯形？說明理由.【分析】根據(jù)題意，結(jié)合中位線證明四邊形EFGH的一組對(duì)邊平行且相等，即可證明四邊形EFGH為平行四邊形；(2)根據(jù)題意，要使四邊形EFGH為梯形，只需滿足一組對(duì)邊平行而另一邊不平行，結(jié)合相似三角形即可求解.【詳解】(1)在中，因、分別為、的中點(diǎn)，所以∥，且，同理∥，且，所以∥，且，所以四邊形EFGH為平行四邊形；(2)①當(dāng)，且時(shí)，四邊形EFGH為梯形.因?yàn)椋浴?，所以∥，同理∥，所以∥，又因?yàn)?，所以與不平行，所以四邊形EFGH為梯形.②當(dāng)，且時(shí)，四邊形EFGH為梯形.證明過程同理于①.故當(dāng)，且或，且時(shí)，四邊形E