2015年高中數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)第六章6.1

§6.1數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法1．?dāng)?shù)列的定義按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的分類分類原則類型有窮數(shù)列無窮數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列滿足條件項(xiàng)數(shù)有限項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)數(shù)分類按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類a__>__ann1＋a__<__an其中n∈N＋n1＋a＝ann1＋有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M按其他標(biāo)準(zhǔn)分類從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小擺動(dòng)數(shù)列于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3．?dāng)?shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖像法和解析法．4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成an＝f(n)，那么這個(gè)式子叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．S1n＝1n≥2.5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝S－Sn－1n1．判斷下面結(jié)論是否正確(1)所有數(shù)列的第(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．)(×)(√)(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．(3)數(shù)列：1,0,1,0,1,0，?，通項(xiàng)公式只能是1＋－1n＋1.a＝n(×)(√)2(4)如果數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為nS，則對(duì)任意nn∈N，都有＋a＝S－S.n＋1n＋1n(5)在數(shù)列{a}中，對(duì)于任意正整數(shù)nm，n，a＝a＋1，若a＝1，則a＝2.(√)m＋nmn121(6)若已知數(shù)列{a}的遞推公式為na＝2a－1，且a＝1，則可以寫出數(shù)列{a}的任何一nn＋12n項(xiàng)．(√)()2．設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S＝n2，則a的值為nn8A．15答案A解析∵S＝nB．16C．49D．64，∴a＝S＝1.112n當(dāng)n≥2時(shí)，a＝S－S＝n－(n－1)＝2n－1.22nnn－1∴a＝2n－1，∴a＝2×8－1＝15.n83．已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S滿足：S＋S＝S，且a＝1，那么a10等于()nnnmn＋m1A．1B．9C．10D．55答案A解析∵S＋S＝S，a＝1，∴S＝1.nmn＋m11可令m＝1，得S＝S＋1，∴S－S＝1.nnn＋1n＋1即當(dāng)n≥1時(shí)，a＝1，∴a＝1.n＋11023134．(2013·課標(biāo)全國Ⅰ)若數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S＝a＋，則{a}的通項(xiàng)公式是a＝________.nnnnn答案(－2)n－1解析當(dāng)n＝1時(shí)，a＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，123n－123n－1a＝S－S＝a－a，nnna故＝－2，故a＝(－2)n.1－nnan－1當(dāng)n＝1時(shí)，也符合a＝(－2).n－1n綜上，a＝(－2).n－1n5．(2013·安徽)如圖，互不相同的點(diǎn)A，A，?，A，?和nB，112B，?，B?分別在角2nO的兩條邊上，所有AB相互平行，nn且所有梯形ABBA的面積均相等．設(shè)OA＝a，若a＝1，nn1nnn＋1n＋1a2＝2，則數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式是n________．答案a＝3n－2n解析由已知S梯形ABBn1An1S梯形An1Bn1Bn2An2nnSOBn1An1SSS，OBn1An1OBAOBn2An2nn2SOBn1An1即S＋S△OBnAnOBn2An2由相似三角形面積比是相似比的平方知OA＋OA＝2OA，即＋a＝2a，a222222nnn＋2n＋1n＋2n＋1因此{(lán)a}為等差數(shù)列且＝a＋3(n－1)＝3n－2，a222nn1故a＝3n－2.n題型一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)例1寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，?；1371531(2)，，，，，?；2481632(3)－1，32，－，，－，，?；13341356(4)3,33,333,3333，?.思維啟迪先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系．解(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以a＝2n＋1.n2－1分子比分母少1，而分母組成數(shù)列2222，?，所以a＝.1,2,3,42nnn(2)每一項(xiàng)的(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(－1)；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列n1,2,3,4，?；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2＋－1n.2＋1，所以a＝(－1)n·n2－1，偶數(shù)項(xiàng)為n1－，n為正奇數(shù)，na＝n，n為正偶數(shù).也可寫為3n9999999999(4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，，，，?，分母都是3333，而分子分別是10－1,102－1,1033－1,10－1，?，41a＝(10n－1)．3n所以思維升華根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征；拆項(xiàng)后的各部分特征；符號(hào)特征，應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想．(1)數(shù)列－1,7，－13,19，?的一個(gè)通項(xiàng)公式是a＝________________.n(2)數(shù)列{a}的前4項(xiàng)是，1，107，179，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是32a＝________.nn答案(1)(－1)·(6n－5)(2)2n＋1nn2＋1解析(1)符號(hào)問題可通過(－1)或(－1)表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為后面的數(shù)nn＋1的絕對(duì)值總比前面的數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為a＝(－1)n(6n－5)．n2×1＋12×2＋12×3＋12×4＋12n＋1{a}的前4項(xiàng)可變形為，，，，故a＝.1＋12＋132＋142＋1n＋1222nn(2)數(shù)列題型二由數(shù)列的前例2已知下面數(shù)列n項(xiàng)和S求數(shù)列的通項(xiàng)n{a}的前n項(xiàng)和S，求{a}的通項(xiàng)公式：nnn(1)S＝2n2－3n；n(2)S＝3n＋b.n思維啟迪當(dāng)n＝1時(shí)，由a＝S，求a；111當(dāng)n≥2時(shí)，由a＝S－S消去S，得a與a的關(guān)系．轉(zhuǎn)化成由遞推關(guān)系求通項(xiàng)．nnnnn－1n＋1解(1)a1＝S＝2－3＝－1，1當(dāng)n≥2時(shí)，a＝S－Snnn－1＝(2n－3n)－[2(n－1)2－－＝3(n1)]4n－5，2由于a也適合此等式，∴a＝4n－5.1n(2)a1＝S＝3＋b，1當(dāng)n≥2時(shí)，a＝S－Snnn－1＝(3n＋b)－(3＋b)＝2·3.n－n－11當(dāng)b＝－1時(shí)，a適合此等式．1當(dāng)b≠－1時(shí)，a不適合此等式．1∴當(dāng)b＝－1時(shí)，a＝2·3；n－1n3＋b，n＝1，當(dāng)b≠－1時(shí)，a＝2·3，n≥2.n1n－Sn，＝1，當(dāng)n＝1時(shí)，a－S，n≥2.11思維升華數(shù)列的通項(xiàng)a與前n項(xiàng)和S的關(guān)系是nSna＝nnn－1若適合S－S，則n＝1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)a；當(dāng)n＝1時(shí)，a若不適合Snnnn－11－S，則用分段函數(shù)的形式表示．n－1已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S＝3n－2n＋1，則其通項(xiàng)公式為2nn________________．2，n＝1答案a＝6n－5，n≥2n解析當(dāng)n＝1時(shí)，a＝S＝3×1－2×1＋1＝2；211當(dāng)n≥2時(shí)，a＝S－S＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－－＋2(n1)1]nnn－1＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．2，n＝1，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為a＝6n－5，n≥2.n題型三由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式例3(1)設(shè)數(shù)列{a}中，a＝2，a＝a＋n＋1，則通項(xiàng)a＝________.nn1n＋1n(2)數(shù)列{a}中，a＝1，a＝3a＋2，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為a＝________.nn1n＋1n(3)在數(shù)列{a}中，a＝1，前n項(xiàng)和S＝n＋2a.則{a}的通項(xiàng)公式為________．3n1nnn思維啟迪觀察遞推式的特點(diǎn)，可以利用累加(乘)或迭代法求通項(xiàng)公式．答案(1)nn2＋1＋1(2)2×3n－－1(3)a＝nn＋112n解析(1)由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，a＝a＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(a－a)n1nn－1n－12＋nnn＋1＝2＋(2＋3＋?＋n)＝2＋2＝＋1.21×1＋1又a＝2＝＋1，符合上式，21nn＋1因此a＝＋1.2n(2)方法一(累乘法)a＝3a＋2，即a＋1＝3(a＋1)，n＋1nn＋1na＋1即1＝3，n＋a＋1na＋1a＋1a＋1所以a＋1a＋1a＋1＝3，＝3，a＋1234＝3，?，n＋1＝3.a＋1n123a＋1＝3.將這些等式兩邊分別相乘得1n＋a＋1n1a＋1a＝1，所以＝3n，因?yàn)?n＋1＋1即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，a＝2×3－1(n≥2)，1所以n1n－又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{a}的一個(gè)通項(xiàng)公式為a＝2×31－1.n－nn方法二(迭代法)an＋1＝3a＋2，n即an＋1＋1＝3(a＋1)＝3(a＋1)＝3(a＋1)23n－1n－2n＝?＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，a＝2×3－1(n≥2)，所以nn－1又a1＝1也滿足上式，{a}的一個(gè)通項(xiàng)公式為故數(shù)列na＝2×3－1.n－1n(3)由題設(shè)知，a＝1.1n＋2n＋1a＝S－S＝a－a.33nnnn－1n－1當(dāng)n>1時(shí)，n＋1an－1n－1a∴∴＝.n＋153anan－1n－1a＝，?，4＝，na3a4aa22a3＝，2＝3.1ann＋1以上n－1個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相乘，得到＝，na21nn＋1又∵a1＝1，∴a＝.2n思維升華已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解．當(dāng)出現(xiàn)a＝an－1＋m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)a＝xan－1＋y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出nna＝f(n)時(shí)，用累乘法求解．nan－1現(xiàn)a＝an－1＋f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)n(1)已知數(shù)列{a}滿足a1＝1，a＝n－1a1(n≥2)，則a＝________.nnnn－n(2)已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，且S＝2a－1(n∈N)，則a5等于()nnnn＋A．－16B．16C．31D．32答案(1)1n(2)Bn－1解析(1)∵a＝a(n≥2)，nn－1nn－2121∴a＝a，?，a2＝a.n－1n－1n－2以上(n－1)個(gè)式子相乘得1223－1a1na＝a···?·＝＝.1n1nnn(2)當(dāng)n＝1時(shí)，S＝2a－1，∴a1＝1.11當(dāng)n≥2時(shí)，S＝2an－1－1，n－1∴a＝2a－2an－1，nn∴a＝2an－1.n∴{a}是等比數(shù)列且a＝1，q＝2，n1故a5＝a1×q＝2＝16.44數(shù)列問題中的函數(shù)思想典例：(12分)已知數(shù)列{a}．n(1)若a＝n2－5n＋4，n①數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？②n為何值時(shí)，a有最小值？并求出最小值．n(2)若a＝n2＋kn＋4且對(duì)于n∈N，都有an＋1>a.求實(shí)數(shù)k的取值范圍．n＋n思維啟迪(1)求使a<0的n值；從二次函數(shù)看a的最小值．(2)數(shù)列是作相應(yīng)的解析式f(n)＝n＋kn＋4.f(n)在N上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù)．從2一類特殊函數(shù)，通項(xiàng)nn公式可以看＋二次函數(shù)的對(duì)稱軸研究單調(diào)性．規(guī)范解答解(1)①由n∵n∈N，∴n＝2,3.－5n＋4<0，解得1<n<4.2＋∴數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a，a.[4分]2359－5n＋4＝－52②∵a＝n22－的對(duì)稱軸方程為n＝.又n∈N，∴當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，n24n＋a有最小值，其最小值為a＝a＝－2.[8分]n23(2)由an＋1>a知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式a＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)nnk3于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N，所以－<，即得22k>－3.[12分]＋溫馨提醒(1)本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集N上的二次函數(shù)，＋因此可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸來研究其單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)解決．k的取值范圍，使問題得到(2)在利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決該題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的選?。?3)易錯(cuò)分析：本題易錯(cuò)答案為k>－2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù)．方法與技巧1．求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng)．通常用觀察法(對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般用(－1)或(－1)來區(qū)分奇偶nn＋1項(xiàng)的符號(hào))；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，若求通項(xiàng)可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法．n＝1S12．強(qiáng)調(diào)a與S的關(guān)系：a＝nS－Sn－1n≥2.nnn3．已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對(duì)這類問題的要求不高，但試題難度較難把握．一般有兩種常見思路：(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；(2)利用累加或累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．失誤與防范1．?dāng)?shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列時(shí)，一定要注意自變量的取值，如數(shù)列a＝f(n)和函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性是不同的．n2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一．A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，?的一個(gè)通項(xiàng)公式是a等于()nA.－1n＋1B．cosn2π2C．cosn＋1πD．cosn＋2π22答案D解析令n＝1,2,3，?逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)，易得D正確．2．?dāng)?shù)列{a}的前n項(xiàng)和為nS，若a＝1，a＝3S(n≥1)，則a等于()n1n＋1n6A．3×44C．45B．3×44＋1D．45＋1答案A解析當(dāng)n≥1時(shí)，a＝3S，則a＝3Sn＋1，nn＋1n＋2∴a－a＝3Sn＋1－3S＝3an＋1，即a＝4an＋1，n＋2n＋2n＋1n∴該數(shù)列從第二項(xiàng)開始是以4為公比的等比數(shù)列．1n＝1，又a＝3S1＝3a1＝3，∴a＝3×4n≥2.2n－2n∴當(dāng)n＝6時(shí)，a＝3×46－2＝3×4.463．若數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式是na＝(－1)n(3n－2)，則a＋a＋?＋a等于()n1210A．15B．12C．－12D．－15答案A解析由題意知，a＋a＋?＋a1210＝－1＋4－7＋10＋?＋(－1)×(3×10－2)10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋?＋[(－1)9×(39×－＋－2)(1)10×(310×－2)]＝3×5＝15.49234．已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為na＝()n－1－()n－1，則數(shù)列{a}n()nA．有最大項(xiàng)，沒有最小項(xiàng)B．有最小項(xiàng)，沒有最大項(xiàng)C．既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)D．既沒有最大項(xiàng)也沒有最小項(xiàng)答案C492n－解析∵數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a＝()1－()1，n－3nn23令t＝()，t∈(0,1]，t是減函數(shù)，n－11214則a＝t2－t＝(t－)2－，n由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知a先遞增后遞減．n故有最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，選C.S＝，則1等于＋1()n5．若S為數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，且nannn5A.56B.65C.130D．30答案Dn－11n解析當(dāng)n≥2時(shí)，a＝S－S＝－＝，＋1nn＋1nnn－1nn1所以＝55×6＝30.a二、填空題n26．已知數(shù)列{n＋1}，則0.98是它的第________項(xiàng)．2答案7n24950解析＝0.98＝，∴n＝7.n2＋17．?dāng)?shù)列{a}中，a1＝1，對(duì)于所有的n≥2，n∈N，都有a1·a2·a3·?·a＝n2，則a3＋a5＝________.n＋n61答案16解析由題意知：a·a·a·?·a＝(n－1)，2123n1－nn－1∴a＝()(n≥2)，2n325∴a3＋a5＝()＝.241661＋()28．已知{a}是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N，a＝n2＋λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是n＋n________．答案(－3，＋∞)解析方法一(定義法)因?yàn)閧a}是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N，都有a>a，＋nnn＋1即(n＋1)2n＋1＋λ>0，即n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(函數(shù)法＋λ(n＋1)>n＋λn，整理，得22λ>－(2n＋1)．(*)因?yàn)?*)恒成立，只需λ>－3.方法二)λ設(shè)f(n)＝a＝n＋λn，其圖像的對(duì)稱軸為直線n＝－，22n要使數(shù)列{a}為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，n故只需滿足f(1)<f(2)，即三、解答題9．?dāng)?shù)列{a}的通項(xiàng)公式是a＝n2－7n＋6.λ>－3.nn(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？解(1)當(dāng)n＝4時(shí)，a＝4－4×7＋6＝－6.24(2)令a＝150，即n－7n＋6＝150，2n解得n＝16或n＝－即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng)．(3)令a＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)．9nn＋19(舍去)，n故數(shù)列從第10．已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為na＝，試判斷此數(shù)列是否有最大項(xiàng)？若有，第幾項(xiàng)最10nn大，最大項(xiàng)是多少？若沒有，說明理由．9n＋29n＋198－nn＋1n解a－a＝－＝·n，10n＋1101010n＋1nnn當(dāng)n<8時(shí)，a－a>0，即a>a；nnn＋1n＋1當(dāng)n＝8時(shí)，a－a＝0，即a＝a；nnn＋1n＋1當(dāng)n>8時(shí)，a－a<0，即a<a.nnn＋1n＋1則a1<a2<a3<?<a8＝a9>a10>a11>?，{a}有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，故數(shù)列n9×9989且a＝a＝＝.10108889B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1．跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第1個(gè)格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個(gè)格子的方法種數(shù)為()A．8種B．13種C．21種D．34種答案C解析設(shè)跳到第①向前跳1格到達(dá)第n個(gè)格子，②向前跳2格到達(dá)第n個(gè)格子，前8項(xiàng)分別是1,1,2,3,5,8,13,21.n個(gè)格子的方法種數(shù)有a，則到達(dá)第n個(gè)格子的方法有兩類：n方法種數(shù)為a；n－1方法種數(shù)為a，則a＝a＋a，n－2n－1n－2n由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的∴跳到第8個(gè)格子的方法種數(shù)是21.故選C.122．?dāng)?shù)列{a}滿足a＋a＝(n∈N)，a＝2，S是數(shù)列{a}的前