人教A版高中數(shù)學必修一5.4《三角函數(shù)的圖像與性質》講義及答案

三角函數(shù)的圖像與性質知識剖析1周期函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，T叫做該函數(shù)的周期.PS①從解析式f(x+T)=f(x)來看：任一自變量x對應函數(shù)值y與x增加T后對應函數(shù)值相等；②從圖象看：整體函數(shù)圖象是由一部分圖象像“分身術”一樣向兩邊延申，而那一部分圖象的水平長度就是其正周期?、廴呛瘮?shù)就是典型的周期函數(shù).2正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖像與性質注表中的k∈Zy=sinxy=cosx圖像定義域RR值域[-1,1][-1,1]最值當x=π2+2kπ時，ymax=1；

當x=2kπ時，ymax=1；

當x=π+2kπ時，周期性2π2π對稱中心kπ,0kπ+對稱軸x=kπ+x=kπ單調性在-π2+2kπ,π2+2kπ在-π+2kπ,2kπ上是增函數(shù)；

在2kπ,π+2kπ上是減函數(shù).3正切函數(shù)的圖像與性質注表中的k∈Zy=tanx圖像定義域x值域R最值既無最大值也無最小值周期性π對稱中心kπ對稱軸無對稱軸單調性在(kπ-π經典例題【題型一】求解三角函數(shù)的性質性質1周期性【典題1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)A.【解析】fx+故π2是y=f(x)的周期，由選項可知選A【點撥】從定義出發(fā)：存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，則T叫做該函數(shù)的周期.【典題2】下列函數(shù)中，最小正周期為π2的是()A．y=sin|x| B．y=cos|2x|【解析】由圖可知函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)，故A不正確；由于函數(shù)y=cos|2x|=cos2x的周期為2π2=π，故由圖可知函數(shù)y=|tanx|的周期T=π，故C不正確；由圖可知函數(shù)y=|sin2x|的周期為T=π2，故故選：D．【點撥】①函數(shù)fx=Asin(ωx+φ),fx=Acos(ωx+φ)的函數(shù)fx=Atan(ωx+φ)的最小正周期②利用函數(shù)的對稱變換與翻轉變換，利用圖象判斷函數(shù)周期更容易些.性質2對稱性【典題1】函數(shù)y=sin(2x+π3)的圖象(A．關于點(π6,0)對稱 B．關于點C．關于直線x=π6對稱 D．【解析】方法1對于函數(shù)y=sin(2x+π(求出函數(shù)的所有對稱軸和對稱中心再判斷)令2x+π3=π2若π12+kπ2=π6，解得k=令2x+π3=kπ，則x=-若-π6+kπ2若-π6+kπ2=故選：B．方法2對于函數(shù)y=sin(2x+π當x=π6時，2x+π3=2π3當x=π3時，2x+π3=π，而(π,0)當x=π6時，2x+π3=2π3當x=π3時，2x+π3=π，而x=π故選：B．【點撥】本題兩種方法，方法1是求出三角函數(shù)的全部對稱軸或對稱中心(此時把ωx+φ看成整體)，再判斷；方法2是把問題轉化正弦函數(shù)y=sinx的性質判斷；對于三角函數(shù)f①若x=x0是其對稱軸，則ωx②若(x0,B)是其對稱中心，則(ωx對于三角函數(shù)fx=Acos【典題2】已知函數(shù)f(x)=cos(3x+φ)(-π2<φ<π2)圖象關于直線x=5π【解析】∵函數(shù)f(x)=cos(3x+φ)圖象關于直線x=5π∴3×5π18+φ=kπ，(y=cosx∴φ=-5π6+kπ由-π2<φ<π2故f(x)=cos(3x+π令f(x)=0得3x+π6=因為x∈[0,π]，所以k=0,1,2時，φ=π故零點有三個．性質3單調性【典題1】函數(shù)f(x)=3sin(2π3-2x)的一個單調遞減區(qū)間是A．[7π12,13π12] B．[π12【解析】(求出函數(shù)的全部減區(qū)間)解-π2+2kπ≤k=0時，π12≤x≤7π12；k=1時，-11π∴[π12,故選：B．【點撥】①復合函數(shù)的單調性：同增異減函數(shù)f(x)=3sin(2π3-2x)可看成y=3sinu與u=2π3-2x組成復合函數(shù).因為u=2π3-2x是減函數(shù)，求函數(shù)f(x)=3sin(2π②判斷[7π12,13π12][7π12,13π?[7π12,13π?由7π12<x<13π12?-3π故[7π12,13π12]不是f(x)=3sin(2x-作某些選擇題這樣做會簡潔些.【典題2】若f(x)=sin(2x-π4)，則A．f(1)>f(2)>f(3) C．f(2)>f(1)>f(3)【解析】(顯然選項是由函數(shù)單調性作出判斷)令-π2+2kπ<2x-故f(x)=sin(2x-π4)由函數(shù)的周期性易得函數(shù)在[3π8,(由于1,2,3在[π2其中3比2離對稱軸x=7π8更近些，所以f3<f2所以f(1)>f(2)>f(3)．故選：A．性質4最值【典題1】若函數(shù)f(x)=cos(ωx-π3)(ω>0)的最小正周期為π2，則f(x)在[0,π【解析】依題意得2πω=π∵x∈[0,π4]∴cos(4x-π3)∈[-12【典題2】已知函數(shù)f(x)=2cos(2x-π3)在[a-π4,a](a∈R)上的最大值為【解析】函數(shù)f(x)=2cos(2x-π3)且對稱軸為x=π6+kπ2，對稱中心f(x)的圖象大致如圖所示；區(qū)間[a-π4,a]正好是函數(shù)設a-π4,a由圖可知，當點P落在對稱軸上，即a-π8=π6此時y1-y當點P落在對稱中心上，即a-π8=5π12此時y1-y∴y1-【點撥】①對于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，由圖可知，相對而言靠近對稱軸位置，函數(shù)值變化較慢，而靠近對稱中心位置函數(shù)值變化較快些.②本題也屬于“縱向距”問題，數(shù)形結合處理恰當.鞏固練習1(★)下列函數(shù)中最小正周期為π的函數(shù)是()A．y=sinx B．y=cos【答案】D【解析】A、函數(shù)y=sinx的最小正周期T=2π，不滿足條件；B、函數(shù)y=cos12x的最小正C、y=tan2x的最小正周期為T=πD、y=|sinx|的周期T=π，滿足條件．故選：D．2(★)下列函數(shù)中，關于直線x=-π6對稱的是(A．y=sin(x+π3) BC．y=cos(x+π3) 【答案】D【解析】將x=-π6代入y=cos(2x+π故x=-π6是故選：D．3(★)設函數(shù)f(x)=cos(2x-π3)，則下列結論錯誤的是A．f(x)的一個周期為-π B．y=f(x)的圖象C．f(x+π2)的一個零點為x=-π3【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A、f(x)=cos(2x-π3)，其周期對于B、f(x)=cos(2x-π3)，令2x-π3=kπ，解可得x=kπ2+π6，即y=f(x)的對稱軸為x=kπ對于C、f(x+π2)=cos(2x+π-π3)=cos(2x+2π3)，當x=-π3對于D、f(x)=cos(2x-π3解可得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，即函數(shù)則函數(shù)在[π6,2π3]上遞減，又由[π3,π2]∈[π6，故選：C．4(★)下列函數(shù)中，以π為周期且在區(qū)間(π2,π)單調遞增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x| C【答案】C【解析】由于f(x)=|cos2x|的周期為12?2π由于f(x)=|sin2x|的周期為12?2π由于f(x)=|cosx|的最小正周期為12?2π=π，在區(qū)間(π2,π)由于f(x)=|sinx|的最小正周期為12?2π=π，在區(qū)間(π2,π)故選：C．5(★)關于函數(shù)f(x)=|tanx|的性質，下列敘述不正確的是()A．f(x)的最小正周期為π2B．f(x)是偶函數(shù) C．f(x)的圖象關于直線x=kπ2(k∈Z)D．f(x)在每一個區(qū)間(kπ,kπ+π【答案】A【解析】對于函數(shù)f(x)=|tanx|的性質，根據(jù)該函數(shù)的圖象知，其最小正周期為π，A錯誤；又f(－x)=|tan(－x)|=|tanx|=f(x)，所以根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)的圖象關于直線x=kπ2(k∈根據(jù)f(x)的圖象知，f(x)在每一個區(qū)間(kπ,kπ+π2)(k∈故選：A．6(★★)下列函數(shù)中，以2π為周期，x=π2為對稱軸，且在(0,π2A．y=2|sinx|+sinx B．y=2cos(x+πC．y=sin(2x-π2) D【答案】A【解析】∵y=sin(2x-π2)=－cos2x∵y=cos(2x+π2)=－sin2x對于y=2|sinx|+sinx=3sinx,x∈[2kπ,2kπ+π)-sinx,x∈[2kπ+π,2kπ+2π)，故函數(shù)的周期為當x=π2時，y=3，為最大值，故函數(shù)且該函數(shù)在在(0,π2)由于y=tan(x2+π4)，當x=π2時，故選：C．7(★★)已知直線x=x1,x=x2則f(x1-A．2 B．0 【答案】C【解析】由x+π3=kπ+π2得x=kπ+π6y=－cosx的對稱軸為∵直線x=x1，x=x2分別是曲線∴x1=kπ+π6，k∈Z則x1－x2=kπ+則f(x故選：C．8(★★)關于函數(shù)f(x)=|sinx|+cosx有下述四個結論：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的最小值為-2③f(x)的圖象關于y軸對稱；④f(x)在區(qū)間(π其中所有正確結論的編號是()A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【解析】函數(shù)f(x)=|sinx|+cosx，其中|sinx|的周期為π，cos2x的周期為2π，所以函數(shù)的最小正周期為2π，故函數(shù)為周期函數(shù)．①f(x)是周期函數(shù)；正確．②函數(shù)的最小值為－1，所以：f(x)的最小值為-③由于f(－x)=f(x)，f(x)的圖象關于④f(x)在區(qū)間(π故選：B．9(★★★)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期為π，且關于(-π8A．f(1)<f(0)<f(2) C．f(2)<f(0)<f(1) 【答案】【解析】∵函數(shù)的最小周期是π，∴2πω=π則f(x)=sin(2x+φ)，∵f(x)關于(-π∴2×(-π8)+φ=kπ，k∈Z，即∵0<φ<π∴當k=0時，φ=π4，即f(x)=sin(2x+則函數(shù)在[-π8，π8]上遞增，在[π8∵π4<1<2，∴f(π故選：D．10(★★★)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函數(shù)，若f(x)的圖象關于直線x=π4對稱，且f(x)在區(qū)間[-π22,A．-32 B．-12 C．1【答案】A【解析】f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)是R上的奇函數(shù)，所以φ=kπ，k∈Z當k=1時，φ=π．所以f(x)=sin(ωx+π)=－由于f(π所以π4ω=kπ+π2(k∈當k=0時，ω=2，函數(shù)f(x)=－sin2由于x∈[-π所以2x∈[-π當k=1時ω=4+2=6，函數(shù)f(x)=－由于x∈[-π所以6x∈[-3π11,當k=2時，ω=10，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π所以f(x)=－故f(π故選：A．【題型二】根據(jù)三角函數(shù)性質求解參數(shù)的值或范圍【典題1】已知ω>0，函數(shù)f(x)=sin(ωx-π4)的圖象在區(qū)間(π2,π)上有且僅有一條對稱軸，則實數(shù)【解析】由ωx-π4=kπ+則y=f(x)的對稱軸x=kπ由y=f(x)在(π2,π)上有一條對稱軸，則滿足π即k+3而對稱軸只有一條，則要滿足(k-1)πω+3π4ω≤π即2k-12≤ω≤k+由①②可得k+34當k=0時，由①②可得ω∈(34,32)；當k=1當k=2時，由①②可得ω∈[7故答案為：(3【點撥】①本題的思路是先求出函數(shù)的對稱軸，再數(shù)形結合處理；理解“有且僅有一條對稱軸”，存在一條對稱軸在區(qū)間內，而其左右的對稱軸在區(qū)間外；②本題涉及到兩個參數(shù)k和ω，求的是ω的取值范圍，方法是得到k和由k∈Z的特殊性求出k的取值(或范圍)，進而求ω的取值范圍.【典題2】已知函數(shù)f(x)=|cos(ωx+π3)|(ω>0)在區(qū)間[-π3,5π【解析】y=|cosx|的單調遞減區(qū)間為[kπ,kπ+π(注由函數(shù)y=|cosx|圖象易得)由kπ≤ωx+π3≤kπ+即函數(shù)y=f(x)的單調遞減區(qū)間為[kπ-π3ω，kπ+π若f(x)在區(qū)間[-π則kπ-π3ω得ω≤65k+∵ω>0∴k只能取0；當k=0時，ω≤15ω≤1，即0<ω≤15【點撥】本題先得到y(tǒng)=|cosx|的單調減區(qū)間再由復合函數(shù)單調性得到求出f(x)=|cos(ωx+π3)|的減區(qū)間[kπ-π3ω，kπ+π6ω]【典題3】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)，(ω>0)在區(qū)間[-2π3，5π6]上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0,π]上恰好取得一次最大值A．(0,15] B．[12,35【解析】方法一復合函數(shù)法令u=ωx+π3，-2π∴函數(shù)y=sinu在區(qū)間[-2π∴[-2π3ω+π當0≤x≤π時，π3∴函數(shù)y=sinu在區(qū)間[π3,πω+∴π2≤πω+綜上所知16≤ω≤1方法二特殊值法當ω=12時，令u=x則0≤u≤3π4，則函數(shù)y=sinu在區(qū)間∴ω=12不合題意，排除當ω=112時，令u=則π3≤u≤5π12，則函數(shù)y=sinu在區(qū)間∴ω=112不合題意，排除A．故選：【點撥】根據(jù)三角函數(shù)性質求解參數(shù)的值或范圍此類問題，往往都會限制函數(shù)在某個區(qū)間上的對稱軸、單調性、最值等，此時最簡單的想法就是先求出該函數(shù)的全部對稱軸、單調區(qū)間等，再結合函數(shù)的圖象判斷求出來的對稱軸、單調性等與區(qū)間端點的關系！鞏固練習1(★★)設f(x)=3sin(ωx-π12)+1，若f(x)在[-π3,π6【答案】(0,54【解析】設f(x)=3sin(ωx-π12)+1，在[-π3,π6]由于f(x)為增函數(shù)，∴-ωπ3-π求得0<ω≤54，故選：2(★★)已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)在(0,π12)上單調遞增，則【答案】4【解析】由函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π6)(ω>0)可得ω?π12+π6≤π3(★★)設函數(shù)f(x)=sin(ωx+?),A>0,ω>0,若f(x)在區(qū)間[π6,π2]上單調，且f(π2)=f(2π【答案】π【解析】函數(shù)f(x)=sin(ωx+?)，A>0，ω>0，若f(x)在區(qū)間[π則T2=π∵f(π2)=f(2π3且(π6+π22∴T4=144(★★★)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)滿足f(π4)=1，f(π2)=0，且f(x)在區(qū)間(π4,【答案】3【解析】設函數(shù)的最小正周期為T，則T=2π∵f(π4)=1∴π2-π4=2n-1又f(x)在區(qū)間(π∴π3-∴n可以為1,2,3，即ω為2,6,10共3個值．5(★★★)已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在區(qū)間[0,π]上的值域為[-1,32]，則【答案】[【解析】在區(qū)間[0,π]上，ωx+π6f(x)=cos(ωx+π6)的值域為[－∴ωπ+π6∈[π，11π6]，【題型三】綜合解答題【典題1】已知函數(shù)f(x)=sin(2x-π(1)當x1∈(-π2,-(2)令Fx=fx-3，若對任意x都有F【解析】(1)f(x1)+f(x即有sin2可得2x1-即有x1+x由x1可得x1-x2Fx=fx令t=F(x)，可得t∈[-4,-2]，對任意x都有F2x即為t2-(2+m)t+2+m≤0，則16+4(2+m)+2+m≤0,4+2(2+m)+2+m≤0解得m≤-265，即m的最大值為【點撥】①若sinα=sinβ，則α=2kπ+β或α=2kπ+π-β②第二問涉及恒成立問題，采取了二次函數(shù)零點的分布問題的方法即通過二次函數(shù)的圖象分析便可求解.【典題2】已知函數(shù)f(x)=sin(1)當a=1時，求函數(shù)(2)如果對于區(qū)間[0,π2]上的任意一個x，都有f(x)≤1【解析】(1)當a=1時，∵cosx∈[-1,1]，∴當cosx=12，即x=2kπ±π(2)依題得sin2即a(cosx+1)≤cos2x對任意當x∈[0,π2]時，0≤cosx≤1∴a≤cos2xcosx+1令t=cosx+1，則∴a≤(t－1)2于是a≤(t+1又∵t+1t-2≥0，當且僅當t∴a≤0．【點撥】第二問涉及恒成立問題，利