函數(shù)與數(shù)學(xué)模型【全國一等獎】

第9節(jié)函數(shù)與數(shù)學(xué)模型考試要求1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律；2.結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義；3.收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義.1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較知

識

梳

理函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)_____單調(diào)_____單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與____平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與____平行隨n值變化而各有不同遞增遞增y軸x軸2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)[常用結(jié)論與微點提醒]1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√∴每件賠1元，(1)錯.(2)中，當(dāng)x＝2時，2x＝x2＝4.不正確.2.(老教材必修1P107A1改編)在某個物理實驗中，測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：則對x，y最適合的擬合函數(shù)是(

)A.y＝2x B.y＝x2－1C.y＝2x－2 D.y＝log2xx0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00解析根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意.答案

D3.(新教材必修第一冊P149例4改編)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)至少是(

) A.8 B.9 C.10 D.11所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”.答案

C4.(2020·臨沂一中月考)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項中正確的是(

) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)

解析

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢，當(dāng)x∈(4，＋∞)時，增長速度大小排列為g(x)>f(x)>h(x).

答案

B解得x＝8，y＝11.答案8

116.(多填題)(2019·北京卷)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%. ①當(dāng)x＝10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； ②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________.解析

①顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，原價應(yīng)為60＋80＝140(元)，超過了120元可以優(yōu)惠，所以當(dāng)x＝10時，顧客需要支付140－10＝130(元).②由題意知，當(dāng)x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu)惠的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠，最少要一次購買2盒草莓，此時顧客支付的金額為(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值為15.答案

①130

②15考點一利用函數(shù)的圖象刻畫實際問題【例1】

(2017·全國Ⅲ卷)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是(

)A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)解析由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項錯誤.答案A規(guī)律方法1.當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案.2.圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng).【訓(xùn)練1】

高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是(

)解析由題意知，水深h越大，水的體積v就越大.當(dāng)h＝0時，v＝0，故可排除A，C；當(dāng)h∈[0，H]時，不妨將水“流出”設(shè)想為“流入”.每當(dāng)h增加一個單位增量Δh時，根據(jù)魚缸形狀可知，函數(shù)v的變化，開始其增量越來越大，經(jīng)過中截面后增量越來越小，故v＝f(h)的圖象是先凹后凸的，故選B.答案B考點二已知函數(shù)模型求解實際問題解(1)當(dāng)x＝0時，C＝8，∴k＝40，令3x＋5＝t，t∈[5，35]，此時x＝5，因此f(x)的最小值為70.∴隔熱層修建5cm厚時，總費用f(x)達到最小，最小值為70萬元.規(guī)律方法1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點.(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.【訓(xùn)練2】

(2019·全國Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通信聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：答案D角度1構(gòu)建二次函數(shù)、分段函數(shù)模型考點三構(gòu)建函數(shù)模型的實際問題多維探究當(dāng)x≥8時，(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因為每件商品售價為6元，則x萬件商品銷售收入為6x萬元.依題意得當(dāng)0<x<8時，此時，當(dāng)x＝6時，P(x)取最大值，最大值為10萬元.此時，當(dāng)x＝10時，P(x)取得最大值，最大值為15萬元.因為10<15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元.角度2構(gòu)建指數(shù)(對數(shù))型函數(shù)模型解(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，故到今年為止，該森林已砍伐了5年.規(guī)律方法1.實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.但應(yīng)關(guān)注以下兩點：(1)分段要簡潔合理，不重不漏；(2)分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解題，關(guān)鍵是對模型的判斷，先設(shè)定模型，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，求解時要準(zhǔn)確進行指、對數(shù)運算，靈活進行指數(shù)與對數(shù)的互化.【訓(xùn)練3】(1)(角度1)某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是(

) A.10.5萬元 B.11萬元 C.43萬元

D.43.025萬元 (2)(角度2)已知一容器中有A，B兩種菌，且在任何時刻A，B兩種菌的個數(shù)乘積均為定值1010，為了簡單起見，科學(xué)家用PA＝lgnA來記錄A菌個數(shù)的資料，其中nA為A菌的個數(shù).現(xiàn)有以下幾種說法：①PA≥1；②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10；③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬，則此時5<PA<5.5(注：lg2≈0.3).則正確的說法為________(寫出所有正確說法的序號).(3)(角度2)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2019年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(

)A.2020年

B.2021年C.2022年

D.2023年解析(1)設(shè)在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.因為x∈[0，16]且x∈N，所以當(dāng)x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元.(2)當(dāng)nA＝1時，PA＝0，