高數(shù)例題第七章微分方程

高數(shù)例題課件第七章微分方程第1頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、微分方程的階微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。三、階微分方程的一般形式

，其中個(gè)變量的函數(shù)，并且必須出現(xiàn)，而等變量則可以不出現(xiàn)。第2頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例1．列車在平直路上以20m/s的速

度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度，問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住，以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程？第3頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、微分方程的解、通解、初始條件、特解

1、微分方程的解：設(shè)有微分方程,且函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù),如果在區(qū)間上，

,那么函數(shù)就叫做微分方程在區(qū)間上的解。第4頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的的階數(shù)相同（這里所說(shuō)的任意常數(shù)是相互獨(dú)立的，就是說(shuō)，它們不能合并而使得任意常數(shù)的個(gè)數(shù)減少），這樣的解叫做微分方程的通解。第5頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、微分方程的初始條件用來(lái)確定微分方程通解中任意常數(shù)的條件叫做微分方程的初始條件。4、微分方程的特解確定了通解中任意常數(shù)以后得到的解叫做微分方程的特解（滿足初始條件的解）第6頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解,并求滿足初始條件

的特解。第7頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、微分方程的積分曲線

微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線，通解代表一族曲線。第8頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7-2可分離變量的微分方程一、定義：如果一個(gè)一階微分方程能寫成的形式,就是說(shuō),能把微分方程寫成一端只含的函數(shù)和,另一端只含的函數(shù)和

,那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。

第9頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1．求微分方程

的通解。第10頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、注意的問(wèn)題(1)在求形如類積分時(shí),按照積分基本公式應(yīng)有,但如果整理后的正負(fù)號(hào)可含于任意常數(shù)C中,在求積分時(shí),為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,常寫成。第11頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．求微分方程第12頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、通解不是微分方程的全部解。第13頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3．解微分方程

第14頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、有些方程需經(jīng)變量替換或變形后，再進(jìn)行變量分離。第15頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4．解微分方程第16頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5．解微分方程

第17頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6．解微分方程第18頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7．放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素,鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫衰變，由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比，已知t=0時(shí)鈾的含量為，求在衰變過(guò)程中鈾含量隨時(shí)間

t變化的規(guī)律。第19頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8．設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)（t=0）速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。第20頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例9．解方程第21頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7-3齊次方程一、定義：如果一階微分方程可化成的形式，那么就稱這方程為齊次方程。

第22頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1．解方程第23頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．探照燈的聚光鏡的鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面,它的形狀由坐標(biāo)面上的一條曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成,按聚光鏡性能的要求,在其旋轉(zhuǎn)軸(軸)上一點(diǎn)發(fā)出的一切光線,經(jīng)它反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行,求曲線的方程。第24頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡，假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行，求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程。第25頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7-4一階線性微分方程一、線性方程（一）定義：方程叫做一階線性微分方程(都是一次的)當(dāng)時(shí),稱為齊次的一階線性微分方程。第26頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)時(shí),稱方程為非齊次的一階線性微分方程,并把稱為與非齊次線性微分方程

對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程。第27頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)解法1、常數(shù)變易法（求的解）(1)求與方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。(2)將對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解中的常數(shù)C換成的未知函數(shù)，

,并把它們作為的解，求出.第28頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從而得通解

因此得出結(jié)論:一階非奇次線性微分方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和.第29頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例1．求方程

的通解。第30頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．解方程第31頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、公式法：第32頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3．設(shè)有微分方程

,

其中,試求在

內(nèi)的連續(xù)函數(shù),使之在

和內(nèi)都滿足所給方程,且滿足條

件。

第33頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4．設(shè)是微分方程

的一個(gè)解，求此微分方程滿足條件的特解。第34頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(三)注意的問(wèn)題1、有時(shí)微分方程不能化成的形式，但可化成的形式，此時(shí)可把看作函數(shù)（因變量），按公式法求解。第35頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5．解方程第36頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、有些微分方程不是一階微分方程,可以通過(guò)變量替換將其化成一階微分方程。第37頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6．解第38頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、伯努利方程（一）定義：方程叫做伯努利方程。第39頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)解法:通過(guò)變量代換,把它化成一階線性微分方程1、兩邊同乘以2、令第40頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6．求方程的通解。第41頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7．解微分方程

第42頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、定義：形如的方程，如果它的左端恰好是某一函數(shù)的全微分那么該方程就叫做全微分方程。§7-5全微分方程第43頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、全微分方程的判別設(shè)有方程

函數(shù)在單連通城內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在G內(nèi)方程（1）是全微分方程的充要條件是。第44頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1．求解第45頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、可化為全微分方程的微分方程的解法（一）積分因子：若，則方程不是全微分方程，但若存在函數(shù)使，即為全微分方程，則稱為微分方程的積分因子。第46頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(三)積分因子的尋找必須熟記一些微分公式：第47頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第48頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第49頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第50頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．求微分方程的解。第51頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3．解微分方程第52頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4．設(shè)函數(shù)在上連

續(xù)，且滿足方程求。第53頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5．設(shè)于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S，都有

其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，求。第54頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7-5可降階的高階微分方程一、定義：二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。二、幾種易降階的高階微分方程的解法(一)型的微分方程特點(diǎn)：方程的左端是函數(shù)的階導(dǎo),右端是僅含有自變量的函數(shù)。第55頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解法：兩邊積分,每積分一次,微分方程的階就降一階,直到求出為止。

積分次，即得微分方程的通解。第56頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1．求微分方程

的通解。第57頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿軸作直線運(yùn)動(dòng),設(shè)力在開(kāi)始時(shí)刻t=0時(shí)隨著時(shí)間t的增大,此力F均勻地減小,直到t=T時(shí)，如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，且初速度為零，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第58頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)型的微分方程特點(diǎn)：方程的右端不顯含

未知函數(shù)。第59頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3．求微分方程

滿足初始條件的特解。第60頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(三)

型的微分方程特點(diǎn)：右端不顯含自變量第61頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4．求微分方程

的通解。第62頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5．求微分方程，的解。第63頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6．求微分方程滿

足初始條件

的特解。第64頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、定義：形如這樣的微分方程叫做高階線性微分方程。我們把方程叫做與方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程。§7-6高階線性微分方程第65頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)（一）定理1：如果函數(shù)是方程的兩個(gè)解，那么也是該方程的解，其中是任意常數(shù)。第66頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1、定義：設(shè)為定義在區(qū)間個(gè)函數(shù)，如果存在個(gè)不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有恒等式成立，那么稱這個(gè)函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，否則稱線性無(wú)關(guān)。第67頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1．判別下列函數(shù)組在給定區(qū)間上的線性相關(guān)性：（1）三個(gè)函數(shù)在區(qū)間上。（2）三個(gè)函數(shù)在區(qū)間上。第68頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、注意：(1)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，若其中一個(gè)函數(shù)為常數(shù)0，則這兩個(gè)函數(shù)必線性相關(guān)。(2)對(duì)于兩個(gè)非零函數(shù)來(lái)說(shuō)，線性相關(guān)的充要條件是它們的比值為常數(shù)。第69頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(三)定理2：1、定理：如果是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，那么(是任意常數(shù))就是該方程的通解.第70頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．驗(yàn)證（是任意常數(shù)）是方程

的通解。第71頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、推論：如果是階齊次線性方程

的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，那么此方程的通解為其中為任意常數(shù)。第72頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（四）定理3：設(shè)是二階非齊次線性方程的一個(gè)特解，是與（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，那么是二階非齊次線性微分方程（1）的通解。第73頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3.設(shè)有一特

解，對(duì)應(yīng)齊次方程有一特解，試求：

(1)的表達(dá)式。

(2)此方程的通解。第74頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(五)定理4：設(shè)非齊次線性方程的右端是兩個(gè)函數(shù)之和，即而分別是方程與的特解那么就是原方程的特解第75頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、二階常系數(shù)齊次線性階微分方程（—）定義：形如（其中是常數(shù)）的方程叫做二階常系數(shù)齊次線性微分方程，如果不全為常數(shù)，則該方程叫做二階變系數(shù)齊次線性微分方程?！?-7常系數(shù)齊次線性階微分方程第76頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)微分方程的特征方程及特征根：

把代數(shù)方程

叫做微分方程

的特征方程,而把特征方程的根叫做微分方程的特征根。第77頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(三)二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的求法1、是微分方程的解的充要條件是是微分方程的特征方程

的特征根2、通解的求法(1)若特征方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根，則微分方程的通解為。第78頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1．求微分方程

的通解。第79頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）若特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，則微分方程的通解為第80頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2．求方程滿足初始條件的特解。第81頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）若特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根，則微分方程的通解為第82頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3．求微分方程

的通解。第83頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、階常系數(shù)齊次線性微分方程（一）一般形式：其中都是常數(shù)。（二）特征方程，特征根把叫做微分方程（1）的特征方程，微分方程的特征方程的根叫特征根。第84頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（三）微分方程的通解和特征方程的根的關(guān)系1、若特征方程有單實(shí)根，則通解中含有對(duì)應(yīng)項(xiàng)2、若特征方程有一對(duì)單復(fù)根則通解中含有對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)3、若特征方程有k重實(shí)根，則通解中含有對(duì)應(yīng)k項(xiàng)第85頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、若特征方程有一對(duì)k重復(fù)根，則通解中含有對(duì)應(yīng)2k項(xiàng)把所有可能的對(duì)應(yīng)項(xiàng)加到一起，即為微分方程的通解。第86頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4．求方程

的通解。第87頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5．求方程的通解（其中）。第88頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6．具有特解的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是（）（A）（B）（C）（D）第89頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7．已知

是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個(gè)解，求此微分方程。第90頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8．設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而滿足方程，求第91頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7-8常系數(shù)非齊次線性階微分方程一、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(一)通解的結(jié)構(gòu)：的通解等于它所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和的一個(gè)特解之和,即.第92頁(yè)，課件共102頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)兩種常見(jiàn)形式特解的求法（待定系數(shù)法）1、,其中