高等數(shù)學(xué)練習(xí)題附答案

將√或×填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi).（每題2分，共20分 ）1.收斂的數(shù)列必有界 ）2.無(wú)窮大量與有界量之積是無(wú)窮大量 ）3.閉區(qū)間上的間斷函數(shù)必 ）4.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)函數(shù) ）5.f(xx0

f

)x0點(diǎn)可導(dǎo) ）6.y

f(xx0y

f(x在(x0,f(x0線 ）7.f(x在ab]f(x在ab]上連續(xù) ）8.z

f(x,y)在（x0,y0）z

f(xy)（x0y0）處可微 ）9.微分方程的含有任意常數(shù)的解是該微分方程的通解 ）10.設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間

)

f(0)

f(01,f(0f(x的一個(gè)極小值二、填空題.（220分設(shè)f(x1)x2，則f(x1) 1f(x)2x1lim.1.2x

xf

g(x)

f

f

6)g(3) 設(shè)uxyx,則du yx26yy3在(2,

f(x為可導(dǎo)函數(shù),f(1)1F(x)若fxt2dtx21xf(2)0

f(1)f(x2),則F(1) x.xf(x)xx

廣義積分

e2xdx Dx2y21D

1x5dxdy 三、計(jì)算題（540分計(jì)算lim(1

)n

(n

y(x1)(x2)2x3)3(x10)10在（0，）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)x(1求不定積分x(1計(jì)算定積分

f(xy)x34x22xyy2的極值Dy

xyx圍成，計(jì)算sinydxdy xy1xy2yxyyy2x的通解y四、證明題（1020分1證明：arctanx1

3x圍成的平面圖形在第一象限的面積(x)f(x在閉區(qū)間abf(x)F(x)xf(t)dtx1 bfF(x)0在區(qū)間(ab內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√（2201.x24x4； 4.(y1/y)dx(xx/y2)dy32/3 6.1 8 1/2 3解：

n1

1

(n

n11 limn10，limn1n

n1

n

(n

)解：先求對(duì)數(shù)

1yy

x

x

xy(x1)(x1x解：原式=21x1(xx=1(xx

x

x

10xx=2 x解：原式

sin3xcos2 0=2cosxsin2xdxcosxsin202 0=2sin2xdsinxsin2xdsin02 0 [sin2x]205

[sin2

xf3x28x2yx

fy2x2yx y

x或y x0時(shí)f(0,0)8，f(0,0)2，f(0,0)y 82220A8（0，0）f(0,0) x2時(shí)f(2,2)4，f(2,2)2，f(2,2)y 4(2)22解：D(xy0y1y2x

sinydxdy1dyysinydx=1siny[x]yyy yyyD

y1101=[cosy]101

01=1cos1[ycosy]101

=1sin解：令uxyv

；則1u2，1v3yx3yJ

xv

12uv12uv2u2vvv32Ad 1dvln323 解：

y2u，知(u)2u由微 知：uy2e2dx(4xe2dxdxe2x(4xe2xdxe2x(2xe2xe2x11x2解：

x11xfx11x

x11x1x1x 1xf(x) xx

f(0)00

c

且

F(x)在[a,bF(a)a1dt<0,F(b)bf(t)dtbf F(x)0在(ab上至少有一個(gè)實(shí)根 F(x)

f(x)

f

f(x)F(x) F(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞F(x在區(qū)間(ab上有且僅有一個(gè)實(shí)根專 學(xué)一、判斷題（對(duì)的打√，錯(cuò)的打×；每題2分，共10分f(xx0f(xx0處連續(xù)的必要條件y

f(xx0y

f(x在(x0

f(x0處一定沒(méi)有切線f(x在[a,bgx在[a,b上不可積，則f(x)g(x在[a,b積xyz0x2y2z20在空間直角坐標(biāo)系中分別表示三個(gè)坐標(biāo)軸和一個(gè)點(diǎn)yyy*為一階線性微分方程的通解x二、填空題（每題2分，共20x

x

fa5,)則a f(x)ln(12x)f(0)

f(xx0連續(xù)f(x)t

x(11)2xt，則f t

f

x

f(a)

f(a2h)f(a3h) h若2f(xcosx

d[f(x)]2，并且f(0)1，則f f

g(x在點(diǎn)bf(b)

f(x)

(axb)則f(x)與g(x)大小比較為f ysinx2x8.fx8.f(x)

d(x2lntdt(lntdt()2

；dy ..設(shè)zex2y，則 R2R累次積分R2R

f(x

y

)dy化為極坐標(biāo)下的累次積分 e2e2x1三、計(jì)算題（前6題每題5e2e2x1

sin0

(1t)t

2.y

dx2

xt0sin

x2yx2y

x24x2dx 5.設(shè)z ,

y xy求由方程2yx(xyln(xyyy(x的微分dyx設(shè)平面區(qū)域D是由y x

yx圍成，計(jì)算sinydxdy y

ydx(x

dy0yx1e下的特解f(x)x3ax2bxx1處有極值2，試確定系數(shù)a、b，并求出所有的極五、應(yīng)用題（每題7分，共14分x一艘輪船在航行中的費(fèi)和它的速度的立方成正比.已知當(dāng)速度為10(km/h)時(shí)，燃料費(fèi)為每小時(shí)6元，而其它與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用為每小時(shí)96元.問(wèn)輪船的速度為多少時(shí),每航行1x過(guò)點(diǎn)(10y

（1）（2）設(shè)函數(shù)f(x)0xa上的二階導(dǎo)數(shù)存在，且f(0)0

f(x)0.證明g(x)

f 在 a上單調(diào)增加 x；4.×21.36 3.4(1；5A5.1sinx6. cosx2 2xcos

2dx 2

f(rcos2)rdr

1(1sinx)sinxcosxsiny

e1e2e2xe2e2x1e22e2x1

2e2x(e2x1)e2x(e2xe2x12e2

(e2x 1e2sinxcos(sinxcosx)2 d(sinxcosx)(sinxcos sinxcos

x2sin

dx原式=0162sin2tcos20 02(t

110sin4t)204x 2 x2y y

x2y3

(x3

3y2)12

y(x2y2)2xy (x2y2)2

(x2y2(2x2yy3)x(2x2yy3)x2y2dydx(dxdy)ln(xy)(x

1x

(dx 2dydxln(xy)dxln(xy)dy(dx dy2ln(xy)（本題求出導(dǎo)數(shù)后，用dyydx解出結(jié)果也可sin ysinD

dxdy0dyy 10(sinyysin000cosy1ycosy11cos00001cos1cos1siny0

1sindx

x yln

x

1dyylny

[

1dyylny

1dyyelnlny[elnlny1dyy1[1lnydyC]1[1(lny)2ln lny1lny ln

C

(lny)22x

y1

f(x)3x22ax因?yàn)閒(x)在x1處有極值2，所以x1必為駐點(diǎn) f(1)32ab0 f(1)1ab

a0

b于 f(x)x3f(x)

f(x)3(x2f(x)0得x1f(1)6f(1)6

x1f(1)x1f(1)五、1.解：x(km/h)，依題意每航行1kmy1(kx3xx

k103

故得k0.006y1(0.006x396)，x(0,x y0.012(x38000)0，得駐點(diǎn)xxx20是極小值點(diǎn).由于在(0,20(km/h)行1km

0.006202967.2（元（1）

,

x0 y2x2上的切線斜率滿足2yy1，在(xy上即有2yy 所以2y0

x0

1，即2y0x0又因?yàn)?x0y0y02x022y2x x 得

y2

y2x00(x00

y01S01

y2(2y1)]dy6V11(x1)2dx3(x2)dx0

[f(x)]xf(x)f(x)xf(x)[f(x)f x x在[0,x]上，對(duì)f(x)應(yīng)用日中值定理，則存在一點(diǎn)(0,x)，使f(x)f(0)xf(

[f(x)]xf(x)f( xf(x)0f(xxf(x)f(f(xf()0,從而[f(x)]0，故fx)在(0a 專 學(xué) 1y1

的定義域 1yx1

上點(diǎn)（０，１）處的切線方程 設(shè)f(x)在x可導(dǎo)且f(x)A，則limf(x02h)f(x03h)＝ 設(shè)曲線過(guò)(0,1)，且其上任意點(diǎn)(x,y)的切線斜率為2x，則該曲線的方程 x1x4dx x1６．limx

x設(shè)f(x,y)sinxy，則fx(x,y) R2R累次積分R2R

f

2

d3y

0的階數(shù) x

ann

在題干的（）內(nèi)，（1～10111～17224）

f(x)1,g(x)1x，則f(g(x)) （x①1x

②1x

1x

xsin1x

（ ④變 （f(x

xx0連續(xù)，f(xxx0f(xxx0f(xxx0f(x

xx0f(xxx0f(x若在(a

xx0f(xxx0f(x0f(x0，則在(abyf(x（ 設(shè)F(x)G(x)， （①F(x)G(x)為常 ②F(x)G(x)為常③F(x)G(x)

d d ④ F dxG(x 111

（① ② ③ ④方程2x3y1在空間表示的圖形 （①平行于xOy面的平 ②平行于Oz軸的平③過(guò)Oz軸的平 設(shè)f(x,y)x3y3x2y，則f(tx,ty) （①tf(x,

②t2f(x,

③t3f(x,

④t

f(x,a 設(shè)an0，且lim ＝ｐ，則級(jí)數(shù)an （n

n①在p1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā) ②在P1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)③在p1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā) ④在p1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)10．y3xy6x2y（）（）①y

②yx3

③yx3cos

④yln設(shè)f(x)在(a,b)可導(dǎo)，ax1x2b，則至少有一點(diǎn)(a,b) （①f(b)f(a)f()(b

②f(b)f(a)f()(x2③f(x2)f(x1)f()(b ④f(x2)f(x1)f()(x2f(x

x

f(xx

可導(dǎo) （ 設(shè)2f(xcosx

d[f(x)]2

，則f(0)1，則f(x) （ ②2cos

④1sin

4

（ ④4

axnx（x0）

axn在x （

④收斂性與an有yxyx2

sinxd （ ①1dx1sinxdy ②1

sinxdxy y1③1

xsinxdy ④1

xsinxdx xx(x１．設(shè)xx(x

sin(9x2.3x

(1ex)2x

t(cosuarctanuduy 1(sinuarctanudu，求dy ５．求過(guò)點(diǎn)Ａ

u

ysinz，求ｄｕx７．計(jì)算0

rsindrd

dy(y12

)f(x))

x3

(1x)(2（比例常數(shù)為k

２．（７分）借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)x>1

3 xxx ５．1arctanx22

８．2

f(r2

（）內(nèi)，1～101，11～172241．③2．③3．④ 5．② 7．② 15．③ １．

lny1[ln(x1)lnxln(x3)]1y1( 1 1 2x xy

( 1 1 x x(x x x(x２．解

18xcos(9x216)2 218()cos(9(

＝ ＝８3３．解：原式＝

(1exex)dx(1ex)2 d(1ex＝(1ex)-(1ex(1exex＝1

1ex＝xln(1ex)

1４．解：因?yàn)閐x(cost)arctgtdtdy(sindy(sint)arctgtdt (cos

x1y1zy y

du

sin

ysinz(dx

dycos12７．解：原積分＝sindasinrdr1a2sin312 ＝a22sin3d0

3

y1)2

(1

(1(1 (11 1x

y９．解：

f(x)＝ 1

1x

212＝

xn12

nn

（x1且x12＝[1(1)n1

（x

１．解：設(shè)速度為ｕ，則ｕ滿足m mg解方程得u1(mgcektk由

＝０定出ｃ，得umg(1ektk２．證：f(x)

1xxx

f(x在區(qū)間［１，＋∞］x1f(x

1xx

(xf(x在［１，＋∞］單調(diào)增加x1時(shí)，f(x)f(1)＝０x1

3xxx專 學(xué) y

xy

00x2y21表示一個(gè)圓z

fxyM0x0,y0z

fxy在點(diǎn)M0x0,y0連續(xù)y22xex是二階微分方程dxsintdtsinxsin1.dxy

a .

sin2x x.設(shè)fx1，且f01，則fxdx .zxy2，則dz dbsinx2 dxn2 （5nn1 （5x0

xe1x.ysinxcosxcosxsinx（10分.,x單調(diào)增加.（10分.對(duì)物體長(zhǎng)度進(jìn)行了n次測(cè)量，得到nx1x2xnx，使之與測(cè)得的數(shù)值之差的平方和最小.x應(yīng)該是多少？（10分）.計(jì)算xsinx2dx.（5分ylnxye1x,y0所圍成的平面圖形的面積是多少.（5分.xdyxy

x

0（5分.計(jì)算二重積分x2dxdy,Dx2y21D

x2y24圍成的區(qū)域.（5分1-5．╳，╳，╳，╳， 6-10.╳，√，╳，╳，√tanx

ccos

xc11

4.y2dx2xydy

5.0n

n2

=

3

nn

n

n lim=en ex1x

ex1x

x0

ex

xex1

x ex1 ex

ycos

ecosxlnsin12yecosxlnsinxecosxlnsinxcosxlnsinxsinxcosx1cot2xlnsin122同 ycosxsinx1lncosxtan22 FxfxFx

fx=xfxf x gxxfxf 當(dāng)x0時(shí)g(x)g0x0g(xg0

12n4.fxxx2xx2xx12nfx2nxx1x2xn 令fx0

x1xnnfx02n0x0點(diǎn)為fxx應(yīng)為x1nxsinx2dx=x1cos2xdx=1xxcos =1x21xsin2x1cos2x S e1yeydye1y11y21ey11

y1yx1dx

1

y

x1e

dx

yxy

0cy*11 8D*r,1r2,0x2dxdyr2cos2rdrd2cos2d2r3dr15

專 學(xué) 一、判斷（220f(x)在點(diǎn)x0處有定義是f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的必要條件. y=f(x)在x0處可導(dǎo),則y=|f(x)|在x0處也可導(dǎo) 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)一定是f(x)的駐點(diǎn). 對(duì)任意常數(shù)k,有kf(x)dx=kf(x)dx. 若f(x)在[a,b]上可積,則f(x)在[a,b]上有界. 若f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,則當(dāng)f(x,y)為關(guān)于x時(shí),f(x,y)dxdy=0. D(y)2=-2x-ex的通解中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù). 若z=f(x,y)在Po的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,則z=f(x,y)在P0連續(xù). 二、填空（220 [xsin1+3x3

2x)xx

在[0,3]上滿足定理的條件,定理中的數(shù)值 a

xx

當(dāng) z=ex22

函數(shù)f(x)=ex-x-1 函數(shù)yax3bx2cxd滿足條 時(shí),這函數(shù)沒(méi)有極值dbsinx2dx 其中a,b為常數(shù) f(x)=1且f(0)0,則f(x)dx 若I=0dxx2f(x,y)dxdy交換積分次序后 三、計(jì)算（540 exln 求x

(x2-xtgx) 2. tdt+

(cost3)dt=2,3.

dx 4.

1

5.

xe2xdx14 x(1 14 2z

+y)

x,xy計(jì)算Ixdxdy.Dx2+y2=4D某