高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明本章整合課件新人教B版選修2-2

本章整合第二章推理與證明專題一專題二專題三專題四專題五專題一

合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納,然后提出猜想的推理,我們統(tǒng)稱為合情推理.合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.歸納推理的思維過(guò)程大致如下:實(shí)驗(yàn),觀察→概括,推廣→猜測(cè)一般性結(jié)論類比推理的思維過(guò)程大致如下:觀察,比較→聯(lián)想,類推→猜測(cè)新的結(jié)論專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用某商場(chǎng)櫥窗里用乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品,其中第1堆只有一層,就一個(gè)球;第2,3,4…堆最底層(第一層)分別按如圖所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù),則f(3)=

;f(n)=

(答案用n表示).

提示：解題的關(guān)鍵在于尋找遞推關(guān)系式,然后由遞推關(guān)系式求通項(xiàng).而第n堆的變化規(guī)律,結(jié)合圖形,利用不完全歸納法可得.專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題二

演繹推理三段論推理是演繹推理的主要形式.演繹推理具有如下特點(diǎn):(1)演繹的前提是一般性原理,演繹所得的結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中.(2)演繹推理中,前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系,演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具.(3)演繹推理是一種收斂性的思維方法,它創(chuàng)造性較少,但卻具有條理清晰、令人佩服的論證作用,有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化.專題一專題二專題三專題四專題五提示：解題的關(guān)鍵是理解好“距離坐標(biāo)”的定義.解析：根據(jù)平面軌跡的知識(shí),可知到定直線距離為定長(zhǎng)(非零)的點(diǎn)的軌跡是兩條平行直線.①當(dāng)p=q=0時(shí)滿足條件的點(diǎn)是l1與l2的交點(diǎn),因?yàn)閘1與l2的交點(diǎn)只有一個(gè),所以“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)只有一個(gè),故①正確.②當(dāng)pq=0,且p+q≠0時(shí),p,q有且只有一個(gè)為0,即p=0,q≠0或p≠0,q=0,因p,q為常數(shù),滿足條件的點(diǎn)是l1與平行l(wèi)2且距離l2為q的直線的交點(diǎn),或l2與平行l(wèi)1且距離l1為p的直線的交點(diǎn),故②正確.③當(dāng)pq≠0時(shí),p≠0,且q≠0,滿足條件的點(diǎn)是平行l(wèi)1且距離l1為p的兩條直線與平行l(wèi)2且距離l2為q的兩條直線的交點(diǎn),有4個(gè),故③正確.答案：D專題一專題二專題三專題四專題五專題三

直接證明綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系:分析法的特點(diǎn)是從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實(shí)際上是要尋找它的充分條件.綜合法的特點(diǎn)是從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,實(shí)際上是尋找它的必要條件.分析法與綜合法各有其特點(diǎn).有些具體的證明題,用分析法或綜合法都可以證明出來(lái),人們往往選擇比較簡(jiǎn)單的一種.事實(shí)上,在解決問(wèn)題時(shí),我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用.根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P(yáng).若由Q可以推出P成立,就可以證明結(jié)論成立.專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an>0(n∈N+),它的前n項(xiàng)和記(1)求an與Sn的解析式;(2)試比較Sn與3nan(n∈N+)的大小.提示(1)根據(jù)

3,公差為1的等差數(shù)列可求出Sn,再根據(jù)Sn與an的關(guān)系求出an.(2)先由歸納法得到Sn與3nan的關(guān)系再證明.專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五此不等式當(dāng)n≥4時(shí)成立,所以當(dāng)n≥4時(shí),Sn<3nan成立.綜上可知,當(dāng)n=1或n≥4,n∈N+時(shí),Sn<3nan;當(dāng)n=2和n=3時(shí),Sn>3nan.專題一專題二專題三專題四專題五專題四

反證法反證法的理論基礎(chǔ)是互為逆否命題的等價(jià)性,從邏輯角度看,命題:“若p,則q”的否定是“若p,則?q”,由此進(jìn)行推理,如果發(fā)生矛盾,那么就說(shuō)明“若p,則?q”為假,從而可以導(dǎo)出“若p,則q”為真,從而達(dá)到證明的目的,反證法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn),它所反映出的“正難則反”的解決問(wèn)題的思想方法更為重要.反證法主要證明否定性,唯一性命題;至多、至少型問(wèn)題;幾何問(wèn)題.專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五所以,在△ABD中,AD>BD,從而∠B>∠BAD;同理∠C>∠CAD.所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠BAC.專題一專題二專題三專題四專題五因?yàn)椤螧+∠C=180°-∠BAC,所以180°-∠BAC>∠BAC,則∠BAC<90°,與題設(shè)矛盾.由(1)和(2),知假設(shè)不成立,專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2如圖,已知兩條直線l∩m=O,l?α,m?α,l?β,m?β,α∩β=a.求證:l與m中至少有一條與β相交.提示結(jié)論以“至少”形式出現(xiàn),直接證明較困難,可考慮用反證法.專題一專題二專題三專題四專題五證明假設(shè)l,m都不與β相交,∵它們都不在平面β內(nèi),∴l(xiāng)∥β,且m∥β.又l?α,m?α,α∩β=a,∴l(xiāng)∥a,m∥a,∴l(xiāng)∥m.這與已知l,m是相交直線矛盾,因此,l與m中至少有一條與β相交.專題一專題二專題三專題四專題五專題五

觀察、猜測(cè)、歸納、證明探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型,此類問(wèn)題未給出問(wèn)題結(jié)論,需要由特殊情況入手,猜想、證明一般結(jié)論.它的解題思路是:從所給條件出發(fā),通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想,探索出結(jié)論,然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用1在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1,a2,a3,…,an,使這(n+2)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1,b2,b3,…,bn,使這(n+2)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.(1)求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng);(2)當(dāng)n≥7,n∈N+時(shí),比較An與Bn的大小,并證明你的結(jié)論.提示利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可求數(shù)列{An},{Bn}的通項(xiàng);應(yīng)用歸納——猜想——證明的方法求解第(2)問(wèn).解(1)因?yàn)?,a1,a2,a3,…,an,2成等比數(shù)列,所以a1an=a2an-1=a3an-2=…=akan-k+1=…=1×2=2.專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五應(yīng)用2已知數(shù)列{an},其通項(xiàng)an=n(n+1)2,問(wèn)是否存在這樣的等差數(shù)列{bn},使an=1·b1+2·b2+3·b3+…+n·bn對(duì)一切n∈N+都成立,并證明你的結(jié)論.提示此題是一類存在性問(wèn)題,解決存在性問(wèn)題的一般思路為:首先假設(shè)所探求的對(duì)象存在,然后以假設(shè)為前提條件進(jìn)行邏輯推理或周密運(yùn)算,如果由此得到矛盾,就說(shuō)明假設(shè)不成立,最后得到否定的結(jié)論;如果得不到矛盾,就得到“肯定”的結(jié)論,即得到存在的結(jié)果.專題一專題二專題三專題四專題五解假設(shè)存在符合條件的等差數(shù)列{bn}.令n=1,則a1=4,b1=4;令n=2,則a2=18=b1+2b2=4+2b2,b2=7;同理可得b3=10,b4=13.于是猜想bn=3n+1,n∈N+滿足條件,則n(n+1)2=1·4+2·7+3·10+…+n(3n+1).證明如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1×(1+1)2=4,右邊=1×(3×1+1)=4,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>1,k∈N+)時(shí),等式成立,即k(k+1)2=1·4+2·7+3·10+…+k(3k+1),那么當(dāng)n=k+1時(shí),1·4+2·7+3·10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,也就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知存在滿足條件的等差數(shù)列{bn}使得等式對(duì)一切n∈N+都成立,其中bn=3n+1,n∈N+.12341(江西高考)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=(

)A.28 B.76C.123 D.199解析：利用歸納法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.規(guī)律為從第三組開始,其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和.答案：C1234123412343(陜西高考)觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此規(guī)律,第n個(gè)等式為

.

1234解析：觀察等式左側(cè):第一行有1個(gè)數(shù)是1;第二行是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,第一個(gè)數(shù)為2,第三行是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,第一個(gè)數(shù)為3,第四行是7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,第一個(gè)數(shù)為4.依此規(guī)律,第n行是(2n-1)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,其中第一個(gè)數(shù)為n,∴第n行左側(cè)為n+(n+1)+(n+2)+…+[n+(2n-2)]=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2).等式右側(cè):第一行1=12,第二行9=32,第三行25=52,第四行49=72.依此規(guī)律,第n行是(2n-1)2,故第n個(gè)等式為n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案：n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)212344(湖北高考)(1)已知函數(shù)f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r為有理數(shù),且0<r<1,求f(x)的最小值;(2)試用(1)的結(jié)果證明如下命題:(3)請(qǐng)將(2