控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型課件

§2.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.2數(shù)學(xué)模型的線性化§2.3拉氏變換及其反變換§2.4傳遞函數(shù)及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)§2.5系統(tǒng)的方塊圖及其聯(lián)接§2.6基于MATLAB的控制系統(tǒng)建?！?.7控制系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)化與連接CH2控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，在一定的輸入作用下有些什么運(yùn)動(dòng)規(guī)律，我們不僅希望了解其穩(wěn)態(tài)情況，更重要的是了解其動(dòng)態(tài)過程。如果能將物理系統(tǒng)在信號(hào)傳遞過程中的這一動(dòng)態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。2.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型的定義描述系統(tǒng)輸入、輸出變量及內(nèi)部各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。二、數(shù)學(xué)模型的種類控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型有：微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間模型等三、數(shù)學(xué)模型的建立方法

建立數(shù)學(xué)模型通常有兩種方法，即解析法和實(shí)驗(yàn)法。

解析方法——根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律分別列寫相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，這種方法要求明確系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特性。實(shí)驗(yàn)方法——指對(duì)系統(tǒng)加入激勵(lì)信號(hào)，測(cè)出其響應(yīng)信號(hào)，再經(jīng)分析、擬合以辨識(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。本章注重討論解析法建立物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是控制工程的基本方法。微分方程（時(shí)間域）代數(shù)方程（復(fù)數(shù)域）傳遞函數(shù)方塊圖信號(hào)流圖拉氏變換拉氏反變換

微分方程模型是在時(shí)域中描述系統(tǒng)（或元件）動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，它是一種最基本的數(shù)學(xué)模型，利用它可得到描述系統(tǒng)（或元件）動(dòng)態(tài)特性的其它形式的數(shù)學(xué)模型。

微分方程模型實(shí)例質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)無源電路網(wǎng)絡(luò)電樞控制直流電動(dòng)機(jī)例1質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)例2無源電路網(wǎng)絡(luò)例3電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)將上面四個(gè)方程聯(lián)立，可得列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號(hào)，每個(gè)環(huán)節(jié)列寫一個(gè)方程；根據(jù)物理定律或通過實(shí)驗(yàn)得出的物理規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)的原始方程，并適當(dāng)簡(jiǎn)化，線性化；將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，削去中間變量，最后得到只含有輸入、輸出變量以及參量的系統(tǒng)方程式。單輸入、單輸出系統(tǒng)微分方程的一般形式：2-2數(shù)學(xué)模型的線性化

實(shí)際系統(tǒng)一般都有非線性現(xiàn)象：嚴(yán)格講：所有系統(tǒng)都是非線性的電機(jī)死區(qū)齒輪間隙放大器飽和

盡管線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。另外，迭加原理不適用于非線性系統(tǒng)，這給解非線性系統(tǒng)帶來很大不便。故我們盡量對(duì)所研究的系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，然后用線性理論進(jìn)行分析。嚴(yán)格講：所有系統(tǒng)都是非線性的線性化的兩個(gè)條件：非線性因素對(duì)系統(tǒng)影響很小系統(tǒng)變量只發(fā)生微小偏移，可通過切線法進(jìn)行線性化，求其增量方程

單擺線性化步驟：找出靜態(tài)工作點(diǎn)（工作點(diǎn)不同，所得方程系數(shù)也不同）在工作點(diǎn)附近展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)略去高階項(xiàng)，得到關(guān)于增量的線性化方程2-3拉氏變換及反變換

—一種解線性微分方程的簡(jiǎn)便方法

拉氏變換的定義簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的反變換應(yīng)用拉氏變換求解常系數(shù)線性微分方程是分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法

微分方程（時(shí)間域）代數(shù)方程（復(fù)數(shù)域）拉氏變換拉氏反變換傳遞函數(shù)一、拉氏變換定義：對(duì)于函數(shù)，滿足下列條件象函數(shù)原函數(shù)復(fù)變量量綱二、簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換

單位階躍函數(shù)指數(shù)函數(shù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)單位脈沖函數(shù)單位速度函數(shù)單位加速度函數(shù)單位階躍函數(shù)

0t12. 指數(shù)函數(shù)

0t1正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1

單位脈沖函數(shù)(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)1由洛必達(dá)法則：所以：

單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)1

單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。

應(yīng)記住的

一些簡(jiǎn)單函數(shù)的

拉氏變換原函數(shù)象函數(shù)SymstLaplace(dirac(t))Laplace(heaviside(t))Laplace(t)Laplace(0.5*t^2)一般情況下，L變換是以字母t為自變量，以其他字母作為參數(shù)來進(jìn)行變換，這些均為字符變量。下面計(jì)算exp(at)和sin(wt)的拉氏變換Symsatwxf1=laplace(exp(a*t))f2=laplace(sin(w*t))三、拉氏變換的性質(zhì)

線性性質(zhì)微分定理積分定理衰減定理延時(shí)定理初值定理終值定理周期函數(shù)的象函數(shù)卷積分的象函數(shù)三、拉氏變換的性質(zhì)疊加性質(zhì)微分定理證明：由于即：所以：兩個(gè)重要推論：拉氏變換微分性質(zhì)的應(yīng)用積分定理兩個(gè)推論：4衰減定理5延時(shí)定理006初值定理初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。

終值定理

終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同。7終值定理8周期函數(shù)的象函數(shù)

9時(shí)間比例尺改變的象函數(shù)

10tx(t)的象函數(shù)

11卷積分的象函數(shù)

利用以上拉氏變換的性質(zhì)以及已知典型函數(shù)的象函數(shù)，經(jīng)?？梢酝茖?dǎo)其它函數(shù)的象函數(shù)，也可以簡(jiǎn)化計(jì)算四、拉氏反變換拉氏反變換方法：利用拉氏變換表（本書附錄A）利用部分分式展開法，將一個(gè)復(fù)雜的象函數(shù)展開為一些簡(jiǎn)單的象函數(shù)的線性疊加，然后再利用已知函數(shù)的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì)控制系統(tǒng)象函數(shù)的一般形式：

將分母因式分解后，包括三種不同的極點(diǎn)情況，采用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換使分子為零的S值稱為函數(shù)的零點(diǎn)使分母為零的S值稱為函數(shù)的極點(diǎn)三種不同的極點(diǎn)情況1、只含有不同單極點(diǎn)情況：2、含有共軛復(fù)極點(diǎn)情況：可通過配方，化成正余弦象函數(shù)的形式，再取其反變換1-103、含有多重極點(diǎn)情況：其中的求法：五、用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程例11：求解微分方程組：；初始條件：六、用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程組用拉氏變換解微分方程的步驟：對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換；作因變量的拉氏反變換，求出微分方程的時(shí)間解。2-4傳遞函數(shù)及

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)零初始條件：

t<0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；一、傳遞函數(shù)定義：在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出象函數(shù)與輸入象函數(shù)之比。定義：當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí)，線性定常系統(tǒng)輸出量與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)。G(s)Xi(s)Xo(s)框圖表示系統(tǒng)的變換關(guān)系：y(t)f(t)mkcy(t)x(t)mkc例12求傳遞函數(shù)例13求傳遞函數(shù)例14：如圖所示電路。輸入ui，輸出uo，求系統(tǒng)傳函。UiC2R2UoR1C1i1i2i傳遞函數(shù)求取步驟：1、寫出系統(tǒng)的線性或線性化微分方程。2、對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換并令其初始條件為零。3、求輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，即為系統(tǒng)傳函。傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明1、傳遞函數(shù)的概念，只適用于初始狀態(tài)為零時(shí)的線性定常系統(tǒng)。2、同一系統(tǒng)選取不同物理量作為輸入、輸出時(shí)，傳遞函數(shù)不同。3、傳遞函數(shù)的分母、分子分別反映了系統(tǒng)本身的固有特性和系統(tǒng)與外界的聯(lián)系。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于傳遞函數(shù)的性質(zhì)，換句話說：傳遞函數(shù)分母代表系統(tǒng)的固有特性,分子代表輸入與系統(tǒng)的關(guān)系傳遞函數(shù)與具體物理結(jié)構(gòu)無關(guān)關(guān)于傳遞函數(shù)的幾個(gè)術(shù)語Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)B(s)-xi(t)xo(t)

反饋環(huán)節(jié)執(zhí)行環(huán)節(jié)-Xi(s)G(s)H(s)E(s)B(s)B(s)Xo(s)-注意：開環(huán)傳遞函數(shù)是閉環(huán)控制系統(tǒng)一個(gè)重要概念，它并不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)。Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)B(s)-閉環(huán)傳遞函數(shù)思考：?jiǎn)挝环答?？傳函的零點(diǎn)和極點(diǎn)：根據(jù)多項(xiàng)式定理，傳遞函數(shù)的一般形式也可寫成：式中，B(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性

A(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，A(S)=0稱為特征方程，極點(diǎn)稱為特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。A(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)：

G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。

零、極點(diǎn)分布圖

將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“×”表示。

G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖012312-1-2-3-1-2jG(s)H(s)+-G(s)+-H=1分別令分子、分母為零，得到1個(gè)零點(diǎn)，3個(gè)極點(diǎn)：三、傳遞函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)四、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。

任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。

典型環(huán)節(jié)包括:比例環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器時(shí)間域方程2一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)間域方程時(shí)間常數(shù)凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為例17微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)4積分環(huán)節(jié)-含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，控制方程為：傳遞函數(shù)：式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

—阻尼比，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，0<<1

K—比例系數(shù)5二階振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為（K=1）：n稱為無阻尼固有頻率。如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：式中，當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式

小結(jié)

環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；

一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性共同組成；

同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。

在控制工程領(lǐng)域，人們習(xí)慣于用方塊圖說明和討論問題，方塊圖是系統(tǒng)中各個(gè)元件功能和信號(hào)流向的圖解表示，它清楚地表明系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系，便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究。

方塊圖及其變換X(S)信號(hào)線比較點(diǎn)X2(S)X3(S)X1(s)_+環(huán)節(jié)方框G(s)X2(S)Xi(S)引出點(diǎn)X3(S)X2(S)X1(S)1方框圖的概念

方框圖也是描述系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，構(gòu)成方框圖的基本符號(hào)有四種:G1H1H2YB1B2+E--X例18：求圖示系統(tǒng)閉環(huán)傳函。例19：如圖所示無源RC電路網(wǎng)，設(shè)輸入端電壓ui(t)，輸出端電壓為uo(t),畫出相應(yīng)方框圖。解：根據(jù)基爾霍夫定律：

i(t)uo(t)ui(t)RC零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換，得2系統(tǒng)方框圖的建立)(1)()]()([1)(sICssUosUosUiRsI=-=Uo(S)Ui(S)I(S)－+即2系統(tǒng)方框圖的建立建立物理系統(tǒng)方框圖的基本步驟：1、確定系統(tǒng)輸入和輸出變量；2、列寫關(guān)于中間變量的原始微分方程組；3、對(duì)微分方程組進(jìn)行拉氏變換，得到相應(yīng)的S空間代數(shù)方程組；4、按照信號(hào)在系統(tǒng)中的因果關(guān)系，依次將各元件的方框圖連接起來，從左向右畫出。3串聯(lián)4并聯(lián)5反饋

-+-

聯(lián)立并削去中間變量+系統(tǒng)輸入Xi(s)系統(tǒng)輸出Xo(s)反饋信號(hào)B(s):B(s)=Xo(s)H(s)偏差信號(hào)E(s):E(s)=Xi(s)-B(s)

單位反饋：若H(S)=1，則系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)。前向傳遞函數(shù)反饋傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)偏差傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)-

對(duì)于復(fù)雜控制系統(tǒng)，其方框圖甚為復(fù)雜，為便于分析和計(jì)算，需將其化簡(jiǎn)。通?；?jiǎn)方法有：方框圖等效化簡(jiǎn)利用梅遜增益法化簡(jiǎn)(自學(xué))6方塊圖化簡(jiǎn)

分支點(diǎn)與相加點(diǎn)的變換分支(引出)點(diǎn)的移動(dòng)前移，后移相加(比較)點(diǎn)移動(dòng)前移，后移分支點(diǎn)前移Movingapickoffpointaheadofablock分支點(diǎn)后移Movingapickoffpointpastablock相加點(diǎn)前移Movingasummingjunctionaheadofablock相加點(diǎn)后移Movingasummingjunctionpastablock例20：簡(jiǎn)化如圖所示系統(tǒng)方框圖I2I+-I1-+UU1U2+-UI2U21）分支點(diǎn)后移。+--+U1U2+-2）串聯(lián)、反饋環(huán)節(jié)合并。+--+U1U2G1AB3）相加點(diǎn)前移。+--+U1U2

G1R1AB4）相加點(diǎn)A、B可合并，再分解，即A、B交換位置。+--+U1U2

G1

R1AB+--+U1U2

G1R1AB5）反饋環(huán)節(jié)、串聯(lián)環(huán)節(jié)合并。-+U1U2

G1BG26）反饋環(huán)節(jié)合并。U1U2

G

對(duì)線性定常系統(tǒng)，式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a0不等于零，這時(shí)系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)向量唯一地確定出來，這兩個(gè)向量分別用num和den表示：num=[b0,b1,…,bm]

den=[a0,a1,…,an]

注意：它們都是嚴(yán)格按s的降冪進(jìn)行排列的。一、連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型如前所述，在零初始條件下，微分方程兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換，則有連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：§2.6基于MATLAB的控制系統(tǒng)建模然后利用下面的語句就可以表示這個(gè)系統(tǒng)

sys=tf(num,den)其中tf()代表采用傳遞函數(shù)形式建立系統(tǒng)模型。

舉例：傳遞函數(shù)描述1）》num=[12,24,0,20];den=[24622];也可以寫成

sys=tf(num,den，‘inputdelay’，tao)建立的是帶時(shí)間延遲的系統(tǒng)傳遞函數(shù)SYS=tf(num,den)tf(num,den,'inputdelay',3)2）借助多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv來處理：》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));當(dāng)傳遞函數(shù)復(fù)雜時(shí)，應(yīng)用多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv()等實(shí)現(xiàn)。對(duì)于已經(jīng)建立的傳遞函數(shù)模型，MATLAB提供了函數(shù)tfdata()，可以傳遞函數(shù)模型中提取模型中的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)，格式為：［num,den]=tfdata(sys,’v’)，其中v為關(guān)鍵詞，其功能是返回行向量(rowvector)形式的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)。零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對(duì)原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用[z,p,K]矢量組表示。即：z=[z1,z2,…,zm]p=[p1,p2,...,pn]K=[k]二、零極點(diǎn)增益模型K為系統(tǒng)增益，zi為零點(diǎn)，pj為極點(diǎn)

建立零極點(diǎn)形式數(shù)學(xué)模型的函數(shù)zpk()：(1)sys=zpk(z,p,k)(2)sys=zpk(z,p,k,’inputdelay’,tao)前者建立常規(guī)系統(tǒng)零極點(diǎn)形式的數(shù)學(xué)模型，后者建立的是有時(shí)間延遲系統(tǒng)的零極點(diǎn)形式數(shù)學(xué)模型。提取模型中零極點(diǎn)和增益的函數(shù)zpkdata()：對(duì)于已經(jīng)建立的零極點(diǎn)模型，MATLAB提供了函數(shù)zpkdata()，可從零極點(diǎn)模型中提取模型中的零極點(diǎn)和增益，格式為：［z,p,k]=zpkdata(sys,’v’)，其中v為關(guān)鍵詞，其功能是返回列向量（colum

vector）形式的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)。

分析控制系統(tǒng)過程中，經(jīng)常要求對(duì)系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分解，使其表現(xiàn)為一些基本控制單元的和的形式。傳遞函數(shù)表示成為部分分式形式三、部分分式展開模型式中，pi(i＝1，2，…，n)為該系統(tǒng)的n個(gè)極點(diǎn)，與零極點(diǎn)形式的n個(gè)極點(diǎn)是一致的，rj(j＝1，2，…，n)是對(duì)應(yīng)各極點(diǎn)的留數(shù)；h(s)則表示傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式的余式，若分子多項(xiàng)式階次與分母多項(xiàng)式相等，h為標(biāo)量，若分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次，該項(xiàng)不存在。函數(shù)[r,p,k]=residue(num,den)對(duì)兩個(gè)多項(xiàng)式的比進(jìn)行部分展開，以及把傳函分解為微分單元的形式。向量b和a是按s的降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)。部分分式展開后，余數(shù)返回到向量r，極點(diǎn)返回到列向量p，常數(shù)項(xiàng)返回到k。[num,den]=residue(r,p,k)可以將部分分式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式比p(s)/q(s)。傳遞函數(shù)模型部分分式展開函數(shù)residue》num=[2,0,9,1];》den=[1,1,4,4];[r,p,k]=residue(num,den)》p=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000k=2r=0.0000-0.2500i0.0000+0.2500i-2.0000結(jié)果表達(dá)式：部分分式展開：

(一)

微分方程與傳遞函數(shù)形式

微分方程的模型參數(shù)向量與傳遞函數(shù)的模型參數(shù)向量完全一樣，所以微分方程模型在仿真中總是用其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)模型來描述。一、模型的轉(zhuǎn)換在一些場(chǎng)合下需要用到某種模型，而在另外一些場(chǎng)合下可能需要另外的模型，這就需要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換。以上所述的幾種數(shù)學(xué)模型可以相互轉(zhuǎn)換，以適應(yīng)不同的仿真分析要求。

§2.7控制系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)化與連接

(二)

傳遞函數(shù)與零極點(diǎn)增益形式

傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為零極點(diǎn)增益表示形式的關(guān)鍵，實(shí)際上取決于如何求取傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的根。令

則兩式分別有m個(gè)和n個(gè)相應(yīng)的根zi(i＝1，2，…，m)和pj(j=1，2，…，n)，此即為系統(tǒng)的m個(gè)零點(diǎn)和n個(gè)極點(diǎn)。求根過程采用MATLAB語言，可使模型轉(zhuǎn)換過程變得十分方便。MATLAB語言的控制系統(tǒng)工具箱中提供的關(guān)于模型轉(zhuǎn)換函數(shù)有好幾種，其中tf2zp()和zp2tf()，就是用來進(jìn)行傳遞函數(shù)形式與零極點(diǎn)增益形式之間的相互轉(zhuǎn)換的。如語句：[Z，P，K]＝tf2zp(num，den)表示將分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量為num，den的傳遞函數(shù)模型參數(shù)經(jīng)運(yùn)算返回左端式中的相應(yīng)變?cè)?，形成零、極點(diǎn)表示形式的模型參數(shù)向量Z、P、K。同理，語句：[num，den]＝zp2tf(Z，P，K)表示將零、極點(diǎn)增益形式表為傳遞函數(shù)有理多項(xiàng)式形式?！穘um=[1,11,30,0];》den=[1,9,45,87,50];[z,p,k]=tf2zp(num,den)》z=0-6-5p=-3.0000+4.0000i-3.0000-4.0000i-2.0000-1.0000k=1結(jié)果表達(dá)式：零極點(diǎn)增益模型：如：系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型為：%轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型：》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;》[num,den]=zp2tf(z,p,k)》num=00618den=181710(三)部分分式與傳遞函數(shù)或零極點(diǎn)增益形式

傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為部分分式，關(guān)鍵在于求取各分式的分子待定系數(shù)，即下式中的ri(i＝1，2，…n):

單極點(diǎn)情況下，該待定系數(shù)可用以下極點(diǎn)留數(shù)的求取公式得到MATLAB語言中有專門解決極點(diǎn)留數(shù)求取的功能函數(shù)，可以非常方便地得到我們所需的結(jié)果。語句：[R，P，K]＝residue(num，den)[num，den]＝residue(R，P，K)就是用來將傳遞函數(shù)形式與部分分式形式的數(shù)學(xué)模型相互轉(zhuǎn)換的函數(shù)。由上可知，數(shù)學(xué)模型可根據(jù)仿真分析需要建立為不同的形式，并且利用MATLAB語言能夠非常容易地相互轉(zhuǎn)換，以適應(yīng)仿真過程中的一些特殊要求。例：對(duì)于下列系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母表示為

num＝［0,1,3］

den＝［1,3,2］采用命令［r,p,k］＝residue（num，den）得到［r，p，k］＝residue（num，den）r＝2．0000

－1．0000p＝－1．0000－2.0000k＝［］

反之，利用下列命令［num，den］＝residue（r,p,k）可以將部分分式展開式返回到傳遞函數(shù)多項(xiàng)式之比的形式，即得到［num，den］＝residue（r，p，k）num＝0.00001.00003.0000den=1.00003.00002.0000當(dāng)包含m重極點(diǎn)時(shí)，部分分式展開式將包括下列m項(xiàng)：例對(duì)于下列系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子分母表示為

num＝［0,1,2,3］

den＝［1,3,3,1］采用命令［r，p，k］＝residue（num，den）得到num＝［0123］；den＝［1331］；［r，p，k］＝residue（num，den）r＝1.00000.00002.0000p＝－1.0000－1.0000－l.0000k＝［］即4）已知部分分式：%轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型：》r=[-0.25i,0.25i,-2];》p=[2i,-2i,-1];k=2;》[num,den]=residue(r,p,k)》num=2091》den=1144>>sys=tf(num,den)1、并聯(lián)：parallel％功能：并聯(lián)連接兩個(gè)系統(tǒng)。說明：parallel函數(shù)按并聯(lián)方式連接兩個(gè)系統(tǒng)，它既適合于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，也適合于離散時(shí)間系統(tǒng)。

SYS=parallel(SYS1,SYS2)模型的連接2、串聯(lián)：series說明：parallel函數(shù)按并聯(lián)方式連接兩個(gè)系統(tǒng)，它既適合于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，也適合于離散時(shí)間系統(tǒng)。

SYS=serie