高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線的綜合問題熱點專題突破課件

熱點專題突破系列(五)圓錐曲線的綜合問題考點考情分析圓錐曲線中的定點問題以直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線為背景,通過巧妙設(shè)計和整合命制考題,常與一元二次方程、向量、斜率、距離等知識交匯考查圓錐曲線中的定值問題該問題常涉及直線、圓錐曲線、向量等問題,是高考熱點:(1)定值問題一般考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系,考查斜率、向量的運算以及運算能力;(2)解決這類問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式,證明該式為定值考點考情分析圓錐曲線中的最值與取值范圍問題常涉及不等式恒成立、求函數(shù)的值域問題和解不等式問題,是高考熱點:(1)恒成立問題一般考查整式不等式、分式、絕對值不等式在某個區(qū)間上恒成立,求參數(shù)取值范圍;(2)求函數(shù)的值域,一般是利用二次函數(shù)、基本不等式或求導(dǎo)的方法求解,有時也利用數(shù)形結(jié)合思想求解;(3)解不等式一般是轉(zhuǎn)化為解一元一次、一元二次不等式考點1圓錐曲線中的定點問題

【典例1】(2013·陜西高考)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程.(2)已知點B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.【解題視點】(1)依據(jù)已知條件,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)找等式即可得出軌跡方程.(2)x軸是∠PBQ的角平分線,說明直線BQ的斜率與直線BP的斜率互為相反數(shù).【規(guī)范解答】(1)A(4,0),設(shè)圓心C(x,y),線段MN的中點為E,由幾何圖象知ME=CA2=CM2=ME2+EC2?(x-4)2+y2=42+x2?y2=8x.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+b,聯(lián)立得k2x2+2kbx+b2=8x,k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中Δ>0),設(shè)P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b),則若x軸是∠PBQ的角平分線,則kPB+kQB=

即k=-b,故直線l的方程為y=k(x-1),直線l過定點(1,0).【規(guī)律方法】圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法:引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點.(2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān).【加固訓(xùn)練】過拋物線x2=4y上不同兩點A,B分別作拋物線的切線相交于點P(x0,y0),(1)求y0.(2)求證:直線AB恒過定點.(3)設(shè)(2)中直線AB恒過定點F,是否存在實數(shù)λ,使恒成立?若存在,求出λ的值,若不存在,請說明理由.【解析】(1)設(shè)由x2=4y,得:所以因為所以PA⊥PB,所以x1x2=-4.直線PA的方程是:①同理,直線PB的方程是:②由①②得:(2)由(1)可得直線AB的方程為令x=0,可得因為所以y=1.所以直線AB恒過點(0,1).(3)由(1)得:所以因為所以所以所以故存在λ=1使得考點2圓錐曲線中的定值問題

【典例2】(2013·江西高考)橢圓C:(a>b>0)的離心率a+b=3.(1)求橢圓C的方程.(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明:2m-k為定值.【解題視點】(1)借助橢圓中a2=b2+c2的關(guān)系及兩個已知條件即可求解.(2)可以寫出BP的直線方程,分別聯(lián)立橢圓方程及AD的方程表示出點P,M的坐標(biāo),再利用DP與x軸表示點N的坐標(biāo),最終把m表示成k的形式,就可求出定值;另外也可設(shè)點P的坐標(biāo),把k與m都用點P的坐標(biāo)來表示.【規(guī)范解答】(1)因為所以又由a2=b2+c2得代入a+b=3,得a=2,b=1.故橢圓C的方程為(2)方法一:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,則直線BP的方程為y=k(x-2)①,將①代入解得直線AD的方程為:②.聯(lián)立①②解得由D(0,1),N(x,0)三點共線可知即所以點所以MN的斜率為則(定值).方法二:設(shè)P(x0,y0)(x0≠0,±2),則直線AD的方程為直線BP的方程為直線DP的方程為令y=0,由于y0≠1,可得解可得所以MN的斜率為故【規(guī)律方法】圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法(1)特點:待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值.(2)兩大解法:①從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān);②引進變量法:其解題流程為:【變式訓(xùn)練】已知橢圓C:(a>b>0)的右焦點為F(1,0),且點在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點動直線l過點F,且直線l與橢圓C交于A,B兩點,證明:為定值.【解析】(1)由題意知:c=1.根據(jù)橢圓的定義得:即a=,所以b2=2-1=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)當(dāng)直線l的斜率為0時,A(,0),B(-,0),則當(dāng)直線l的斜率不為0時,設(shè)直線l的方程為:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).由可得:(t2+2)y2+2ty-1=0.顯然Δ>0.所以因為x1=ty1+1,x2=ty2+1,所以

=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+=-(t2+1)·

即綜上所述,【加固訓(xùn)練】(2013·宜賓模擬)設(shè)F1,F2分別為橢圓C:的左、右兩個焦點.(1)若橢圓C上的點到F1,F2兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和離心率.(2)若M,N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是橢圓上除M,N外的任意一點,當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,求證:kPM·kPN為定值.【解析】(1)根據(jù)已知條件:2a=4,即a=2,所以橢圓方程為又為橢圓C上一點,則解得b2=3,所以橢圓C的方程為所以所以橢圓C的離心率(2)因為M,N是橢圓上關(guān)于原點對稱的點,設(shè)M(x0,y0),則N(-x0,-y0),設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),則即所以考點3圓錐曲線中的最值與取值范圍問題

【典例3】(1)(2014·麗水模擬)已知拋物線C的方程為y2=-8x,設(shè)過點N(2,0)的直線l的斜率為k,且與拋物線C相交于點S,T,若S,T兩點只在第二象限內(nèi)運動,線段ST的垂直平分線交x軸于Q點,則Q點橫坐標(biāo)的取值范圍為

.(2)(2013·浙江高考)已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1).①求拋物線C的方程;②過F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.【解題視點】(1)直線方程與拋物線方程聯(lián)立,由直線與拋物線相交,利用判別式,可求k的范圍,然后再求點Q的橫坐標(biāo),進而求范圍.(2)①知道拋物線的焦點易求拋物線的方程;②可以先設(shè)出A,B兩點的坐標(biāo)(設(shè)而不求),設(shè)出直線的方程,由已知條件把|MN|表示出來,進行求解.【規(guī)范解答】(1)設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),由題意得ST的方程為y=k(x-2)(顯然k≠0),與y2=-8x聯(lián)立消元得ky2+8y+16k=0,則有y1+y2=y1y2=16.因為直線l交拋物線C于兩點,所以Δ=64-64k2>0,再由y1>0,y2>0,則故-1<k<0,可求得線段ST的中點的坐標(biāo)為所以線段ST的垂直平分線方程為令y=0,得點Q的橫坐標(biāo)為所以Q點橫坐標(biāo)的取值范圍為(-∞,-6).答案:(-∞,-6)(2)①由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則所以拋物線C的方程為x2=4y.②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為:y=kx+1,由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,從而|x1-x2|=由解得點M的橫坐標(biāo)同理點N的橫坐標(biāo)所以=

令4k-3=t,t≠0,則當(dāng)t>0時,|MN|=當(dāng)t<0時,|MN|=綜上所述,當(dāng)即時,|MN|的最小值是【規(guī)律方法】1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.2.圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)兩類最值問題:①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題.(2)兩種常見解法:①幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來解決;②代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可先建立起目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值,最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.提醒:求最值問題時,一定要注意對特殊情況的討論.如直線斜率不存在的情況,二次三項式最高次項的系數(shù)的討論等.【變式訓(xùn)練】已知過點A(-4，0)的動直線l與拋物線G：x2=2py(p>0)相交于B，C兩點.當(dāng)直線l的斜率是時，(1)求拋物線G的方程.(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.【解析】(1)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，當(dāng)直線l的斜率是時，l的方程為y=(x+4)，即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0，所以又因為，所以y2=4y1，③由①②③及p>0得：y1=1,y2=4，p=2，得拋物線G的方程為x2=4y.(2)設(shè)l：y=k(x+4),BC的中點坐標(biāo)為(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0，④所以y0=k(x0+4)=2k2+4k,所以線段BC的中垂線方程為y-2k2-4k=-(x-2k)，所以線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k2+4k+2=2(k+1)2，對于方程④，由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.從而實數(shù)b的取值范圍是(2，+∞).【加固訓(xùn)練】已知曲線C:y=x2與直線l:x-y+2=0交于兩點A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA<xB,記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.設(shè)點P(s,t)是L上的任一點,且點P與點A和點B均不重合.(1)若點Q是線段AB的中點,試求線段PQ的中點M的軌跡方程.(2)若曲線G:與D有公共點,試求a的最小值.【解析】(1)聯(lián)立y=x2與y=x+2得xA=-1，xB=2，則AB中點設(shè)線段PQ的中點M坐標(biāo)為(x,y)，則即又點P在曲線C上，所以