bs期權(quán)公式課件

b-s期權(quán)公式課件b-s期權(quán)公式課件b-s期權(quán)公式課件Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)格變化也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過程。金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用Ito過程來描述。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價(jià)格的Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程。在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過程中，Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。從而得到一個(gè)重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。12/19/20202Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)格變化也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過程。金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用Ito過程來描述。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價(jià)格的Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程。在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過程中，Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。從而得到一個(gè)重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。7/22/20232為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程?期權(quán)是衍生工具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。期權(quán)的價(jià)值正是來源于簽訂合約時(shí)，未來標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了解其所遵循的隨機(jī)過程。研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。7/22/20233隨機(jī)過程隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程。隨機(jī)過程的分類離散時(shí)間、離散變量離散時(shí)間、連續(xù)變量連續(xù)時(shí)間、離散變量連續(xù)時(shí)間、連續(xù)變量7/22/20234幾種隨機(jī)過程標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程）起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述。設(shè)Δt代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，Δz代表變量z在Δt時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的Δz具有兩種特征：特征1：其中，ε代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔Δt，Δz的值相互獨(dú)立。特征的理解特征1：特征2:馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測(cè)無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。7/22/20235標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)）考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形：z（T）－z(0)表示變量z在T中的變化量又可被看作是在N個(gè)長(zhǎng)度為Δt的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中N=T/Δt。很顯然，這是n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為NΔt=T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。為何定義為：當(dāng)我們需要考察任意時(shí)間長(zhǎng)度間隔中的變量變化的情況時(shí)，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時(shí)間長(zhǎng)度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)檫B續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：當(dāng)Δt

0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)7/22/20236普通布朗運(yùn)動(dòng)變量x遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)：其中，a和b均為常數(shù)，z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這里的a為漂移率（DriftRate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量x均值的變化值。這里的b2為方差率（VarianceRate），是指單位時(shí)間的方差。這個(gè)過程指出變量x關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過程。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的?？梢园l(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長(zhǎng)度后，x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為,方差為b2T.7/22/20237Ito過程和Ito引理伊藤過程（ItoProcess）：普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們就得到 其中，z遵循一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b都隨時(shí)間變化。這就是伊藤過程。Ito引理若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

其中，z遵循一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。由于a和b都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為方差率為7/22/20238證券價(jià)格的變化過程目的：找到一個(gè)合適的隨機(jī)過程表達(dá)式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡(jiǎn)單性?；炯僭O(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程：其中，S表示證券價(jià)格，μ表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率），σ2表示證券收益率單位時(shí)間的方差，σ表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility），z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。一般μ和σ的單位都是年。很顯然，這是一個(gè)漂移率為μS、方差率為σ2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)7/22/20239為什么證券價(jià)格可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)表示？一般認(rèn)同的“弱式效率市場(chǎng)假說”：證券價(jià)格的變動(dòng)歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息。馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測(cè)無關(guān)。幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)項(xiàng)來源于維納過程dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式假說。投資者感興趣的不是股票價(jià)格S，而是獨(dú)立于價(jià)格的收益率。投資者不是期望股票價(jià)格以一定的絕對(duì)價(jià)格增長(zhǎng)，而是期望股票價(jià)格以一定的增長(zhǎng)率在增長(zhǎng)。因此需要用百分比收益率代替絕對(duì)的股票價(jià)格。幾何布朗運(yùn)動(dòng)最終隱含的是：股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價(jià)格為對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這比較符合現(xiàn)實(shí)。7/22/202310百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率百分比收益率：連續(xù)復(fù)利收益率:百分比收益率的缺陷與連續(xù)復(fù)利收益率的優(yōu)點(diǎn)：有限責(zé)任原則：金融學(xué)中常常存在對(duì)實(shí)際收益率（近似）服從正態(tài)分布的隱含假定，但是在有限責(zé)任（投資者頂多賠償全部的投資，不會(huì)損失更多）原則下，百分比收益率只在－1和＋∞之間變化，不符合正態(tài)分布假定。對(duì)數(shù)收益率（－∞，＋∞）：更適合于建立正態(tài)分布的金融資產(chǎn)行為模型。多期收益率問題：即使假設(shè)單期的百分比收益率服從正態(tài)分布，多期的百分比收益率是單期百分比收益率的乘積，n個(gè)正態(tài)分布變量的乘積并非正態(tài)分布變量。從而產(chǎn)生悖論。多期的對(duì)數(shù)收益率是單期的對(duì)數(shù)收益率之和，仍然服從正態(tài)分布。交叉匯率問題：如果用百分比表示，例如美元對(duì)日元匯率變化收益率、日元對(duì)美元匯率變化收益率，兩者絕對(duì)值不會(huì)相等；而且其中一個(gè)服從正態(tài)分布，另一個(gè)就無法服從正態(tài)分布；交叉匯率的收益率難以直接計(jì)算。如果用對(duì)數(shù)收益率表示，兩個(gè)相互的匯率收益率絕對(duì)值正好相等而符號(hào)相反；可以滿足同時(shí)服從正態(tài)分布的假設(shè)；交叉匯率收益率可以直接相加計(jì)算。連續(xù)復(fù)利收益率的問題：盡管時(shí)間序列的收益率加總可以很容易的實(shí)現(xiàn)；但是橫截面的收益率加總則不是單個(gè)資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，因?yàn)閷?duì)數(shù)之和不是和的對(duì)數(shù)。但是在很短時(shí)間內(nèi)幾乎可以認(rèn)為是近似。JP摩根銀行的RiskMetrics方法就假定組合的收益率是單個(gè)資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的加權(quán)平均。7/22/202311幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析在很短的時(shí)間Δt后，證券價(jià)格比率的變化值為：可見，在短時(shí)間內(nèi)，具有正態(tài)分布特征其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。7/22/202312幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（2）但是，在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間T后，不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：多期收益率的乘積問題因此，盡管σ是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是。股票價(jià)格的年波動(dòng)率并不是一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。7/22/202313幾何布朗運(yùn)動(dòng)的深入分析（3）如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)lnS所遵循的隨機(jī)過程：這個(gè)隨機(jī)過程的特征：普通布朗運(yùn)動(dòng)：恒定的漂移率和恒定的方差率。在任意時(shí)間長(zhǎng)度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為，方差為。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為，和時(shí)間長(zhǎng)度平方根成正比。從自然對(duì)數(shù)lnS所遵循的這個(gè)隨機(jī)過程可以得到兩個(gè)結(jié)論:7/22/202314（1）幾何布朗運(yùn)動(dòng)意味著股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在T－t期間G的變化為：這意味著：進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到也就是說，證券價(jià)格對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。這正好與μ作為預(yù)期收益率的定義相符。7/22/202315（2）股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對(duì)數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動(dòng)實(shí)際上意味著對(duì)數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成比例。將t與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為η，則7/22/202316結(jié)論幾何布朗運(yùn)動(dòng)較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過程。7/22/202317參數(shù)的理解μ：幾何布朗運(yùn)動(dòng)中的期望收益率，短時(shí)期內(nèi)的期望值。根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)原理，μ取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)、無風(fēng)險(xiǎn)利率水平、以及市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此的決定本身就較復(fù)雜。然而幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價(jià)與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率μ是無關(guān)的。較長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于，這是因?yàn)檩^長(zhǎng)時(shí)間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時(shí)間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時(shí)間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。σ：是證券價(jià)格的年波動(dòng)率，又是股票價(jià)格對(duì)數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差因此一般從歷史的價(jià)格數(shù)據(jù)中計(jì)算出樣本對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對(duì)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動(dòng)率的估計(jì)值。一般來說，時(shí)間越近越好；時(shí)間窗口太長(zhǎng)也不好；采用交易天數(shù)而不采用日歷天數(shù)。7/22/202318小結(jié)我們可以用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來描述股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)：符合弱式有效、對(duì)數(shù)正態(tài)分布的市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)，以及投資者對(duì)收益率而非價(jià)格的關(guān)注。根據(jù)Ito引理，可以得到衍生證券所遵循的隨機(jī)過程。股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以得到未來的某個(gè)時(shí)刻股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的結(jié)論7/22/202319Black-Scholes微分方程：基本思路思路：由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性（dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑挘@種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。那么，在無套利機(jī)會(huì)的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。

7/22/202320Black-Scholes微分方程：假設(shè)假設(shè)：證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即μ和σ為常數(shù)；允許賣空；沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán)7/22/202321股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格服從的隨機(jī)過程7/22/202322Black-Scholes微分方程推導(dǎo)過程根據(jù)（1）和（2），在一個(gè)很小的時(shí)間間隔里S和f的變化值分別為為了消除，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價(jià)值，則：7/22/202323在時(shí)間后：

將代入，可得：

在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下：從而得到：這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它事實(shí)上適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。值得強(qiáng)調(diào)的是：上述投資組合只是在極短的時(shí)間內(nèi)才是無風(fēng)險(xiǎn)的。會(huì)不斷地發(fā)生變化。7/22/202324BS公式的一個(gè)重要結(jié)論

——風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理

從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（S）、時(shí)間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（σ）和無風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量——風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。7/22/202325風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求無風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克——舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。也就是說，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。7/22/202326AnExample假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3個(gè)月后股票的市價(jià)。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元，則該期權(quán)價(jià)值為0.5元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元，則該期權(quán)價(jià)值為0。為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于（11Δ－0.5）元；若3個(gè)月后該股票價(jià)格等于9元時(shí)，該組合價(jià)值等于9Δ元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)闹?，?個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：11Δ－0.5=9ΔΔ=0.25因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。7/22/202327在沒有套利機(jī)會(huì)情況下，無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：2.25e-0.1×0.25=2.19由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)價(jià)格為10元，因此：10×0.25-f＝2.19;f＝0.31這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。7/22/202328從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：10=e-0.1×0.25×[11p+9(1-p)]P=62.66%。又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：10=e-0.15×0.25×[11p+9(1-p)]P=69.11%?？梢?，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于0.31元。7/22/202329前文的兩個(gè)重要結(jié)論股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理7/22/202330black－Scholes期權(quán)定價(jià)公式金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)：（3）其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值。所有的利率都使用無風(fēng)險(xiǎn)利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率μ。要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)格ST，我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中所有的利率應(yīng)用無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此，7/22/202331對(duì)式（3）的右邊求值是一個(gè)積分過程，求得：N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（即這個(gè)變量小于x的概率）。這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式7/22/202332 首先，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 因此，這個(gè)公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。BS公式的理解7/22/202333其次，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量（求導(dǎo)），SN（d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。

數(shù)學(xué)等式的金融工程含義看漲期權(quán)空頭的套期保值結(jié)果7/22/202334最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)（Asset-or-notingcalloption）多頭和現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)（cash-or-nothingoption）空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)：如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)格本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為e-r(T-t)STN(d1)=SN(d1)（標(biāo)準(zhǔn)）現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán):如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)格，該期權(quán)沒有價(jià)值；如果高于執(zhí)行價(jià)格，則該期權(quán)支付1元，由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)格超過執(zhí)行價(jià)格的概率為1份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t)N(d2)。7/22/202335在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，由于C=c，因此式也給出了無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：

由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，因此美式看跌期權(quán)無法得到精確的解析公式，而只能運(yùn)用數(shù)值方法和近似方法得到。BS定價(jià)模型的基本推廣7/22/202336有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)公式基本理解：在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。σ表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動(dòng)率，就可直接套用前面公式分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（S－I）代替前面公式的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。

當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將Se－q（T-t）代替前面公式中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。

7/22/202337歐式股指期權(quán)、歐式外匯期權(quán)都可以看成支付連續(xù)復(fù)利紅利率的資產(chǎn)期權(quán)歐式期貨期權(quán)定價(jià)公式為：

其中：7/22/202338例1假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$