自動(dòng)化學(xué)院學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)第一章

復(fù)變函數(shù)楊瑞芳復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）對(duì)

象主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、返回學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，它們之間有許多相似之處。但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。返回背

景復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，

J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-

1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。返回復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。

A.L.Cauchy

（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann

(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過(guò)他們的巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理

論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。返回目錄第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章 解析函數(shù)第三章 復(fù)變函數(shù)的積分第四章 級(jí)

數(shù)第五章

留 數(shù)(Residue)第六章 共形映射返回第一章

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一章

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算§2復(fù)數(shù)的幾何表示§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根§4區(qū)域§5復(fù)變函數(shù)§6復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性返回§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算

1.

復(fù)數(shù)的概念

2.

代數(shù)運(yùn)算

3.

共軛復(fù)數(shù)

一般,任何兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。1.

復(fù)數(shù)的概念定義

對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x、y

稱

z=x+iy為復(fù)數(shù)。其中i

=-1

—虛單位。復(fù)數(shù)z

的實(shí)部

Re(z)

=

x

;

虛部

Im(z)

=

y

. (real

part) (imaginary

part)復(fù)數(shù)的模Im(

z1

)

=

Im(

z2

)|

z

|=

x

2

+

y

2

?

0Re(z1

)

=

Re(z2

)z

=

0

Re(z)

=

Im(

z)

=

0復(fù)數(shù)

z1

=

z22222|

z

|2=

x1

x2

+

y1

y2

+

i

x2

y1

-

x1

y2z

|

z

|2z

=

z1

(z

?

0)2.

代數(shù)運(yùn)算四則運(yùn)算定義

z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同）即，z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)(1)

(z1

–

z2

)

=

z1

–

z2(z1

z2

)

=

z1

z22

2z1

z1( )

=z

z(

2

)

z

=

zzz

|

z

|2

1

=(3)zz

=

Re(z)2

+

Im(

z)2

=

x

2

+

y

2(4)z

+

z

=

2

Re(z)z

-

z

=

2i

Im(z)3.共軛復(fù)數(shù)定義

若z=x+iy

,

稱‘z=x-iy

為z

的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)答案：虛部和模1

-

z練習(xí)：求復(fù)數(shù)w

=1

+z

(復(fù)數(shù)z

?1)的實(shí)部、|

1

-

z

|1+

|

z

|2

+2

R