控制工程基礎第三章線性系統(tǒng)時域分析

第三章

線性系統(tǒng)的時域分析尹怡欣Tel：62332262，E-mail：信息工B程l學o院g自：動化系3、線性系統(tǒng)的時域分析3.1

典型輸入信號與時域性能指標3.2

一階系統(tǒng)的時域分析3.3

二階系統(tǒng)的時域分析3.4

高階系統(tǒng)的時域分析3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.6

線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算本章學習要點了解典型輸入信號和時域性能指標掌握一階系統(tǒng)的時域分析方法掌握二階系統(tǒng)的時域分析方法了解高階系統(tǒng)的主導極點及其時域分析方法掌握反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及其誤差補償?shù)姆椒ㄕ莆站€性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和求解方法掌握狀態(tài)方程的求解方法系統(tǒng)的三性分析：穩(wěn)定性穩(wěn)態(tài)特性動態(tài)特性穩(wěn)定的系統(tǒng)概念和定義穩(wěn)定是系統(tǒng)正常運行的前提，是控制理論研究的重要課題。穩(wěn)定性的基本概念如果一個線性定常系統(tǒng)在擾動作用消失后，能夠恢復到原始的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。即取決于系統(tǒng)的零輸入響應。R(s)G(s)B(s)E(s)

C(s)+-H

(s)引言-時域分析在控制理論中的地位和作用系統(tǒng)數(shù)學模型G(s),（A,B,C）時間域復數(shù)域頻率域系統(tǒng)的性能指標系統(tǒng)的校正、綜合時域分析是三大分析方法之一，在時域中研究問題，重點討論過渡過程的響應形式。其特點：直觀、精確。比較煩瑣。3.1

典型輸入信號與時域性能指標1）系統(tǒng)的響應過程瞬態(tài)響應：系統(tǒng)在某一輸入信號作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程。瞬態(tài)響應也稱為過渡過程。穩(wěn)態(tài)響應：對于穩(wěn)定系統(tǒng)，當某一信號輸入時，系

統(tǒng)在時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)也稱為靜態(tài)。分析瞬態(tài)響應時，需要選擇典型輸入信號，這有如下好處：數(shù)學處理簡單，給定典型信號下的性能指標，便于分析、綜合系統(tǒng)；典型輸入的響應往往可以作為分析復雜輸入時系統(tǒng)性能的基礎；便于進行系統(tǒng)辨識，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。3.1

時域響應與典型輸入信號2）常用的典型輸入信號（1）階躍函數(shù)At

<

0t

>

0u(t)

=

0A=1時，稱為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。ss拉氏變換為：

L

[1(t)]

=

1

；

一般情況為：U

(s)

=

A3.1

典型輸入信號與時域性能指標（2）斜坡函數(shù)（速度函數(shù)））s3u(t)

=

2

1

At

2

t

?

0t

<

00U

(s)

=

As2（3）拋物線函數(shù)（加速度函數(shù)0t

?

0t

<

0U

(s)

=

Au(t）=

At3.1

典型輸入信號與時域性能指標（4）單位脈沖函數(shù)δ(t)U

(s)=

Aw

s2

+w

2（5）正弦函數(shù)u(t）=

Asin(w

t)￥-￥

￥

,u(t)

=

d(t)

=

0,d(t)dt

=1,t

?

0t

=

0L[d(t)]=13.1

典型輸入信號與時域性能指標名

稱時域表達式復域表達式單位階躍函數(shù)1(t)，

t

?

01s單位斜坡函數(shù)t，

t

?

01s2單位加速度函數(shù)1

t

2

，

t

?

021s3單位脈沖函數(shù)d(t)，

t

?

01正弦函數(shù)Asin

wtAws2

+w

23.1

典型輸入信號與時域性能指標3）時域性能指標時域中評價系統(tǒng)的暫態(tài)性能，通常以系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的暫態(tài)響應為依據(jù)。動態(tài)過程：系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。穩(wěn)態(tài)響應：表征系統(tǒng)輸出量最終跟蹤或復現(xiàn)理想輸出的程度。動態(tài)性能上升時間tr延遲時間td峰值時間tp調(diào)節(jié)時間ts超調(diào)量σ%振蕩次數(shù)N3.1

典型輸入信號與時域性能指標c(t)t

rt

pt

s10s

pttd0.5誤差帶

：–0.05

或–0.023.1

典型輸入信號與時域性能指標動態(tài)性能指標上升時間tr延遲時間td峰值時間tp調(diào)節(jié)時間ts超調(diào)量σ%振蕩次數(shù)Ntrtdh(￥

)h(t)AA

超調(diào)量σ%

=

B

100%峰值時間tp

B上升時間trth(t)調(diào)節(jié)時間tst動態(tài)性能指標定義1y(t)tAB超調(diào)量σ%

=

A 100%峰值時間tp上升時間tr調(diào)節(jié)時間tsy(t)t調(diào)節(jié)時間ts上升時間tr動態(tài)性能指標定義2y(t)ttstptrABBσ%=

A

100%動態(tài)性能指標定義33.1

典型輸入信號與時域性能指標上升時間tr：響應曲線從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值h(∞)所需的時間，稱為上升時間。若響應曲線無振蕩的系統(tǒng)，tr是響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。延遲時間td:響應曲線第一次到達終值一半所需的時間。峰值時間tp:響應曲線超過穩(wěn)態(tài)值h(∞)達到第一個峰值所需的時間。調(diào)節(jié)時間ts:在穩(wěn)態(tài)值h(∞)附近取一誤差帶，通常取響應曲線開始進入并保持在誤差帶內(nèi)所需的最小時間，稱為調(diào)節(jié)時間。ts越小，說明系統(tǒng)從一個平衡狀態(tài)過渡到另一個平衡狀態(tài)所需的時間越短。3.1

典型輸入信號與時域性能指標

超調(diào)量σ%：響應曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。即h

(￥

)超調(diào)量表示系統(tǒng)響應過沖的程度，超調(diào)量過大將使系統(tǒng)元件工作于惡劣條件，同時加長了調(diào)節(jié)時間。振蕩次數(shù)N：在調(diào)節(jié)時間以內(nèi)，響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。tr，tp和ts表示控制系統(tǒng)反映輸入信號的快速性，而

σ%和N反映系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性。其中ts和σ%是最重要的兩個動態(tài)性能的指標。h

(t

)

-

h

(￥

)s

%

=

p

·

100

%3.1

典型輸入信號與時域性能指標穩(wěn)態(tài)性能：本課程中所講的穩(wěn)態(tài)性能主要是穩(wěn)態(tài)誤差ess，它是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。3.2

一階系統(tǒng)的時域分析凡以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)在控制工程中應用廣Ts

+1Ts1開環(huán)傳函為：

G(s)

=

1+

y(t)

=

u(t)dtdy(t)閉環(huán)傳函為：

F

(s)

=微分方程為：

T泛，如RC電路、空載的直流電動機系統(tǒng)等

。其中：T為系統(tǒng)的時間常數(shù)，T的倒數(shù)為開環(huán)增益3.2

一階系統(tǒng)的時域分析積分環(huán)節(jié)或慣性環(huán)節(jié)組成為一個單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)時，構(gòu)成典型的一階系統(tǒng)。

K0s-R(s)+C(s)1R(s)sKK0F

(s)

=

C(s)

=1+

K0=

=Ts

+1

1

s

+1K0其中，K

=1，T

=1K0T0

s

+1-R(s)+C(s)0K0K0KT0K0T0K0T0

s

+1K0s

F

(s)

=

C(s)

=1+T

s

+11+

K0==Ts

+1s

+11+

K01+

K01+

K0其中，K

=，

T

=為便于研究，令K=1。即F

(s)

=

C(s)

=

1R(s)

Ts

+1C(s)

1F

(s)

=

=

R(s)R(s)

Ts

+13.2

一階系統(tǒng)的時域分析1）單位階躍響應s單位階躍輸入

u(t)

=

1(t)的像函數(shù)為

U

(s)

=

1則系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：Y

(s)

=

G(s)U

(s)

==

-1

1

1

TTs

+1

s

s Ts

+1對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應為：-

ty(t)

=

(1-

e

T

)1(t)3.2

一階系統(tǒng)的時域分析tT2T3T4T5Ty(t)0.6320.8650.950.9820.993T

2T

3T

4T

5T98.2%95%99.3%86.5%B0ty(t)163.2%A0.632一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線-

ty(t)

=

(1-

e

T

)1(t)3.2

一階系統(tǒng)的時域分析2）單位斜坡響應系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：s2當輸入信號

u(t)

=

t

1(t)

時，U

(s)

=

11

TT

2Y

(s)

=

G(s)U

(s)

=

1

1Ts

+1

s2=

-

+s2

s Ts

+1對上式取拉氏反變換，得單位斜坡響應為：-

ty(t)

=[(t

-T

)

+Te

T

]1(t)3.2

一階系統(tǒng)的時域分析r(t)c(t)tc(t)r(t)

ess

=

T-

ty(t)

=[(t

-T

)

+Te

T

]1(t)3.2

一階系統(tǒng)的時域分析3）單位脈沖響應當u(t)=δ(t)時，系統(tǒng)的輸出響應為該系統(tǒng)的脈沖響應。因為L[δ(t)]=1，一階系統(tǒng)脈沖響應的拉氏變換為：11TTY

(s)

=

G(s)U

(s)

=1

=Ts

+1s

+

11Te

1(t)T-

t

y(t)

=對應單位脈沖響應為：3.2

一階系統(tǒng)的時域分析斜率-1/T21T1(t)T-

t

y(t)

=

e3.2

一階系統(tǒng)的時域分析u(t)y(t)d(t)1

-

t

e

T

1(t)T1(t)-

t1-

e

T

1(t)t-

tt

-T

(1-

e

T

)

1(t)1

t

22

t

1

t

2

2

-T-Tt

+T

(1-

e

)

1(t)2若輸入函數(shù)成導數(shù)關(guān)系，則響應函數(shù)成導數(shù)關(guān)系，由于階躍響應的暫態(tài)特性較直觀，且又有一定代表性，因此今后以單位階躍響應分析暫態(tài)特性。無零點的一階系統(tǒng)

Φ(s)=Ts+1

k

,

T時間常數(shù)(畫圖時取k=1,T=0.5)k(t)=

1

Te-

t

T單1位

k(0)=

T脈

K’(0)=T沖響應h(t)=1-e-t/Th’(0)=1/Th(T)=0.632h(∞)h(2T)=0.865h(∞)h(3T)=0.95h(∞)h(4T)=0.982h(∞)單單位位階斜躍坡響響應應c(t)=t-T+Te-t/TT?r(t)=

δ(t)r(t)=

1(t)r(t)=

t問2

、調(diào)節(jié)時間ts=？1

、3個圖各如何求T？3

、r(t)=t時，ess=？4、求導關(guān)系？k’(0)=－1/T23.2

一階系統(tǒng)的時域分析幾點說明和結(jié)論：1。根據(jù)動態(tài)性能指標的定義，的暫態(tài)指標為：t

=3T(5%) t

=4T(2%)s2。s如果設復現(xiàn)和跟蹤輸入信號為理想輸出，那么，對脈沖和單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為0，而對單位斜波輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為T。3。觀察輸入信號和對應的輸出信號可知，輸入函數(shù)成導數(shù)關(guān)系，則響應函數(shù)成導數(shù)關(guān)系，由于階躍響應的暫態(tài)特性較直觀，且又有一定代表性，因此今后以單位階躍響應分析暫態(tài)特性。1Ts

+11Ts

+13.2

一階系統(tǒng)的時域分析例3.2.1一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若kt=0.1,試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts，如果要求ts

￡

0.1秒。試求反饋系數(shù)應取多大？100s-R(s)+ktE(s)

C(s)3.2

一階系統(tǒng)的時域分析1000

.0110tts

st100

/

s

1/

ktktskkF

(

s

)

=1

+s

+

1F

(

s

)

=0

.1s

+

1=

，當k=0.1時,，

顯然時間常數(shù)

T

=

0

.1秒因此調(diào)節(jié)時間為

ts

=

3T

=

0

.3秒，如果要求

t

￡

0

.1秒,

t

=

3T

=

3

·

0

.01

￡

0

.1,故

kt

?

0

.3系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解3.3

二階系統(tǒng)的時域分析一個可以用二階微分方程來描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)包含有二個獨立的儲能元件，經(jīng)常用到的儲能元件有電感、電容等。一、二階系統(tǒng)標準形式2n2nKC

(

s

)s

2R

(

s

)

s

2wF

(

s

)

==

T

=

n

+

2zw

s

+

w+

1

s

+

KT

TKs(Ts

+1)R(s)C(s)+-w

2

n

s(s

+

2zw

n

)-C(s)+R(s)Tn=

Kw

2nT2zw=

1二階系統(tǒng)的標準形式w

n

—自然頻率（無阻尼振蕩頻率）z

—阻尼比（相對阻尼系數(shù)）3.3

二階系統(tǒng)的時域分析特征根的性質(zhì)取決于z

的大小，下面分四種情況討論。ns1

,2-

1z

2=

-zw

–

w

n2nn=

0二階系統(tǒng)的特征方程為：s

2

+2zw

s

+w系統(tǒng)的兩個特征根（閉環(huán)極點）為[s]ImRe0[s]ImRe0[s]s2s2s1s1s1n[s]w

1

-

z

2-

zw

nq0

<

z

<

10(a)(b)(d)

z

=

0ImRez

=

1ImRe0s2

s1z

>

1(c)tgq

=

1-z

2

z3.3

二階系統(tǒng)的時域分析1．欠阻尼情況:則二階系統(tǒng)具有一對共軛復根：——衰減系數(shù)——阻尼振蕩頻率輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為對上式進行拉氏反變換，可得單位階躍響應：式中：s

=zw(0<

z

<

1)nw

=

w

1

-z

2d

n=

-s

–

jw

ds1,22n

ns

1

,

2-

1=

-

zw

–

w

ztgq

=

1-z

2

zn

nw

2s(s

2

+

2zw

s

+

w

2

)1zw

n(s

+

zw)

2

+

w

2n

d-s

(s

+

zw

)

2

+

w

2n

ds

+

zw

nC(s)=

n

= -2

z

-zw

ntc(t)

=1-

e(coswd

t

+

sin

wd

t)1-zsin(

w

d

t

+

q

)1

-

z

2=

1

-e-zw

nt式中：q=arccos

z3.3

二階系統(tǒng)的時域分析01211

+1

-

z11

-1

-

z

22e-zw

nt1

+1

-

z1zw

nT

=T2T3T4Ttc(t)2e-zw

nt1

-1

-

z欠阻尼二階系統(tǒng)的單位線ζ越小，系統(tǒng)振蕩越厲害，一般取0.5—0.8之間。階躍響應為一條衰減振蕩曲線：振蕩頻率為

w

d

，曲2e

-

zw

n

t1

–1

-

z為動態(tài)響應的包絡線，包絡線的時間常數(shù)為s

=zw

n。單位階躍響曲線c(t)總是包含在一對包絡線之內(nèi)，收斂速率取決于時間常數(shù)為s

=zw

n數(shù)值。由2．臨界阻尼情況（

z

=

1

）21

,2

n

n-1

可知，此時系統(tǒng)有兩個相等的實根s

=

-

zw

–

w

zs1,2

=

-wn對單位階躍輸入，系統(tǒng)輸出的拉氏變換可寫為11n

n

nnw

2wC(s)

=

n

=-

n

-s(s2

+

2w

s

+w

2

)

s

(s

+w

)2

s

+wc(t)

=1-

e-wnt

(1+w

t)n響應曲線：c(t)r(t)01tc(t)3.3二階系統(tǒng)的時域分析對單位階躍輸入，輸出拉氏變換式寫成部分分式為將上式拉氏反變換，得過阻尼情況時的時域響應：式中3．過阻尼情況（z

>1

）此時系統(tǒng)有兩個不相等的負實根ns

1

,2-

1z

2=

-zw

–

w

ns1n

n

n

n+c(

s

)

=

+s

+

zw

-

w

z

2

-

1 s

+

zw

+

w

z

2

-

1[

2(z

2

-

z

z

2

-

1

-

1

)]

-1

[

2(z

2

+

z

z

2

-

1

-

1]

-11eT1t

eT2

t(

-

)-

T1

-

T2c(

t

)

=

1

+2

z

2

-

1nn21T

=

-(z

-

z

2

-1)wT

=

-(z

+

z

2

-1)wr

(t

)tc(t

)03.3二階系統(tǒng)的時域分析4．無阻尼情況此時系統(tǒng)有一對虛根這是一條平均值為1的等幅振蕩曲線。=

–

jw

ns1,2s1,22=

-zw

n

–

w

n

z

-

1(

z

=

0

)c(

t

)

=

1

-

cosw

nt(

t

?

0

)0c

(t

)21t(

z

=

0

)3.3二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的階躍響應總結(jié)ζ＞1s1,2=

-zw

n

–wnz

2

-1j0ζ

＝1s1,2

=

-zw

n

=

-w

nj00＜

ζ

＜1s1,2=

-zw

n

–

jwn1-z

2j0ζ

＝0s1,2

=

–

jwnj0二階系統(tǒng)的階躍響應總結(jié)

1

1

jζ＞1:

T2

T10-

t

-

te

T1

e

T2y(t)

=1+

T

+

T 2

-過1阻尼1

-1T1

T2jζ

＝1:0y(t)

=1-

e-wnt

(1+w

t)n臨界阻尼j0＜

ζ

＜1:0y(t)

=1-

1

e-zw

nt

sin(w

+

b)d1-z

2

欠阻尼jζ

＝0:

0y(t)

=1-

coswnt零阻尼3.3

二階系統(tǒng)的時域分析二、二階系統(tǒng)的動態(tài)響應性能指示(欠阻尼情況)（1）峰值時間因為整理得：越短。1

-z

2c(t)

=

1

-sin(w

d

t

+q)e-zw

ntdtdc(t)=

0t

=tp-zwnt

p

-zwnt

p

zwne

sin(wd

tp

+q)

-wd

e

cos(wd

tp

+q)

=

0z1-z

2tg(wdtp

+q)

=因為

tgq

=

1-z

2

z

，得到tP

為輸出響應達到第一個峰值所需的時間，應取wdtP

=

pww

1

-z

2=

p

=

p

ndPtwdtp

=

0,p,

2p,

3p

tPtPtP與極點虛部成反比,ζ一定時,極點離實軸越遠,3.3

二階系統(tǒng)的時域分析得ww

1

-z

2=

p

=

p

ndP因為最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時間上，所以將t代入（2）最大超調(diào)量s

%2Psin

p

)

zp

z

1

-

z

2(cos

p

+c(

t )

=

1

-

e1-z--

zp

1-z

2=

1

+

e·100%-

zp

1-z

2s

%

=

e1

-z

2c(t)

=

1

-sin(w

d

t

+q)e-zw

nt表明：二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量僅與阻尼比有關(guān),

ζ越大，s

%

越小。3.3

二階系統(tǒng)的時域分析（3）調(diào)整時間ts欠阻尼情況下輸出響應的衰減情況可以用包絡線近似。求得當時，忽略，加快系統(tǒng)的響1snnzwzwln

D

1-z

2t

=-

ln

0.05

+ln1-z

2

=-z

<<14sn由zwt

?

, (D

=

0.02)e

-zw

nts

1

-

z

21－

c

(ts

)

?

1

-

1

–

=

0.05

,

(D

=

0.05)n

nzw

zwts

=-

,-ln

0.05

?

3ln

1

-z

2(D

=

0.05)表明：調(diào)整時間與系統(tǒng)極點的實數(shù)值成反比。由于

s

%

z

決定，若

z

不變，加大

w

n

的數(shù)值，則可在不影響系統(tǒng)

s

%

的情況下，減少應速度。ts3.3

二階系統(tǒng)的時域分析（4）上升時間根據(jù)定義trc(

tr

)

=

1

-sin(

w

d

tr

+q

)

=

11

-z

2e-zw

nt?

0e

-zw

ntrw

d

tr

+q

=

pdrtw=

p

-q2=

wn

1

-z越大，系統(tǒng)的響應就越迅速。(

wd

)因為:必有：所以:表明：在

z

一定的情況下，無阻尼自然振蕩頻率

w

n3.3

二階系統(tǒng)的時域分析dddnTwN

=

ts,T

=

2p

=

2p

w

1-z

2振蕩次數(shù)

N

N的定義:在調(diào)節(jié)時間內(nèi),響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。Td

為阻尼振蕩的周期3.3

二階系統(tǒng)的時域分析小結(jié)阻尼比小：上升時間短，調(diào)整時間長，超調(diào)量大，穩(wěn)態(tài)誤差增加阻尼比大：上升時間長希望：上升時間短、調(diào)整時間短、超調(diào)量小。工程上阻尼比ζ一般取0.4－0.8。

阻尼比ζ為0.707稱為最佳阻尼比.rt=

p

-qnw

d3

4ts

?

zwP-

zp

1-z

2s

=

e

·100%w=

p

=

p

nd

w

1

-z

2Pt3.3

二階系統(tǒng)的時域分析3.3

二階系統(tǒng)的時域分析總結(jié)二階系統(tǒng)的階躍響應，發(fā)現(xiàn)有如下情況：1）負阻尼情況下，系統(tǒng)在單位階躍信號作用下系統(tǒng)的輸出最終無法達到一個確定的數(shù)值上，也不會在確定范圍內(nèi)變化。2）當ζ>0時不管系統(tǒng)的暫態(tài)過程如何變化，系統(tǒng)輸出都會穩(wěn)定在值1上?！环€(wěn)定系統(tǒng)——穩(wěn)定系統(tǒng)3）當ζ=0時系統(tǒng)的輸出響應，即沒有穩(wěn)定在一個值上也沒有發(fā)散，而是在[0 2]中周期變化?！R界穩(wěn)定3.3

二階系統(tǒng)的時域分析進一步系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的特征有什么聯(lián)系：1）負阻尼情況下：ζ

<0

，系統(tǒng)的極點有正實部。2）當ζ

>0時：不管系統(tǒng)是欠阻尼還是過阻尼，系統(tǒng)的極點都有負實部。3）當ζ

=0時：系統(tǒng)的極點是純虛的，實部為零。思考和疑問：能否將上面的總結(jié)作為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論？1,2n

ns

=

-zw

–w

z

2

-13.3二階系統(tǒng)的時域分析所以超調(diào)量是阻尼比ζ的函數(shù)，與無阻尼振蕩頻率

ωn的大小無關(guān)。ζ增大，σ%減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比ζ取在0.4-0.8之間,相應的超調(diào)量25%-2.5%。σ%與ζ

的關(guān)系曲線n

se-z

wn

t1-z2sin(

1-z2

w

t

+b)￡

0.05或0.023.3二階系統(tǒng)的時域分析調(diào)節(jié)時間ts根據(jù)定義：不易求出ts，但可得出ωnts

與

ζ

的關(guān)系曲線調(diào)節(jié)時間不連續(xù)的示意圖ζ

值的微小變化可引起調(diào)節(jié)時間ts顯著的變化。3.3二階系統(tǒng)的時域分析s

(

s

+

34

.5)G

(

s

)

=5

K

A3.3二階系統(tǒng)的時域分析設系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù),試計算放大器增益KA=200時，系統(tǒng)輸出響應的動態(tài)性能指標。當

KA增大到1500時或減小到KA=13.5，這時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標如何?已知單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為：例3.3.1解

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:AG(s)

5KF

(s)

==

A

1+

G(s)

s2

+

34.5s

+

5K34.5n

AnnA2

5K2ww=

5K2w

z

=

34.5

z

=

34.5

=1000Annnn2wK

=

200,\

F

(s)

==

34.5s2

+34.5s

+1000\

w

2

=1000，2zw\w

=31.6(弧度/秒),z

=34.5

=0.5453.3二階系統(tǒng)的時域分析則根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算公式,可以求得:2pndtzw2p2pw1-z

2w

n

1

-

z-

ln

0.05 1

-

z

2ts

?s

%

=

e

-pz

/·100%

=

13%t

w

1

-

z

2t

=

p

=0.12(秒)=0.183(秒)N

=

s

=

s n

=0.72(次)w

=

w

1-z

2d

nKA

=1500時,w

n

=86.2(弧度/秒);z

=0.21

2n

nTT1

=

w

(z

-

z

2

-1),

1

=

w

(z

+

z

2

-1)ts

?3T1

=1.46(秒),3.3二階系統(tǒng)的時域分析\

tp

=

0.037(秒),

ts

=

0.174(秒),s

%

=

52.7%,

N

=

2.34(次)由此可見,KA越大,ζ越小,ωn越大,tp越小,σ%越大,而調(diào)節(jié)時間ts無多大變化。K

A

=

13.5時,

w

n

=

8.22(弧度/

秒),

z

=

2.1系統(tǒng)工作在過阻尼狀態(tài),峰值時間,超調(diào)量和振蕩次數(shù)不存在,而調(diào)節(jié)時間可將二階系統(tǒng)近似為大時間常數(shù)T的一階系統(tǒng)來估計。3.3二階系統(tǒng)的時域分析0.5122.53000.20.40.60.811.21.41.6Step

Response1.5Time

(sec)AmplitudeG1,Ka=13.5G2,Ka=200G3,

Ka=1500z

=0.2(KA

=1500)z

=0.545(KA

=200)Az

=2.1(K

=13.5)wntqc

(t)即比例調(diào)節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，可采用比例－微分控制或速度反饋控制，即對系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié)調(diào)節(jié)時間比前兩種KA大得多,雖然響應無超調(diào),但過渡過程緩慢,曲線如下：3.3二階系統(tǒng)的時域分析KA增大，tp減小，tr減小，可以提高響應的快速性，但超調(diào)量也隨之增加，僅靠調(diào)節(jié)放大器的增益，例3.3.2如圖所示的系統(tǒng)，施加8.9N階躍力后，記錄時間響應如圖，試求該系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性剛度K

和粘性阻尼系數(shù)D的數(shù)值。質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)階躍響應曲線3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.3二階系統(tǒng)的時域分析解dy(t)dy2

(t)dtdt

2dy2

(t)

dy(t)Mdt

2

dtfi

(t)

-

ky(t)

-

D=

M+

D+

ky(t)

=

fi

(t)i(Ms2

+

Ds

+

k)Y

(s)

=

F

(s)12nnn1

kk

MkwY

(s)

=

1==F

(s)

Ms2

+

Ds

+

kis2

+

2zw

+w

2s2

+

D

s

+

kM

M0.03=

0.0029-

zp

1-z

2M

=

ep根據(jù)牛頓第二定律：進行拉氏變換，并整理得：解得

z

=

0.6pn2 1

-

0.62t

1

-z

2w

=

p

=

p

=

1.96(rad

/

s)3.3二階系統(tǒng)的時域分析1

18.9iY

(s)

=F

(s)

=Ms2

+

Ds

+

k

Ms2

+

Ds

+

k

s18.9

=

8.9

=

0.03(m)s

kMs2

+

Ds

+

k0.03k

=

8.9

=

297(N

/

m)1.962n=

77.3(kg)k

=

297M

=w

2D

=

2zw

n

M

=

2

·

0.6

·1.96

·

77.3

=

181.8(N m

/

s)由終值定理得：y(￥

)

=

lim

sY

(s)

=

lim

ssfi

0

sfi

03.3二階系統(tǒng)的時域分析三、二階系統(tǒng)（過阻尼）動態(tài)性能分析。當ζ

≥1時，系統(tǒng)將沒有σ%，故也沒有tp，但有：2nt

dw1

+

0

.

6

z

+

0

.

2

z=nt

rw1

+

1

.5z

+

z

2=ζ

≥1時的特征多項式

2

4

T

,

(

2

%)

3T1

,

(

5

%)=ts1211n

ns

2TT+

2zw

s

+

w

2=

(

s

+)(

s

+

)若T1≥5T2，則：若ζ

=1(T1=T2),st

=4.75T1

1T1=

-(z

+

z

2

-1)wn

1

=

-(z

-

z

2

-1)wnT2(

(2n2nn

nw1tts

+1

ws

+

zF

(s)==, z

=s2

+

2zw

s

+w

2z(s2

+

2zw

s

+w

2

)n

n()211nn2nsw

2w

2s

1Y

(s)=F

(s)=

n

+

n

s

z

s2

+

2zw

s

+w

2

ss

+

2zw

s

+wn

zzY

(s)=

Y

(s)+

s

Y

(s)3.3

二階系統(tǒng)的時域分析5）帶有零點的二階系統(tǒng)響應具有一個附加零點的閉環(huán)二階系統(tǒng)為y(t)1z1zzy

(t)

=

y(t)

+-1L

(sY

(s))

=

y(t)

+3.3

二階系統(tǒng)的時域分析jw0

snw

1-z

2nzwnwzljbz1-z

2b

=

arctan2wn

1-zj

=

arctanz

-zw

n1nnl

=

z

-

p=

(z

-zw

)2

+

(w1-z

2

)23.3

二階系統(tǒng)的時域分析nnttll2eeww-z-z=1-cosj

sin

(wd

+

b

)+

sin

j

cos

(wd

t

+

b

)z1-z

2=1-sin

(w

dt

+

b

+j

)1-z

2(

)(

)1sinzddzcos

w

te-zwnte-zw

nte-zw

nt=1-zwn

sin

(wd

t

+

b

)-wd

cos

(wd

t

+

b

)zsin

(wd

+

b

)+1-z

21-z

2w

1-z

2

n

ll

z

-zw=1-w

t

+

b

-+

b1-z

2

n

z

ly

(t)

=

y(t)

+

1

y(t)()(

)()2

n

d

pdd

p0

ppzpddzlztge

dtl

zwsin

w

tw

cos

w

tzww-zw

nt

p-zw

nt

p=

0+b

+j

-+bt

=

01-z2e

1-z21-z21-z

w

t

+b

+j

==tgb\

t

=

p

-j

；t

=

p

；3.3

二階系統(tǒng)的時域分析峰值時間dyz

(tp3.3

二階系統(tǒng)的時域分析超調(diào)量超調(diào)有增加的趨勢。

表示零點與極點距離虛軸的距離比；零點離虛軸越近，超調(diào)量越大。調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間增加或減小，取決于l/z比值的大小22przj-zp2-1-z1-zy

(t

-

y

(￥

)

es

%

==

1-

2r

+e

·100%

s

y

(￥

)

zr

=zwn1nt

=

4

+ln

l

s

z

zw

3.3

二階系統(tǒng)的時域分析j0nw

2s(s

+

2xwn

)E(s)

n

nn

tw

2s(s

+

2zw

)G

(s)=

n

=

n

w

2

k

s

s(s

+

2zw

+

w

2

k

)1

+

n

t

s(s

+

2zw

n

)3.3二階系統(tǒng)的時域分析例3.3.3試分析速度反饋校正對系統(tǒng)性能的影響。解

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為w

2圖:是采用了速度反饋控制的二階系統(tǒng)。

R(s)C(s)-

-kt

sn

t

nkss(\

G(s)

=+1)2zw

+

k

w

2w

n(

2z

+

k

tw

n

)2z3.3二階系統(tǒng)的時域分析t式中k為速度反饋系數(shù)令：

k

=為系統(tǒng)的開環(huán)增益(不引入速度反饋開環(huán)增益

k

=

w

n

)212n

n

tnt

n

nn

t

n2nG(s)w

2w

2w

2閉環(huán)傳遞函數(shù)：F

(s)==

n

1+G(s)s2

+

2zw

s

+w

2k

s

+w

2=

n

=

n

s2

+

2zw

s

+w

2s

+

2(z

+

w

k

)w

s

+w2t

t

n等效阻尼比：z

=z

+1

k

w3.3二階系統(tǒng)的時域分析顯然z

t

>z

，所以速度反饋同樣可以增大系統(tǒng)的阻尼比,而不改變無阻尼振蕩頻率ωn,因此,速度反饋可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。在應用速度反饋校正時,應適當增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益,以補償速度反饋引起的開環(huán)增益減小,同時適當選擇速度反饋系數(shù)Kt,使阻尼比ζt增至適當數(shù)值,以減小系統(tǒng)的超調(diào)量,提高系統(tǒng)的響應速度,使系統(tǒng)滿足各項性能

指標的要求。3.4

高階系統(tǒng)的時域分析定義：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。通常把三階以上的系統(tǒng)就稱為高階系統(tǒng)。由于求高階系統(tǒng)的時間響應很是困難，所以通?？偸菍⒍鄶?shù)高階系統(tǒng)化為一、二階系統(tǒng)加以分析。響應曲線的類型（振蕩情況）由閉環(huán)極點的性質(zhì)所決定。動態(tài)響應曲線的形狀由閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點共同決定。閉環(huán)極點離虛軸愈近，其對系統(tǒng)的影響愈大。c(t)r(t)10ttc(t)01r(t)c(t)t01r(t)3.4

高階系統(tǒng)的時域分析一般的高階機電系統(tǒng)可以分解成若干一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的疊加。其瞬態(tài)響應即是由這些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應函數(shù)疊加組成。傳遞函數(shù)可表示為：01U

(s)

sn

+

aY

(s)

k

(sm

+

bG(s)

=n-1=

m-1

1

0

sn-1

++

a

s

+

asm-1

++

b

s

+

b

)qrjk

nknkj

=1k

=1k

(sm

+

bG(s)=

m-1

1

0

m

￡

n

,

q

+

2r

=

n(s

+

p

)(s2

+

2z

ws

+w

2

)sm-1

++

b

s

+

b

)3.4

高階系統(tǒng)的時域分析設輸入為單位階躍，則qrjk

nknkj

=1

k

=1如果其極點互不相同：Y

(s)

=

G(s)U

(s)

=

m-1

1

0

s

(s

+

p

)(s2

+z

ws

+w

2

)k

(sm

+

b sm-1

++

b

s

+

b

)qrk

nk

nkkaak

=1b

(s

+z

w

)

+

g

(w

1-z

2

)Y

(s)

=s

j

=1

(s

+

p

j

)(s

+z

w

)2

+

(w1-z

2

)2+

j

+

k

k

nk

k

nk

k

經(jīng)拉氏反變換，得：22jk

nkqjrk

(

nk

k

)

k

(

nk

k

)ea

eb

cos

w-

p

tj

=1-z

w

ty(t)

=

a

++1-z

t

+

g

sin

w1-z

tk

=1j0j

j

j0

0

0j03.4高階系統(tǒng)的時域分析3.4高階系統(tǒng)的時域分析討論如下幾個問題

1．響應分量的個數(shù)？2．什么條件下，當t趨于無窮時，輸出值趨于常數(shù)？3．什么條件下，當t趨于無窮時，輸出值在一定范圍內(nèi)變化，即臨界穩(wěn)定？4．系統(tǒng)輸出振蕩由什么引起的？5．當系統(tǒng)穩(wěn)定時，什么樣的分量對輸出作用時間長？2

2jk

nkqjrk

(

nk

k

)

k

(

nk

k

)ea

eb

cos

w-

p

tj

=1-z

w

tk

=1y(t)

=

a

++1-z

t

+

g

sin

w

1-z

t3.4

高階系統(tǒng)的時域分析1．q+r+1特征根的實部都小于零，即根在s平面的左半平面。所有實數(shù)極點都小于零，復數(shù)極點的實部小于等于零。系統(tǒng)輸出的震蕩由閉環(huán)傳函復數(shù)的極點造成，實軸上的極點不引起震蕩。z高階系統(tǒng)暫態(tài)響應各分量衰減的快慢由-pj和ζk、ωnk決定，即由閉環(huán)極點在S平面左半邊離虛軸的距離決定。當閉環(huán)極點離虛軸越近，其作用時間越長（主導極點）。當所有極點均具有負實部時，除常數(shù)a

其他各項隨著時間t

fi

￥

而衰減為零。3.4

高階系統(tǒng)的時域分析4(s

+1)(s

+10)10(100

s

+1)G

(s)=

101

103(s

+1)(s

+10)G

(s)

=11(s

+1)G

(s)

=102G

(s)

=(s

+10)解-t1

1(

-

)

=1-

e1-1-11y

(t)

=

L

(G1

(s)

s

)

=

L2s s

+11

1

1y

(t)-10t-1

-1)

=1-

es s

+10=

L

(G2

(s)

s

)

=

L

(

-例3.3.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，計算系統(tǒng)的單位階躍響應。9103.4

高階系統(tǒng)的時域分析1-1=1-y3

(t)

==

L

(909909s10e

-

e=1-y4

(t)

==

L

-1

(1-1L

(G3

(s)

)s1

-

10

/

9

+

1/

9

)s s

+1

s

+10e-t

+

1

e-10t9L

-1

(G

(s)

1)4

s-

10

/

909

-

899

/

909)s

+1

s

+10-t

899

-10t01245600.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step

Response3Time

(sec)AmplitudeG1G2G3G43.4

高階系統(tǒng)的時域分析①：G1與G3比較，-1起主要作用（主導極點）。②：G2與G4比較，極點-1與零點-1.01 相接近，零點對極點起到動態(tài)響應抵消作用，使遠處的極點作用發(fā)揮出來（偶極子）。③：G3與G4比較，可見零點起到微分作用，起加快響應速度的目的。④：G3與G4比較，傳遞函數(shù)的穩(wěn)定零點不影響系統(tǒng)動態(tài)響應分量的個數(shù)，也不影響它們的穩(wěn)定性。零點僅影響各分量系數(shù)大小正負。⑤：一階環(huán)節(jié)起慣性滯后作用，離原點、虛軸越近慣性滯后作用越強。3.4

高階系統(tǒng)的時域分析主導極點：在高階系統(tǒng)中某一極點或一對共軛復數(shù)極點距虛軸的距離是其它極點距虛軸距離的1/5或更小，并且附近沒有閉環(huán)零點，稱該極點（對）為該高階系統(tǒng)的主導極點。①用主導極點來估計高階系統(tǒng)的性能指標②導出高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似表達式偶極子：dipole指相距很近的符號相反的一對電荷或“磁荷”。這里指相距很近的一對零、極點。對系統(tǒng)的影響很小。控制系統(tǒng)設計流程系統(tǒng)頻率特性LF微分方程t（時域）傳遞函數(shù)s（復域）w（頻域）F

-1L-1s

=

jwjw

=s系統(tǒng)頻率特性LF“三域”模型及其相互關(guān)系微分方程t（時域）傳遞函數(shù)s（復域）w（頻域）F

-1L-1s

=

jwjw

=s3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解前一章我們討論了系統(tǒng)的數(shù)學模型：傳遞函數(shù)與傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達式本節(jié)討論在狀態(tài)空間表達式描述下系統(tǒng)的響應問題。即已知系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)的初始狀態(tài)，如何求解系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出量。0

y

(

t

)

=

C

x

(

t

)

+

D

u

(

t

)

x

(0

)

=

x

x

(

t

)

=

A

x

(

t

)

+

B

u

(

t

)fi0x

,u

(t

)x(t)

=

?y(t)

=

?3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解x(0)

=

x0x(t)

=

Ax(t)

+

Bu(t)0x(0)

=

xx(t)

=

Ax(t)x(0)

=

0x(t)

=

Ax(t)

+

Bu(t)首先求解齊次方程疊加原理3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解設：

x(t)

=

b

+

b

t

+

b

t

2

+0

1

20

1

2=

Ax(t)

=

A(b

+

b

t

+

b

t

2

+)則：x(t)

=

b

+

2b

t

+

3b

t

2

+1

2

3比較系數(shù)：032211

0

213!1212A

bA

b

,

b=

Ab

=Ab

=b

=

Ab

,

b

=00

1

2=

x0

b0

=

xt

=0t

=0又：x(t)

=

b

+

b

t

+

b

t

2

+0133

30

02

20

3112

3!AtA

b

t

+x(t)

=

b0

+

Ab0t

+A

b

t

+

=

e

bx(t)

=

e

At

x0冪級數(shù)法e

At1

Ak

t

k2!

k

!k

=0

k

!=

I

+

At

+

1

A2t

2

+...

+

1

Ak

t

k

+....

=

￥狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：矩陣指數(shù)函數(shù)

e

At由齊次方程的自由解：x(t)

=

e

At

x

可知，由于

e

At的存在，只要已知x00，任一時刻的x(t)都會變成已知。3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解即從時間的角度而言，e

At

意味著它能夠使得狀態(tài)向量隨著時間的推移，不斷的在狀態(tài)空間中做轉(zhuǎn)移，所以稱e

At為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，通常記為F

(t)3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（矩陣指數(shù)函數(shù)）的基本性質(zhì)2）

e

A(t

-t

)

=

e

A0

=

I

F

(t

-

t

)

=

I[F

(t)]-1

=

F

(-t)=

e

A(-t

)3）[e

At

]-1

=

e-

At4）

當且僅當AB=BA時，有

e

AteBt

=

e(

A+B

)t當AB

?

BA，e

AteBt

?

e(

A+B)t5）d

eAt

=

AeAt

=

eAt

A

F

(t)

=

AF

(t)

=F

(t)Adt1）e

At

e

At

=

e

A(t

+t)F

(t)F

(t)

=

F

(t

+t)n

A

=

L

=

l

l1neel

tl1te

At

=

F

(t)

=

幾個特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)：

1）對角陣3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2）約當塊012!1

01

00

0(n

-1)!11

t

2tt

n

-2

t

n

-1

(n

-

2)!t11

t

0

0

0

0

0

0

l

l

1

0

0 0

l

1

0A

=

J

=

0

0

0

0

則：

e

Jt

=

F

(t

)

=

elt

3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3）模態(tài)陣A

s

w

s

=

-we

Atsin

w

t

=

F

(t

)

=

es

t

cos

w

tcos

w

t

-

sin

w

t￥￥(-1)i=0n(2n)!x2ncos

x

=n-1

(2n

-1)!x2n-13.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解sin

x

=

(-1)i=11）由e

At的定義或展開式直接計算e

At2!

k!=

I

+

At

+

1

A

2

t

2

+

+

1

Ak

t

k

+

2）變換矩陣A為約旦標準型（相似變換）L

=

T

-1

ATA單根時：e

At

=

Te

L

tT

-1A有重根時：J

=

T

-1

ATe

At

=

TeJtT

-1A有復根時：J

=

T

-1MTe

At

=

TeMtT

-13.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解矩陣指數(shù)函數(shù)的幾種計算方法解：

①求特征值，由det(lI

-

A)

=

0得：l1

=

l2

=

1,

l3

=

2ti，并組成變換矩陣T及T-11②求特征向量l1t1

=

At1

1

t

=

0

0

2t=

1

-1

3

0

t

=

0

1

20設A

=01

0

01

0，求e

At。1(采用變換矩陣法)3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例3.5.1l2t2

=

At2

l3t3

=

At3

0

0

1

0

0

T

-1

=

0

11

01

∴0

01

1

0 0

T

=

0

1-1

③求約當標準形0

1

0 0

J

=

T

-1

AT

=

0

10

02

ete

Jt0

2

t

=

00

④求e

AtAtJt

-10et

0

0

e0

et0

e

=Te

T

=

0

0e2t

0ete2t

-et3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解e

At=

F

(t)

=

L

-1

(sI

-

A)-1證：x(t)

=Ax(t)sX(s)

-

x(

0

)

=

AX(s)X(s)=(sI

-

A)-1x(

0

)x(t

)

=

L

-1

(sI

-

A)-1

x(0)e

At=

L

-1

(sI

-

A)-13.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3）利用拉氏變換法求e

At拉氏變換法0，求e

At。(采用拉氏變換法)0s

-

2

(sI

-

A)

=

解：21

0

0設A

=

0

1

0

1

2

s

-1

00

s

-1

00

-11100(sI

-

A)-1

=adj(sI

-

A)det(sI

-

A)