人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊3.3.2 第二課時 直線與拋物線的位置關系及其應用 課件（共35張PPT）

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第二課時直線與拋物線的位置關系及其應用

[學習目標]能用坐標方法解決一些與直線和拋物線的位置關系有關的簡單幾何問題．

必備知識自主探究

關鍵能力互動探究

課時作業(yè)鞏固提升

問題1類比直線與橢圓、雙曲線的位置關系，你認為應該研究哪些問題？

問題2怎樣判定直線與拋物線的位置關系？

問題3如何研究與拋物線弦的中點有關的問題？

[預習自測]

1．已知直線l與拋物線x2＝2py(p>0)只有一個公共點，則直線l與拋物線的位置關系為()

A．相交B．相離

C．相切D．相交或相切

解析：由題意可知直線l與拋物線相交或相切．如圖

D

C

3．已知拋物線C：y2＝x，直線l：y＝x－2，直線l與拋物線C交于A，B兩點，則|AB|＝________.

4．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝________.

0或1

直線與拋物線的位置關系

1．直線的斜率存在時

設直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.

(1)若k≠0，

當Δ>0時，直線與拋物線，有兩個交點；

當Δ＝0時，直線與拋物線，有一個交點；

當Δ0)．顯然，當m0時，直線與拋物線相交，有兩個交點．

[例1]求過點P(0,1)且與拋物線y2＝2x有且只有一個公共點的直線方程．

分析：在設直線方程時，要注意選擇形式，如果無法避免討論，要考慮全面．

一般地，點P在拋物線內，則過點P且和拋物線只有一個公共點的直線有一條；點P在拋物線上，則過點P且和拋物線只有一個公共點的直線有兩條；點P在拋物線外，則過點P且和拋物線只有一個公共點的直線有三條．因此，在求過點P且與拋物線只有一個公共點的直線方程時要考慮周全，不要出現(xiàn)漏解的情況．另外，在求直線與拋物線的位置關系時，對消元后的方程不要忘記討論二次項系數(shù)為零的情況．

1.過點(－1,1)且與拋物線y＝x2＋2有一個公共點的直線方程為__________________________________．

拋物線的弦長問題

2.已知點P(1，m)是拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且|PF|＝2，過焦點F的直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若|AB|＝8，求直線l的方程．

與拋物線弦的中點有關的問題

由直線與拋物線相交，利用列出k的方程求解．另由于該類問題與直線斜率及弦中點坐標有關，故可利用求k.

根與系數(shù)的關系

點差法

[例3]已知拋物線y2＝2x，過點Q(2,1)作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點的軌跡方程．

分析：思路一：利用點差法，設點作差，要考慮直線的斜率不存在的情況；

思路二：可設出直線的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及中點坐標公式，消參后即可得軌跡方程，同樣要考慮斜率不存在的情況．

解決中點弦問題的方法

(1)解決中點弦問題的基本方法是點差法，因為用點差法求軌跡方程時用到了斜率，所以必須驗證斜率不存在的情況．(2)直線與拋物線相交于兩點，隱含著條件Δ>0，求y1＋y2及x1＋x2是為利用中點坐標公式做準備．

3.過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線的方程．

1．知識清單：(1)直線與拋物線的位置關系．

(2)拋物線的弦長問題