數(shù)值計算中的基本原則

數(shù)值計算中的基本原則第1頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值計算中的基本原則(1)避免絕對值小的數(shù)做除數(shù);(2)避免兩相近數(shù)相減;(3)防止大數(shù)“吃”小數(shù)現(xiàn)象a=109，b=9，設(shè)想在8位浮點數(shù)系中相加a+b=1.0000000×109+0.000000009×109由于只保留8位有效數(shù)，數(shù)據(jù)09被舍去,實際加法操作a+b計算結(jié)果是將a的數(shù)據(jù)作為計算結(jié)果賦值給a+b.2/18第2頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)盡量減少計算工作量(乘、除法次數(shù))例計算

P(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4的值

P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))一個應(yīng)用:2進制數(shù)轉(zhuǎn)換為10進制數(shù)

(11101110)2=27+26+25+0+23+22+2+0=((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=2383/18第3頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月求多項式值的秦九韶算法

輸入

x；a0，a1，…，an

S←a0；u←1k

從1到n循環(huán)u←x×uS←S+ak×u輸出數(shù)據(jù)S；結(jié)束輸入x；a0，a1，…，an

S←ank

從

n

到1

循環(huán)S←ak－1+x×S輸出數(shù)據(jù)S；結(jié)束秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2x2+······+anxn4/18第4頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例1計算

(

n=0,1,···,20

)5/18第5頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月初值：I0=1–e

–1≈0.63212055882856

n=20時，S20=-30.19239488558378遞推公式:In=1–nIn-1

(I0=1-e-1)S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0;forn=2:20S(n)=1-n*S(n-1)end實際遞推:Sn=1-nSn-1|e(S0)|=|S0–I0|<10-15有誤！6/18第6頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月In=1-

nIn-1Sn-In=-

n(Sn-1-

In-1)e(Sn)=–ne(Sn-1)=······=(n!)(–1)ne(S0)新算法:In-1=(1-In)/nS(30)=1/31forn=30:-1:2S(n-1)=(1-S(n))/n;endS0=1-S(1),S(1:21)初值誤差在算法執(zhí)行過程中不斷增大,這種算法稱為數(shù)值不穩(wěn)定算法。7/18Sn-In=–(Sn-1-

In-1)/n第7頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

在算法執(zhí)行過程中,舍入誤差對計算結(jié)果影響不大的一類算法被稱為數(shù)值穩(wěn)定算法;否則稱為不穩(wěn)定算法.初始誤差在算法執(zhí)行過程中不斷減小,這種算法稱為數(shù)值穩(wěn)定算法。|e(S20)|=|S20-I20|=|(1-S21/21)-(1-I21/21)|=|S21-I21|/21=·······=|S30-I30|/(21·22·23·····30)8/18第8頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月

r

d

例2.水中浮球問題

有一半徑r=10cm的球體,密度

=0.638.球體浸入水中后,浮出水面的高度h是多少？

設(shè)球體浸入水中的深度

d.根據(jù)阿基米德定律,物體排開水的質(zhì)量就是水對物體的浮力。整理得:d3–3rd2+4r3

=09/18第9頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月由

=0.638,r=10.代入,得d3–30d2+2552=0令

f(x)=x3–30x2+2552,函數(shù)圖形如下所示求解方程f(x)=0,即是求函數(shù)f(x)的零點.f(x)的零點所在區(qū)間為[10，15]10/18第10頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步:對根進行隔離,找出隔根區(qū)間,或在隔根區(qū)間內(nèi)確定一個解的近似值x0;設(shè)f(x)=0的根為

x*,通過迭代計算,產(chǎn)生序列:

x0

x1

x2

···

xn·········用數(shù)值方法求非線性方程的根,分兩步進行:第二步:逐步逼近,利用解的近似值x0,或隔根區(qū)間通過迭代算法得到更精確的近似解.只須11/18第11頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.分期付款購一套30萬元的住房.方案是首付7萬,以后每月付1500元,15年后付清.這種付款方式實際上是貸款購房,問這樣貸款的利息是多少?分析:設(shè)代款總額為A,每月付款P,銀行利率為x,貸款年限為y=m/12.則有A(1+x)m=P+P(1+x)+P(1+x)2+···+P(1+x)m-112/18第12頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月令則

f(0.001)=2.4698e+005,f(0.002)=2.2655e+005

f(0.0015)=2.3647e+005,f(0.00175)=2.3144e+005x

=0.0018(年利息約0.0218)13/18第13頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月已知方程

f(x)=0有一隔根區(qū)間[a,b],且f(x)滿足f(a)·f(b)<0,則先將[a,b]等分為兩個小區(qū)間,判斷根屬于哪個小區(qū)間,舍去無根區(qū)間保留有根區(qū)間[a1,b1];二分法迭代把區(qū)間[a1,b1]一分為二,進一步判斷根屬于哪個更小的區(qū)間[a2,b2],如此不斷二分以縮小隔根區(qū)間長度.14/18第14頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月[a,b]x0=0.5(a+b)[a1,b1]=[a,x0][a1,b1]=[x0,b]x1=0.5(a1+b1)f(a1)f(b1)<0已知f(x)=0在[a,b]內(nèi)有一根,且f(a)f(b)<0(1)計算:x00.5(a+b),y0f(x0),y1f(a)

判斷,若y0=0,則x0是根,否則轉(zhuǎn)下一步;(2)判斷,若y0·y1<0,則a1a,b1

x0

否則

a1x0,b1b,y1

y015/18第15頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月二分法迭代將得到一系列隔根區(qū)間

定理2.2

設(shè)x*是f(x)=0在[a,b]內(nèi)的唯一根,且

f(a)·f(b)<0,則二分法計算過程中,各隔根區(qū)間的中點數(shù)列性質(zhì):1.f(an)·f(bn)<0;2.bn–

an=(b–a)/2n滿足:|xn–x*|≤(b–a)/2n+116/18第16頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月例4

用二分法求方程

在區(qū)間[0,1]內(nèi)的根,要求誤差不超過2-5.x=-1:.5:2;y=exp(-x)-sin(pi*x/2);plot(x,y)grid圖形顯示,有一個點介于0和1之間.顯然f(0)·f(1)<0,17/18解:令

,

繪圖如下第17頁，課件共18頁，創(chuàng)作于2023年2月f=inline('exp(-x)-sin(pi*x./2)');a=0;b=1;er=b-a;ya=f(a);k