數學物理方程 特征線法

數學物理方程特征線法第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月Methodofcharacteristics一種基于特征理論的求解雙曲型偏微分方程組的似方法。它產生較早，19世紀末已經有效地為人們所用。電子計算機出現以后，又得到了進一步的發(fā)展，在一維不定常流和二維定常流等問題中得到了廣泛的用。

特征線法也是求解偏微分方程的一種基本方法。其實質是沿偏微分方程的特征線積分以使方程的形式簡化，從而使其求解稱為可能。它不僅適用于線性偏微分方程，而且也是求解非線性方程的一種有效方法。第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月一、特征線法

結合一些具體的定解問題的求解，說明特征線方法的基本思想和求解方法。第一節(jié)、一階偏微分方程特征線法

例1求解線性方法Cauchy問題

解

方程（1）的左端是的一階偏導數的線性組合。特征線方法的基本思想就是將其轉化為關于t的全導數。在這條直線上，即，在這個直線上，上述定解問題轉化為第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月解之，得又，則此解法關鍵之處是找到直線，偏微分方程轉化為常微分方程。直線稱為一階偏微分方程（1）的特征線第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月特征線是方程的解，方程稱為（1）的特征方程，其解就是（1）的特征線。沿一階偏微分方程的特征線將方程化為常微分方程，便是特征線法的基本思想。對定解問題（1）（2）也可以用變量代換方法求解。具體做法是，做變換則第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月即代入有所以即對兩邊積分，可得其中，為一個可微函數。由第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月由方程（2）得即所以第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1考慮下面一階線性微分方程注1給出例1求解方法的一個幾何解釋。在該例中，使用了參數其中、和、均為自變量、的函數。方程稱為(4)式的特征方程，其積分曲線稱為(4)式的特征曲線。c，即為特征線的初始值。當參數在軸滑動時，(3)式的解曲線就織成了(1)式--(2)式的解曲面。為了避免和常數c混淆，下面用變量代替參數c。請記?。鹤兓喈斢谠谳S上滑動。第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2求解線性方法柯西問題解方程(6)式的特征方程為而過點的特征線就是下面問題的解解之可得。沿此特征線原定解問題(6)-(7)簡化為第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月解出最后，由特征線方程易得該問題的解為常數(8)式中便得(6)式-(7)式的解為將其代入到第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

練習求下列Cauchy問題的解

解第一步求特征線。特征線方程的解為

第二步化偏微分方程為常微分問題并求解。令則第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月則這個常微分方程初值問題的解為又所以第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月下面考慮一階擬線性方程，即一階導數的系數與未知函數一階擬線性方程柯西問題的一般形式為有關。第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月方程(9)式有一個很直觀的幾何解釋，在的法對曲面上任一點三維空間中，(9)式的解可視為該空間中的一曲面的曲面在該點向量為而在曲面上，過點的曲線在點的切向量為。顯然，向量與在點相互垂直。如記向量則方程(9)式恰好表示向量與在點處相互垂直。因此，在曲面第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)、一維波動方程的特征線法考慮弦振動方程的Cauchy問題

這里是無界問題，可以用積分變換求解，下用特征線求解。

特征線族即可得第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

（3）稱為特征方程

做變量代換則第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月則（1）式變?yōu)榉e分此方程，可得其中f、g是兩個任意函數，將變量還原成x和t得由方程的（2）式，可得第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月對上面第二式兩邊積分聯立（A）（B）兩式，可得所以第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解例1解第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第23