2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第4節(jié)：冪函數(shù)與二次函數(shù)（學(xué)生版）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第4節(jié)二次函數(shù)性質(zhì)的再研究與幕函數(shù)

1

考試要求L了解嘉函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)V=X,?=/,歹=》3,夕=1的圖

X

像，了解它們的變化情況；2.理解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、

不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.

□知識診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

I]知識梳理

1晶函數(shù)

(1)基函數(shù)的定義

如果一個函數(shù)，底數(shù)是自變量x,指數(shù)是常量a,即歹=y，這樣的函數(shù)稱為嘉函

數(shù).

(2)常見的五種幕函數(shù)的圖像

(3)基函數(shù)的性質(zhì)

①基函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a>0時，毒函數(shù)的圖像都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時，基函數(shù)的圖像都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：=加+fex+c(aW0).

頂點(diǎn)式：J(x)=a(x—m)2+n(a^0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(相，

零點(diǎn)式：f[x)=G(X—XI)(X—X2)(tZ0),X\,X2為7(x)的零點(diǎn).

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(2)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

y=ax2+hx+cy=ax2+bx+c

函數(shù)

（心0）（。＜0）

1

圖像K

(拋物線)工/o|i\X

定義域R

4ac—b2.]f4ac—b2

值域，4°°

L4aJI4aJ

b

對稱軸x=一~

~2a

頂點(diǎn)

\^2a-4aJ

坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)b=0時是偶函數(shù)，當(dāng)bWO時是非奇非偶函數(shù)

在卜8T在1一8'一/上是增函數(shù)；

上是減函數(shù)；

單調(diào)性

在卜卷+8］上是增函數(shù)在卜*+8］上是減函數(shù)

|常用結(jié)論

L二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

2.若?/0=加+加+。(。/0),則當(dāng)匕<0’時，恒有7(x)>0；當(dāng)時，恒有人x)<0.

3.(1)嘉函數(shù)的圖像一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限；

(2)塞函數(shù)的圖像過定點(diǎn)(1,1),如果霖函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是

原點(diǎn).

M診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“義”)

1

(1)函數(shù)少=2/是塞函數(shù).()

(2)當(dāng)Gt>0時，易函數(shù)歹=工。在(0,十8)上是增函數(shù).()

(3)二次函數(shù)夕=改2+bx+c(aW0)的兩個零點(diǎn)可以確定函數(shù)的解析式.()

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(4)二次函數(shù)歹=ax2+bx+c(xe[a,a)的最值一定是幽~—.()

4a

2.(2021?全國甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A/x)=-xB;/(x)=(iJ

C./(x)=x2D財(cái)={

3.(易錯題)若函數(shù)y=/wx2+x+2在[3,+8)上是減函數(shù)，則加的取值范圍是

4.(易錯題)已知幕函數(shù)/(X)=x[,若/(a+1)</(10—2a),則a的取值范圍是.

5.(2018?上海卷)已知awl''2,2'‘'J.若基函數(shù)/(x)=K為奇函

數(shù)，且在(0,+8)上遞減，則a=.

6.已知函數(shù),/(》)=-2/+加(:+3(0應(yīng)相或4,OWxWl)的最大值為4,則帆的值為

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一募函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1.若幕函數(shù)yfx)的圖像過點(diǎn)(4,2),則基函數(shù)y=/(x)的大致圖像是()

2.若嘉函數(shù)/(x)=(2b—l)W-ioa+23(a,bez)為偶函數(shù)，且/(X)在(0,+8)上是減函

數(shù)，則a，b的值分別為()

A.2,1B.4,1

C.5,1D.6,1

3.如圖是①y=x"；?y=xb；③在第一象限的圖像，則a,h,c的大小關(guān)系為

()

A.c<b<a

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B.a<b<c

C.h<c<a

D.a<c<h

4.(2021?鄭州質(zhì)檢)基函數(shù)Hx)=(一一3〃?+3)的的圖像關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)m=

11

5.若3+1廠尸(3-24廠7則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式

例1已知二次函數(shù)/(x)滿足/(2)=-1,/(-1)=一1,且/(x)的最大值是8,試確定

該二次函數(shù)的解析式.

訓(xùn)練1(1)已知二次函數(shù)_/(x)=ax2+bx+l(a,bGR),xGR,若函數(shù)外)的最小值

為/(—1)=0,則/(x)=.

(2)已知二次函數(shù)人x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,3),在x軸上截得的線段長為2,并且對任

意xdR,都有人2—x)=/(2+x),則y(x)=.

考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

角度1二次函數(shù)的圖像

例2⑴二次函數(shù)尸af+bx+c的圖像如圖所示則下列結(jié)論正確的是(填序

號）?

①加>4ac；②c>0；③ac>0；@b<0；⑤a—b+c<0.

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(2)設(shè)函數(shù)八x)=x2+x+a(a>0),若人根)<0,則()

M

A:/(/n+l)^OB:/(/+1)^0

C:/(/M+1)>0D:/(/M+1)<0

角度2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

例3(1)函數(shù)義X)="2+(Q—3)X+1在區(qū)間[-1,+8)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.[-3,0)B.(—8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

(2)(2021?西安模擬)已知危)="一2x(0WxW1),求危)的最小值.

角度3二次函數(shù)中的恒成立問題

例4(1)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=2ax2+2x—3在1]上恒小于零，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是.

(2)函數(shù)/)=0+3談一2(A1),若在區(qū)間[-1,1]上兀。W8恒成立,則實(shí)數(shù)“的

最大值為.

訓(xùn)練2(1)(2021?長春五校聯(lián)考)已知二次函數(shù)/(x)滿足/(3+x)=/(3—x),若/(x)在區(qū)

間[3,+8)上單調(diào)遞減，且/(⑼》/(0)恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—8,0]

B.[0,6]

C.[6,+°o)

D.(—8,0]U[6,+°o)

(2)(2022?泰安調(diào)研)當(dāng)xe(0,十8)時，ar2—3x+a》o恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是.

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(3)設(shè)函數(shù)八x)=x2—2x+2,%e[r,z+1],reR,求函數(shù)y(x)的最小值.

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

A級基礎(chǔ)鞏固

1.若/（X）是哥函數(shù)，且滿足人*=3,則.后J=（）

/（2）

A.3B.-3C.！D.J

3

2.若函數(shù)_/（x）=（小一加一1）丁是幕函數(shù)，且其圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，則加）（）

A.是偶函數(shù)

B.是定義域內(nèi)的減函數(shù)

C.是定義域內(nèi)的增函數(shù)

D.在定義域內(nèi)沒有最小值

3.（2021?河南名校聯(lián)考）函數(shù)y=l一|%一/|的圖像大致是（）

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4.(2021?西安檢測)已知函數(shù)/(x)=-3,若4=/(0.6。-6),fe=/(0.6O'4),c=/(0.40-6),則

a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<c<b^.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

5.若二次函數(shù)歹=履2—以+2在區(qū)間［1,2］上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)左的取值范

圍是()

A.［2,+°°)B.(2,+00)

C.(—8,0)D.(-8,2)

6.塞函數(shù)歹=非，當(dāng)a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間［0,1］上它們的圖像是一組美麗的曲

線(如圖)，設(shè)點(diǎn)4(1,0),5(0,1),連接線段N5恰好被其中的兩個基函數(shù)y

=格的圖像三等分，即有3A/=MV=M4,那么4一；=()

A.OB.lC.~D.2

2

7.已知函數(shù)/3)=/+加工一1,若對于任意xW［加，m+1］,都有/(x)<0成立，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是.

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8.(2021?青島聯(lián)考)已知函數(shù)兀0=/—2*+63>1)的定義域和值域都為[1,a],則

h=.

9.設(shè)函數(shù)式》)="2—2》+2,對于滿足1VXV4的一切x的值都有則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

10.已知函數(shù)0)=ax2+/>x+l(a,b為實(shí)數(shù)，a#0,xER).

(1)若函數(shù)兀v)的圖像過點(diǎn)(一2,1),且方程人x)=0有且只有一個根，求兀V)的表達(dá)

式；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)xG[3,5]時，g(x)=/(x)—日是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)左的取值

范圍.

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11.已知二次函數(shù)危）滿足y（x+i）—Ax）=2x,且人0）=1.

⑴求/（X）的解析式；

（2）當(dāng)1,1]時，函數(shù)y=/（x）的圖像恒在函數(shù)y