2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第5節(jié)：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（學(xué)生版）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；2.理解有理指數(shù)嘉的含義，了解實(shí)數(shù)

指數(shù)嘉的意義，掌握嘉的運(yùn)算；3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函

數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,3,10二，!的指數(shù)函數(shù)的圖像；4.體會(huì)指數(shù)

23

函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

I知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

||知識(shí)梳理

1.根式的概念及性質(zhì)

（1）概念：式子仍叫作根式，其中〃叫作根指數(shù)，。叫作被開方數(shù).

（2）性質(zhì)：（％）"=&（。使獨(dú)有意義）；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，y/cf'=a,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，汨=

a,

同=，

[―a,a<0.

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)累

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是3=垣（。>0,m,“GN+,且〃>1）；正數(shù)的

m1

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是。一-=一（心0,m,〃GN+,且〃>1）；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等

于0;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

3.指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)：（abY=arb,,其中a>0,b>0,r,

sCR.

4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（1）概念：函數(shù)_y=a'（a>0,且aWl）叫作指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的

定義域是R,。是底數(shù).

第1頁(yè)共8頁(yè)

（2）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

a>\0<a<l

產(chǎn)Q\

圖像--尸1四1

定義域R

值域(0,+8)

過定點(diǎn)（0,1）,即x=0時(shí)，y=1

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，y>l；

性質(zhì)

當(dāng)x<0時(shí),0<”<1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1

在（一8,十8）上是增函數(shù)在（一8,十8）上是減函數(shù)

|常用結(jié)論

1.畫指數(shù)函數(shù)y=a@>0,且aWl）的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1,a）,（0,1）,

卜J]

2.指數(shù)函數(shù)〉=優(yōu)5>0,且aWl）的圖像和性質(zhì)跟。的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分

d>\與0《<1來研究.

3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)歹=出3>0,且aWl）的圖像越高，底數(shù)越大.

診斷自測(cè)

1.思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”）

（皿（—4）4=—4（）

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)幕。t可以理解為名個(gè)a相乘.（）

nn

（3）函數(shù)_y=2xr是指數(shù)函數(shù).（）

⑷函數(shù)y=/r（a>l）的值域是（0,+°°）.（）

2.（易錯(cuò)題）若函數(shù)八x）=（/—3）爐為指數(shù)函數(shù)，則。=.

3.（易錯(cuò)題）函數(shù)y=2g的值域是.

第2頁(yè)共8頁(yè)

4.函數(shù),Hx)=qx'+2(a>0且aWl)的圖像恒過定點(diǎn).

5.(2021?貴陽(yáng)一中月考)計(jì)算：日、卜3+84X^2-A/(-i

肌國(guó),c舟,

6.已知a=則a,b,c的大小關(guān)系是

〕|考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一指數(shù)器的運(yùn)算

8Ml+V^^+［（-2）*

1.計(jì)算:

12

2.［（0.0645）-25p-

p]-q（4aL）3

2

3.（202]?滄州七*交聯(lián)考）UJ-r（a>0,b>0）=.

（0.1）二（〃心-3）2

4.已知./)=3葉3'，/(b)=4,則/(2b)=.

考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

例1(1)已知實(shí)數(shù)a,8滿足等式2022〃=2023外下列等式一定不成立的是()

A.a=b=0B.a<6<0

C.0<a<bD.0<h<a

(2)若函數(shù)次x)=0—2|一b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

訓(xùn)練1(1)函數(shù)｛x)=a'f的圖像如圖所示，其中①b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的

是()

-101%

-1

A.a>l9b<0B.a>l,h>0

C.0<a<Lb>0D.0<a<l,b<0

⑵如果函數(shù)y=|3x—l|+加的圖像不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

第3頁(yè)共8頁(yè)

考點(diǎn)三解決與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題

角度1比較指數(shù)式的大小

例2(1)設(shè)。=0.6。6,/)=0.615,c=1.50-6,則a,b,c的大小關(guān)系是()

K.a<b<cB,a<c<b

C.b<a<cD.b<c<a

(2)若ea+nh^eb+n^a,下列結(jié)論一定成立的是()

A.a+6W0B.a—b》O

C.a-b^OD.a+b^Q

角度2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式

4*,x0,

例3(1)已知實(shí)數(shù)aWl,函數(shù)/(x)='''若/(l—a)=/(a—1),則a的值為

[2。3x<0,

(2)若2占1乏日,則函數(shù)歹=2,的值域是()

ri2]ri21

A.L8JB.L8」

i1]

clJD.[2,+8)

角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4(1)不等式4、-2"1+心0,對(duì)任意xGR都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(2)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)式x)=—1十一=，則關(guān)于t的不等式用2—2。+42?一

22X+1

1)<0的解集為.

41—1

訓(xùn)練2(1)(2021?鄭州調(diào)研)已知函數(shù)啟)=----,。=火2。3),6=人0.2。3),c=/(logo.32),

2X

則a,b,c的大小關(guān)系為()

\.c<b<aB,b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

第4頁(yè)共8頁(yè)

的值域是［0'9,則近幻的單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）若函數(shù)段）=

（3）函數(shù)y=1在區(qū)間［-3,2］上的值域是.

I分層訓(xùn)練■鞏固提升

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.若函數(shù)/（》）=r（4>0,且aWl）的圖像經(jīng)過O'則/（一1）=（）

A.lB.2C.y/3D.3

2.（2021?成都診斷）不論。為何值，函數(shù)y=（a—1）2"一彳恒過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐

標(biāo)是（）

3.（2022?哈爾濱質(zhì)檢）函數(shù)卜=4、-1伍>0,且。#1）的圖像可能是（）

曾08

4.（2020?天津卷）設(shè)a=3°7,b=GJ,c=logo,70.8,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.h<a<c

C.b<c<aT）.c<a<b

第5頁(yè)共8頁(yè)

5.(2021?衡水中學(xué)檢測(cè))當(dāng)xd(—8,—1］時(shí)，不等式(利2—加).平一2，<0恒成立，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-2,1)B.(-4,3)

C.(-3,4)D.(-l,2)

6.(2020?新高考山東卷)基本再生數(shù)Ho與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參

數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的

平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(f)=e"描述累計(jì)感染病

例數(shù)/(/)隨時(shí)間/(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與Ro,T近似滿足R)=l

有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段,

累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(In2^0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

2111

(弋b1)--a---b-

7.化簡(jiǎn)：--------：———(a>0,b>0)=.

\ja-h5

8.設(shè)偶函數(shù)驅(qū))="+4在(0,+8)上單調(diào)遞增,則g(a)與冢匕-1)的大小關(guān)系是

1件

9.已知函數(shù).危)='一⑵‘°Wx<0,的值域是［—8,1］,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

—x2+2x,0WxW4

第6頁(yè)共8頁(yè)

10.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)作)=清南為奇函數(shù).

(1)求b的值；

(2)任意ZGR,4/2-2。+八2P一女)＜。恒成立，求k的取值范圍.

11.已知函數(shù)/(x)=2、是奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)設(shè)g(x)=2，+i—a