新教材人教A版5.5.1第3課時(shí)二倍角的正弦余弦正切公式課件（37張）

第3課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切公式第五章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.能通過(guò)兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(邏輯推理)2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的結(jié)構(gòu)形式,并能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、求值.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]大雁是人們熟知的鳥(niǎo)類(lèi)之一,在遷徙時(shí)總是幾十只、數(shù)百只,甚至上千只匯集在一起,互相緊接著列隊(duì)而飛,古人稱(chēng)之為“雁陣”.“雁陣”由有經(jīng)驗(yàn)的“頭雁”帶領(lǐng),加速飛行時(shí),隊(duì)伍排成“人”字形,一旦減速,隊(duì)伍又由“人”字形換成“一”字形.當(dāng)飛在前面的“頭雁”的翅膀在空中劃過(guò)時(shí),翅膀尖上就會(huì)產(chǎn)生一股微弱的上升氣流,排在它后面的就可以依次利用這股氣流,從而節(jié)省了體力.研究表明,大雁排成的“人”字隊(duì)形的每邊與前進(jìn)方向的夾角約為55°,那么“人”字隊(duì)形的夾角就是這個(gè)角的兩倍,大約為110°.問(wèn)題:這兩個(gè)角的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系?[知識(shí)點(diǎn)撥]知識(shí)點(diǎn):二倍角的正弦、余弦、正切公式

名師點(diǎn)析

1.二倍角的“廣義理解”:二倍角是相對(duì)的,如4α是2α的二倍,α是

的二倍等.“倍”是描述兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系的,這里蘊(yùn)含著換元思想.2.對(duì)于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α?xí)r,要保證分母1-tan2α≠0且tan

α有意義,故不能用二倍角公式求tan

2α,此時(shí)可以利用誘導(dǎo)公式直接求tan

2α.3.一般情況下,sin

2α≠2sin

α,cos

2α≠2cos

α,tan

2α≠2tan

α.4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我們要熟悉這組公式的逆用,如sin

3αcos

3α=sin

6α.微練習(xí)1微練習(xí)2微練習(xí)3微拓展二倍角公式的變換(1)因式分解變換.cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)·(cosα-sinα).(2)配方變換.1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(3)升冪縮角變換.1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(4)降冪擴(kuò)角變換.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一利用二倍角公式解決給角求值問(wèn)題例1求下列各式的值:反思感悟

對(duì)于給角求值問(wèn)題,一般有兩類(lèi):(1)直接正用或逆用二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過(guò)程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.變式訓(xùn)練1求下列各式的值:探究二利用二倍角公式解決條件求值問(wèn)題反思感悟

解決條件求值問(wèn)題的方法給值求值問(wèn)題,注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系,有兩個(gè)觀(guān)察方向:(1)有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn),使關(guān)系明朗化;(2)尋找角之間的關(guān)系,看是否適合相關(guān)公式的使用,注意常見(jiàn)角的變換和角之間的二倍關(guān)系.答案

A探究三利用二倍角公式解決化簡(jiǎn)與證明問(wèn)題反思感悟

1.對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),要注意以下兩點(diǎn):(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)有四個(gè)方向,即分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析,消除差異.(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn),主要有以下幾類(lèi):①對(duì)三角的和式,基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式;②對(duì)三角的分式,基本思路是分子與分母的約分和逆用公式,最終變成整式或數(shù)值;③對(duì)二次根式,則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式.在具體過(guò)程中體現(xiàn)的則是化歸的思想,是一個(gè)“化異為同”的過(guò)程,涉及切弦互化,即“函數(shù)名”的“化同”;角的變換,即“單角化倍角”“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段.2.對(duì)于無(wú)條件的恒等式證明,常采用的方法有化繁為簡(jiǎn)和左右歸一,關(guān)鍵是分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)、角度和函數(shù)關(guān)系,找出差異,尋找突破口;有條件的等式證明,常先觀(guān)察條件及式中左右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系,靈活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升冪公式”,其變形是“降冪公式”,在證明中應(yīng)靈活選擇.

素養(yǎng)形成兩組拓展公式及應(yīng)用1.三倍角公式(1)sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα=2sinα(1-sin2α)+(1-2sin2α)sinα=3sinα-4sin3α.(2)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos