北京市大興區(qū)2022-2023學年高一下學期期末檢測數學試題（含解析）

第第頁北京市大興區(qū)2022-2023學年高一下學期期末檢測數學試題（含解析）大興區(qū)2022～2023學年度第二學期期末檢測試卷

高一數學

2023.07

考生須知1．本試卷共4頁，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時間120分鐘.2．在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和準考證號.3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1.復數（）

A.0B.2C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數代數形式的乘法運算法則計算可得.

【詳解】.

故選：C

2.已知向量與，且，則（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據平面向量線性運算的坐標表示及平面向量基本定理計算可得.

【詳解】因為與，

又，所以，所以.

故選：A

3.某學?，F有小學和初中學生共2000人，為了解學生的體質健康合格情況，決定采用分層抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為400的樣本，其中被抽到的初中學生人數為180，那么這所學校的初中學生人數為（）

A.800B.900C.1000D.1100

【答案】B

【解析】

【分析】確定樣本容量與總體容量的比值，根據分層抽樣的方法得出答案.

【詳解】樣本容量與總體容量的比值為，設這所學校的初中學生人數為

則被抽到的初中學生人數為，那么這所學校的初中學生人數為

故選：B.

4.已知在復平面內復數z對應的點的坐標為，則（）

A.3B.4

C.5D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數的幾何意義得出復數，再根據復數的模的計算公式即可得解.

【詳解】因為在復平面內復數z對應的點的坐標為，

所以，.

故選：C.

5.已知平面，，直線，則“”是“”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若且得不到，此時與可能相交，故充分性不成立，

若又，則，故必要性成立，

所以“”是“”的必要而不充分條件.

故選：B

6.設，為非零向量，且滿足，則（）

A.0B.－1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】將兩邊平方即可得解.

【詳解】因為，

所以，即，

所以.

故選：A.

7.在中，，，，則（）

A.B.C.5D.7

【答案】D

【解析】

【分析】由余弦定理及題干所給條件，代入求解即可.

【詳解】因為，所以.

由余弦定理，得，解得.

故選：D.

8.某校舉辦知識競賽，將人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下．則根據頻率分布直方圖，下列結論正確的是（）

A.中位數估計為B.眾數估計為

C.平均數估計為D.第百分位數估計為

【答案】C

【解析】

【分析】設頻率分布直方圖中與所對應的縱軸為，根據頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出，再根據平均數、中位數、百分位數及眾數的計算規(guī)則計算可得.

【詳解】設頻率分布直方圖中與所對應的縱軸為，

則，解得，

所以平均數為，故C正確；

眾數為，故B錯誤；

因為，所以中位數為，故A錯誤；

因為，第百分位數估計為，故D錯誤；

故選：C

9.已知邊長為的正方形，點是邊上動點，則的最大值是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐標，設，，利用坐標法表示，再根據二次函數的性質計算可得.

詳解】如圖建立平面直角坐標系，則，，設，，

則，，

所以，

所以當或時取得最大值.

故選：B

10.已知點P在棱長為2的正方體表面運動，且，則線段AP的長的取值范圍是（）

AB.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出正方體的對角線的中垂面截正方體所得截面多邊形，再分段求出AP的長范圍作答.

【詳解】點在棱長為2的正方體表面運動，且，則點的軌跡是

線段的中垂面截正方體所得截面多邊形，

分別取棱的中點，

則，

因此點在線段的中垂面上，點的軌跡是六邊形，如圖，

當點在線段上時，若點為線段中點，有，，

于是點為線段上任意一點，，

當點在線段上時，，為鈍角，則，即，

當點在線段上時，，，，

鈍角，則，即，

當點在線段上時，由，

邊上的高為，此時，

由對稱性知，當點在折線上時，，

所以線段AP的長的取值范圍是.

故選：D

【點睛】結論點睛：的三邊分別為a，b，c（a≥b≥c），若，則是銳角三角形；若，則是直角三角形；若，則是鈍角三角形.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復數滿足為純虛數，則的實部為___________．

【答案】

【解析】

【分析】根據純虛數的定義和復數的概念求解即可.

【詳解】設（為虛數單位，），

因為為純虛數，

所以，解得，

所以實部為，

故答案為：

12.對于一組數據，，，，，，，，則第百分位數是___________．

【答案】

【解析】

【分析】根據百分位數計算規(guī)則計算可得.

【詳解】因為，

所以第百分位數為數據從小到大排列的第、兩個數的平均數，即.

故答案為：

13.已知向量，在正方形網格中的位置如圖所示，則，的夾角的余弦為___________．

【答案】##

【解析】

【分析】如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為，利用坐標法求解即可.

【詳解】如圖，以點為原點，建立平面直角坐標系，

設正方形的邊長為，

則，即，

故，

所以，即，的夾角的余弦為.

故答案為：.

14.一個鐵制的底面半徑為，側面積為的實心圓柱的體積為___________，將這個實心圓柱熔化后鑄成一個實心球體，則這個鐵球的半徑為___________．

【答案】①.##②.

【解析】

【分析】設圓柱的高為，根據側面積求出高，再根據圓柱的體積公式計算可得，設球的半徑為，由球的體積與圓柱的體積相同得到方程，解得即可.

【詳解】設圓柱的高為，因為底面半徑，側面積為，

所以，解得，

所以圓柱的體積，

設球的半徑為，則，解得.

故答案為：；

15.如圖，已知菱形中，，，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和，為的中點，則在翻折過程中，給出下列四個結論：

①平面平面；

②與的夾角為定值；

③三棱錐體積最大值為；

④點的軌跡的長度為；

其中所有正確結論的序號是___________．

【答案】①②④

【解析】

【分析】①由題設結合線面垂直的判定證面，再由面面垂直的判定即可判斷正誤；②若是的中點，應用平行四邊形的性質有，可知與的夾角為或其補角，進而求其大??；③根據①②的分析，當面時最大，求其最大值；④確定F的軌跡與到的軌跡相同，且到的軌跡為以中點為圓心，為半徑的半圓，即可求軌跡長度.

【詳解】對于①：由，，為邊的中點知且，

易知，，而，面，

故面，又面，所以面面，故①正確；

對于②：若是的中點，又為的中點，則且，

而且，所以且，即為平行四邊形，

故，所以與的夾角為或其補角，

若為中點，即，由①分析易知，

故與的夾角為，故②正確；

對于③：由上分析知：翻折過程中當面時，最大，

此時，故③錯誤；

對于④：由②分析知：且，故的軌跡與到的軌跡相同，

由①知：到的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，而為中點，

故到的軌跡為以中點為圓心，為半徑的半圓，所以的軌跡長度為，故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】關鍵點睛：應用線面、面面垂直的判定判斷面面垂直；根據線線角的定義，結合平行四邊形的性質找到線線角的平面角并求大??；判斷動點的軌跡，由圓的性質及棱錐的體積公式求的最大體積以及F的軌跡的長度.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知向量，滿足，．

（1）求；

（2）若，求的坐標；

（3）若，求．

【答案】（1）

（2）或

（3）

【解析】

【分析】（1）根據向量的模的坐標公式計算即可；

（2）設，再根據向量的模的坐標公式及向量共線的坐標公式計算即可；

（3）由，得，再將平方開再根號即可得解.

【小問1詳解】

因為，所以；

【小問2詳解】

設，由，，

得，解得或，

所以的坐標為或；

【小問3詳解】

若，則，

故.

17.已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由兩角和的正切公式計算可得；

（2）利用二倍角公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得.

【小問1詳解】

因為，

所以.

【小問2詳解】

因為，

所以.

18.如圖，在三棱柱中，側面為正方形，平面平面，M，N分別為，AC的中點．

（1）求證：平面；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求證：．

條件①：；條件②：．

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）取的中點，連接，證明四邊形是平行四邊形，則，再根據線面平行的判定定理即可得證；

（2）先根據面面垂直性質證明平面，選①，證明，再根據線面垂直的判定定理證明平面，再根據線面垂直的性質即可得證.

選②，取的中點，連接，則且，，先證明，再證明，進而得證.

【小問1詳解】

取的中點，連接，

因為M，N分別為，AC的中點，

所以且，

又且，

所以且，

所以四邊形是平行四邊形，所以，

又平面，平面，

所以平面；

【小問2詳解】

因為平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面，所以，

選①，由（1）得，

因為，所以，

又平面，

所以平面，

又平面，所以.

選②，取的中點，連接，

因為M，N分別為，AC的中點，

所以且，，

因為平面，所以平面，

又平面，所以，即，

因為，所以，

又，

所以，所以，

所以，

又，所以.

19.某工廠生產某款產品，該產品市場平級規(guī)定：評分在10分及以上的為一等品，低于10分的為二等品．下面是檢驗員從一批產品中隨機抽樣的10件產品的評分：

9.610.19.79.810.09.710.09.810.110.2

經計算得，其中為抽取的第件產品的評分，．

（1）求這組樣本平均數和方差；

（2）若廠家改進生產線，使得生產出的每件產品評分均提高0.2．根據以上隨機抽取的10件產品改進后的評分，估計改進后該廠生產的產品評分的平均數和方差；

（3）在第（2）問前提下，再從改進后生產的產品中隨機抽取10件產品，估計這10件產品的平均等級是否為一等品？說明理由．

【答案】（1）平均數，方差為，

（2）平均數，方差為，

（3）見解析

【解析】

【分析】（1）直接利用平均數的定義和方差的定義求解即可；

（2）根據平均數的性質和方差的性質求解即可；

（3）從平均數角度分析或從抽樣的隨機性角度分析即可.

【小問1詳解】

樣本平均值為，

樣本方差為，

【小問2詳解】

因為改進后隨機抽取的10件產品是改進前抽取的10件產品每個提高0.2分，

所以估計改進后生產的產品評分的平均數，方差為，

【小問3詳解】

可以認為是一等品，因為改進后該廠生產的產品評分由樣本數據估計平均數為，

所以可以認為這10件產品平均等級為一等品，

不一定是一等品，因為樣本數據具有隨機性，所以新樣本平均值不一定達到10分以上，

所以新樣本平均等級不一定是一等品.

20.在中，，是邊上的點，，．

（1）求的大??；

（2）求的值；

（3）求的面積．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理計算可得；

（2）令，依題意可得，表示出，，，在中利用正弦定理得到，再由兩角差的正弦公式展開，即可求出；

（3）首先由利用二倍角公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入求出，最后由面積公式計算可得.

【小問1詳解】

因為，

由余弦定理，又，所以.

【小問2詳解】

如圖，令，因為，所以，

所以，，，

在中，由正弦定理得，即，

所以，

即，

所以，解得，即.

【小問3詳解】

由，

所以.

21.如圖，從長、寬，高分別為，，的長方體中截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐．

（1）求三棱錐的體積；

（2）證明：三棱錐的每個面都是銳角三角形；

（3）直接寫出一組，，的值，使得二面角是直二面角．

【答案】（1）

（2）證明見解析（3），，（滿足或均可）（答案不唯一）

【解析】

【分析】（1）利用長方體的體積減去四個角的三棱錐的體積即可得解；

（2）三棱錐的每個面的三角形的三條邊均為，，，不妨設，則為最大邊，各面的最大角為，利用余弦定理得到，即可得證；

（3）本題屬于開放性問題，不妨令，，連接交于點，連接、，則為二面角的平面角，求出線段的長度，即可得到，從而得解.

【小問1詳解】

在長方體中，

三棱錐，

同理可得，

所以，所以.

【小問2詳解】

由已知易得三棱錐的每個面的三角形的三條邊均為，，，

不妨設，則為最大邊，各面的最大角為，

則，

又，所以各面的最大角為為銳角，

所以三棱錐的每個面都是銳角三角形.

【小問3詳解】

不妨令，，（滿足或均可）（答案不唯一），

連接交于點，連接、，則，

為的中點，所以，，所以為二面角的平面角，

又，，

，

所以，所以，即，

所以二面角是直二面角.大興區(qū)2022～2023學年度第二學期期末檢測試卷

高一數學

2023.07

考生須知1．本試卷共4頁，共兩部分，21道小題.滿分150分.考試時間120分鐘.2．在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和準考證號.3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1.復數（）

A.0B.2C.D.

2.已知向量與，且，則（）

AB.C.D.

3.某學校現有小學和初中學生共2000人，為了解學生的體質健康合格情況，決定采用分層抽樣的方法從全校學生中抽取一個容量為400的樣本，其中被抽到的初中學生人數為180，那么這所學校的初中學生人數為（）

A.800B.900C.1000D.1100

4.已知在復平面內復數z對應的點的坐標為，則（）

A.3B.4

C.5D.

5.已知平面，，直線，則“”是“”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.設，為非零向量，且滿足，則（）

A0B.－1C.1D.2

7.在中，，，，則（）

A.B.C.5D.7

8.某校舉辦知識競賽，將人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下．則根據頻率分布直方圖，下列結論正確的是（）

A.中位數估計為B.眾數估計為

C.平均數估計為D.第百分位數估計為

9.已知邊長為的正方形，點是邊上動點，則的最大值是（）

A.B.C.D.

10.已知點P在棱長為2的正方體表面運動，且，則線段AP的長的取值范圍是（）

A.B.C.D.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復數滿足為純虛數，則的實部為___________．

12.對于一組數據，，，，，，，，則第百分位數是___________．

13.已知向量，在正方形網格中位置如圖所示，則，的夾角的余弦為___________．

14.一個鐵制的底面半徑為，側面積為的實心圓柱的體積為___________，將這個實心圓柱熔化后鑄成一個實心球體，則這個鐵球的半徑為___________．

15.如圖，已知菱形中，，，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和