2022-2023學(xué)年河南省商丘市永城鄉(xiāng)蘇樓中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年河南省商丘市永城鄉(xiāng)蘇樓中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，,則（

） （A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝

（C）{0，1}

（D）｛-1，,0，1}參考答案：A2.已知函數(shù)的定義域為，部分對應(yīng)值如下表．的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．-10451221下列關(guān)于函數(shù)的命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)在是減函數(shù)；③如果當(dāng)時，的最大值是2，那么的最大值為4；④當(dāng)時，函數(shù)有4個零點．其中真命題的個數(shù)有

（

）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個參考答案：D略3.已知O是坐標(biāo)原點，點A（1，0），若點M（x，y）為平面區(qū)域上的一個動點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由已知點的坐標(biāo)求得目標(biāo)函數(shù)，由約束條件作出可行域，再由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點P（﹣1，0）的距離求解．【解答】解：∵A（1，0），M（x，y），∴，則z==．由約束條件作出可行域如圖，的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P（﹣1，0）的距離．由圖可知，．故選：C．4.從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字，則這兩個數(shù)字之積小于5的概率為（

）A． B． C． D．參考答案：B從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個不同數(shù)字，共有共6個基本事件，其中這兩個數(shù)字之積小于5的有共3個基本事件，則這兩個數(shù)字之積小于5的概率為；故選B.5.已知，設(shè)，y=logbc，，則x，y，z的大小關(guān)系正確的是（）A．z＞x＞y B．z＞y＞x C．x＞y＞z D．x＞z＞y參考答案：A【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】，可得=﹣logba=．2a＞3，a＞log23＞1，∈（0，1）．進而得出結(jié)論．【解答】解：∵，∴=﹣logba=﹣×=，2a＞3，a＞log23＞1，∈（0，1）．y=logbc＜0，＞＞=，∴z＞x＞y．故選：A．6.設(shè)函數(shù),若,則點所形成的區(qū)域的面積為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D7.如圖，正方形ABCD中，M是BC的中點，若=λ+μ，則λ+μ=（）A． B． C． D．2參考答案：B【考點】9V：向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量加法、減法及數(shù)乘的幾何意義便可得出，代入并進行向量的數(shù)乘運算便可得出，而，這樣根據(jù)平面向量基本定理即可得出關(guān)于λ，μ的方程組，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴===；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故選B．【點評】考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，相等向量的概念，平面向量基本定理．8.高三畢業(yè)時，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)站成一排照相留念，已知甲乙相鄰，則甲丙相鄰的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】4人排成一排，其中甲、乙相鄰的情況有12種，其中甲丙相鄰的只有4種，由此能求出甲乙相鄰，則甲丙相鄰的概率．【解答】解：4人排成一排，其中甲、乙相鄰的情況有：（甲乙丙?。ⅲ滓叶”?、（丙甲乙丁）、（丁甲乙丙）、（丙丁甲乙）、（丁丙甲乙）、（乙甲丁丙）、（乙甲丁丙）、（丙乙甲丁）、（丁乙甲丙）、（丙丁乙甲）、（丁丙乙甲），共計12種，其中甲丙相鄰的只有4種，∴甲乙相鄰，則甲丙相鄰的概率為：p==．【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意列舉法的合理運用．9.已知數(shù)列滿足()，,，記，則下列結(jié)論正確的是A．，

B．，

C．，

D．，參考答案：A略10.定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（）

A．B．

C．D．參考答案：D由題意可知，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且周期為2，故可畫出它的大致圖象，如圖所示：∵且,而函數(shù)在是減函數(shù)，∴，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)，則

.參考答案：12.已知4a=2，lgx=a，則x=

．參考答案：考點：對數(shù)的運算性質(zhì)．專題：計算題．分析：化指數(shù)式為對數(shù)式求得a，代入lgx=a后由對數(shù)的運算性質(zhì)求得x的值．解答： 解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案為：．點評：本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．13.設(shè)滿足約束條件，若，則實數(shù)的取值范圍為

．參考答案：14.已知數(shù)列an=n2sin，則a1+a2+a3+…+a100=

．參考答案：﹣5000【考點】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知得an=，k∈N，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．【解答】解：∵an=n2sin，，k∈N，∴an=，k∈N，∴a1+a2+a3+…+a100=1﹣32+52﹣72+92﹣112+972﹣992=﹣2（1+3+5+7+9+11+…+97+99）=﹣2×=﹣5000．故答案為：﹣5000．【點評】本題考查數(shù)列的前100項和的求法，是中檔題，解題時要注意三角函數(shù)的周期性的合理運用．15.設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)且A＞0，ω＞0，＜φ＜）的部分圖象如圖所示，若f(α)=（0＜α＜），則f(α+)的值為

．參考答案：

【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由函數(shù)f（x）的圖象求出A、T、ω和φ的值，寫出f（x）的解析式；再由f（α）的值，利用三角恒等變換求出f（α+）的值．【解答】解：由函數(shù)f（x）的圖知，A=2，由T=2×[﹣（﹣）]=2π，得ω==1，∴f（x）=2sin（x+φ）；又f（）=2sin（+φ）=2，且﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）；由f（α）=2sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=；又0＜α＜，∴﹣＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==；∴f（α+）=2sinα=2sin[（α﹣）+]=2sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=2××+2××=．故答案為：．16.設(shè)α，β是兩個不重合的平面，a，b是兩條不同的直線，給出下列條件：①α，β都平行于直線a，b；②a，b是α內(nèi)的兩條直線，且a∥β，b∥β；③a與b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β．其中可判定α∥β的條件是

．（填序號）參考答案：②③【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)面面平行的判定定理，分別判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：①α，β都平行于直線a，b，α，β可能相交、平行，不正確；②a，b是α內(nèi)的兩條直線，且a∥β，b∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，可知正確；③a與b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，可知正確．故答案為②③．17.如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=________.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.學(xué)校要建一個面積為的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為和的小路（如圖所示）。問游泳池的長和寬分別為多少米時，占地面積最小？并求出占地面積的最小值。參考答案：設(shè)游泳池的長為，則游泳池的寬為,

又設(shè)占地面積為，依題意，得當(dāng)且僅當(dāng),即時,取“=”.答：游泳池的長為,寬為時，占地面積最小為64819.已知函數(shù)的最小正周期為π，且當(dāng)x=時，函數(shù)有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范圍內(nèi)的大致圖象．參考答案：【考點】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）=1﹣sin，再由它的周期等于π求出ω=1，故f（x）=1﹣sin．（2）由x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，列表作圖即得所求．【解答】解：（1）∵=+1﹣

=1﹣sin．由于它的最小正周期為π，故=π，∴ω=1．故f（x）═1﹣sin．（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]．列表如下：2x+π2πx0πsinx10﹣10f（x）0121如圖：20.（14分）已知圓C過坐標(biāo)原點O，且與x軸，y軸分別交于點A，B，圓心坐標(biāo)C（t，）（t∈R，t≠0）（1）求證：△AOB的面積為定值；（2）直線2x+y﹣4=0與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標(biāo)．參考答案：考點： 直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系．專題： 直線與圓．分析： （1）根據(jù)圓的方程求出A，B的坐標(biāo)即可證明△AOB的面積為定值；（2）根據(jù)直線2x+y﹣4=0與圓C交于點M，N，結(jié)合|OM|=|ON|，建立條件關(guān)系即可，求圓C的方程；（3）根據(jù)直線和圓相交以及點的對稱性即可得到結(jié)論．解答： （1）證明：由題設(shè)知，圓C的方程為（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化簡得x2﹣2tx+y2﹣y=0，當(dāng)y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；當(dāng)x=0時，y=0或，則B（0，），∴S△AOB=|OA|?|OB|=|2t|?||=4為定值．

解：（2）∵|OM|=|ON|，則原點O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點為H，則CH⊥MN，∴C、H、O三點共線，則直線OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2．∴圓心為C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5，由于當(dāng)圓方程為（x+2）2+（y+1）2=5時，直線2x+y﹣4=0到圓心的距離d＞r，此時不滿足直線與圓相交，故舍去，∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（3）點B（0，2）關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為B′（﹣4，﹣2），則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圓上點Q的最短距離為|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2．故|PB|+|PQ|的最小值為2，直線B′C的方程為y=x，則直線B′C與直線x+y+2=0的交點P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．點評： 本題主要考查直線和圓的方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．21.已知C1在直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，有曲線C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ．（Ⅰ）將C1的方程化為普通方程，并求出C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求曲線C1和C2兩交點之間的距離．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三種方程的互化方法，即可將C1的方程化為普通方程，并求出C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求出圓心（1，﹣2）到直線的距離，即可求曲線C1和C2兩交點之間的距離．【解答】解：（Ⅰ）C1在直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程為，消參后得C1為y﹣2x+1=0．由ρ=2cosθ﹣4sinθ得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ．∴x2+y2=2x﹣4y，∴C2的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+（y+2）2=5..…（Ⅱ）∵圓心（1，﹣2）到直線的距離．∴．…22.有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在[59,101]范圍內(nèi)（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在[71,89)內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：直徑分組[59,65)[65,71)[71,77)[77,83)[83,89)[89,95)[95,101]甲基地頻數(shù)1030120175125355乙基地頻數(shù)5351151651106010

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有95%以上的把握認(rèn)為“桔柚直徑與所在基地有關(guān)”？

甲基地乙基地合計優(yōu)質(zhì)品

非優(yōu)質(zhì)品

合計

（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)：（3）經(jīng)計算，甲基地的500個桔柚直徑的樣本方差，乙基地的500個桔柚直徑的樣本方差，，并且可認(rèn)為優(yōu)質(zhì)品率較高的基地采摘的桔柚直徑服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.由優(yōu)質(zhì)品率較高的種植基地的抽樣數(shù)據(jù)，估計該基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78亳米的桔柚在總體中所占的比例.附：，.P(K2≥k0)0.100.050.01