第七章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)課件

7.1測量誤差概述7.1.1.誤差來源（儀器、人、環(huán)境）測量中的被觀測量客觀上多存在一個(gè)真實(shí)值或理論值，對該量進(jìn)行觀測得到觀測值，觀測值Li與真實(shí)值X（或理論值）

之差稱為真誤差

，即：

i=Li－X7.1.2.誤差分類：(1)系統(tǒng)誤差──（積聚性、可預(yù)知性）(2)偶然誤差──（抵償性、不可預(yù)知性）7/24/20237:48PM系統(tǒng)誤差誤差大小、符號(hào)按一定規(guī)律變化或保持常數(shù)具有累計(jì)性偶然誤差誤差大小、符號(hào)無規(guī)律變化抵消性粗差

由于粗心和干擾產(chǎn)生大于限差的誤差7/24/20237:48PM7.1.3.多余觀測必要觀測距離往返測水準(zhǔn)紅黑面讀數(shù)角度多測回

多余觀測→差值→評定精度7/24/20237:48PM7.1.4偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

真誤差定義式：i=Li－X

（X真值；L觀測值）

7/24/20237:48PM7/24/20237:48PM誤差區(qū)間△″正誤差負(fù)誤差合計(jì)個(gè)數(shù)k頻率k/n個(gè)數(shù)k頻率k/n個(gè)數(shù)k頻率k/n0.0～0.2450.126460.128910.2540.2～0.4400.112410.115810.2260.4～0.6330.092330.092660.1840.6～0.8230.064210.059440.1230.8～1.0170.047160.045330.0921.0～1.2130.036130.036260.0731.2～1.460.01750.014110.0311.4～1.640.01120.00660.0171.6以上000000總和1810.5051770.4953581.0007/24/20237:48PM

(1)有界性

在一定的觀測條件下，偶然誤差不會(huì)超過某一定值(2)單峰性

絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性大(3)對稱性

絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性相等(4)抵償性當(dāng)觀測次數(shù)無限增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨向零誤差分布------正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差σ7/24/20237:48PM正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式7/24/20237:48PMπ=3.1416e=2.7183σ為標(biāo)準(zhǔn)差σ2為標(biāo)準(zhǔn)差的平方，稱為方差。7/24/20237:48PM甲系統(tǒng)誤差7/24/20237:48PM乙偶然誤差7/24/20237:48PM丙偶然誤差7/24/20237:48PM測量精度7/24/20237:48PM7.2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)

7.2.1標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差

(1)定義式

7/24/20237:48PM按觀測值的真誤差計(jì)算中誤差序號(hào)第一組觀測第二組觀測觀測值真誤差△△2觀測值真誤差△△21179°59′59″-1″1180°00′08″+8″642179°59′58″-2″4179°59′54″-6″363180°00′02″+2″4180°00′03″+3″94179°59′57″-3″9180°00′00″0″05180°00′03″+3″9179°59′53″-7″496180°00′00″0″0179°59′51″-9″817179°59′56″-4″16180°00′08″+8″648180°00′03″+3″9180°00′07″+7″499179°59′58″-2″4179°59′54″-6″3610180°00′02″+2″4180°00′04″+4″16∑

+2″60

+2″404中誤差【△△】=60n=10【△△】=404n=10m1=±2.5″m2=±6.4″7/24/20237:48PM(2)概率意義7/24/20237:48PM7.2.2.極限誤差P(|Δ|<1m)=0.683=68.3%P(|Δ|<2m)=0.954=95.4%P(|Δ|<3m)=0.997=99.7%所以，一般容許或極限誤差取：7/24/20237:48PM7.2.3.

相對誤差K(1)定義(2)適用情況

例：丈量200m和80m的中誤差都是±20mm，精度怎樣描述？7/24/20237:48PM中誤差m極限誤差Δ允=2m相對中誤差絕對誤差平均誤差θ或然誤差ρ7/24/20237:48PM則函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式7.3誤差傳播定律設(shè)有一般函數(shù)：誤差傳播定律描述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系(5-27)7/24/20237:48PM1、按問題要求寫出函數(shù)式2、對函數(shù)式全微分3、寫出函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式1）函數(shù)中誤差的計(jì)算方法：7/24/20237:48PM例S=ababbmaambmamb7/24/20237:48PM2）特殊函數(shù)中誤差的計(jì)算方法：（1）、倍函數(shù)中誤差（2）、和或差函數(shù)中誤差（3）、線性函數(shù)7/24/20237:48PM（1）、倍函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：

z=kx式中k為常數(shù)；x為觀測值，其中誤差為mx；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz=kmx

即觀測值與某一常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘該常數(shù)7/24/20237:48PM

z=kxΔZI=kΔxI

(ΔZI)2=(kΔxI)2

…

mz2=k2mx2

mz=kmx7/24/20237:48PM例

在1：500地形圖上，量得某線段的平距為dAB=51.2mm±0.2mm，求AB的實(shí)地平距DAB及其中誤差mD。解：函數(shù)關(guān)系為

DAB=500×dAB=25600mm

中誤差式為

mDAB=500mdAB=±100mm

DAB=25.600±0.1m

7/24/20237:48PM（2）、和或差函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：

z=x±yx、y為觀測值，其中誤差分別為mx、my；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=mx2＋my2

即兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差平方之和。7/24/20237:48PM原理HB=HA+(a–b)7/24/20237:48PM例

水準(zhǔn)測量測站高差計(jì)算公式為h=a-b。已知后視讀數(shù)的中誤差為ma±1mm，前視讀數(shù)的中誤差為mb±1mm，求每測站高差的中誤差mh。解：函數(shù)關(guān)系為

h=a–b

中誤差式為

mh=±1.41mm7/24/20237:48PM推廣式設(shè)有函數(shù)：

z=x1±x2±…±xnx、y為觀測值，其中誤差分別為mxi、；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=m12＋m22＋…＋mn2

即n個(gè)觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于n觀測值中誤差平方之和。

當(dāng)m1=

m2=

…

=

mn=m時(shí)；則有

mz2=m2＋m2＋…＋m2

mz2

=nm2

mz=√nm

7/24/20237:48PM（3）、線性函數(shù)設(shè)有函數(shù)：

z=k1x1±k2x2±…±knxn式中ki為常系數(shù)；xi為獨(dú)立觀測值，其中誤差分別為mxi、；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=k12

m12＋k22m22＋…＋kn2mn2

即一組常數(shù)與一組獨(dú)立觀測值乘積代數(shù)和的中誤差平方，等于各常數(shù)與相應(yīng)觀測值中誤差乘積的平方之和。7/24/20237:48PM例對某段距離測量了n次，觀測值為l1,l2,…ln,觀測值為相互獨(dú)立的等精度觀測，觀測值的中誤差為m，求算術(shù)平均值的中誤差mx。

函數(shù)關(guān)系為

全微分式

中誤差式為

7/24/20237:48PM例光電測距三角高程公式為h=Dtanα+i–v，已知D=192.263m±0.006m，α=8°9′16″±6″，i=1.515m±0.002mv=1.627m±0.002m求高差h的中誤差mh。7/24/20237:48PM函數(shù)關(guān)系為h=Dtanα+i–v，其全微分式為

中誤差式為

Mh=±7mmh=27.437=±0.007m

7/24/20237:48PM計(jì)算實(shí)例1.【例7-2】課本P124，任意函數(shù)2.【例7-3】課本P125，倍函數(shù)3.【例7-4】課本P125，和差函數(shù)4.【例7-5】課本P125，線性函數(shù)7/24/20237:48PM中誤差的計(jì)算注意：（1）如果是距離D，則需要計(jì)算相對誤差K；（2）如果是角度，則不要計(jì)算相對誤差K。7/24/20237:48PM7.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用1）鋼尺分段量距的精度2）一般水準(zhǔn)測量的精度（1）水準(zhǔn)尺讀數(shù)中誤差（2）一測站的高差中誤差（3）依據(jù)測站數(shù)計(jì)算高差中誤差（4）依據(jù)線路長度計(jì)算高差中誤差（5）往返測所得高差閉合差的容許值3）經(jīng)緯儀測量水平角的精度（1）半測回方向值中誤差（2）半測回角值中誤差（3）上、下半測回角值之差的中誤差（4）一測回角值中誤差7.4等精度觀測值的精度評定7.4.1算術(shù)平均值證明：算術(shù)平均值=最可靠值7.4.2改正數(shù)

v=x－L

特點(diǎn)：(1)［v］=0（可證明）(2)［vv］=min（可證明）7/24/20237:48PMV1=x-l1V2=x

–

l2。。。Vn=x

–

ln[v]=nx-[

l

][v]=07/24/20237:48PM[vv]min=(x-l1)2+(x-l2)2+…+(x-ln)2

d

[vv]/dx=2[(x

–

l)]=0nx

–[l]=0

x=[l]/n等精度觀測值的算術(shù)平均值x即為：最可靠值7/24/20237:48PM7.4.3等精度觀測值的中誤差因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)情況下△為未知V1=x

–l1V2=x–l2。。。Vn=x–ln△1＝X－l1△2＝X－l2。。?！?/p>

n=X–ln只能通過上面兩關(guān)系式找出m

與

v

之間的關(guān)系7/24/20237:48PM觀測值中誤差：7/24/20237:48PM7.4.4算術(shù)平均值中誤差用改正數(shù)(v)計(jì)算最或是值中誤差：表7-2算術(shù)平均值：觀測值中誤差：算術(shù)平均值中誤差：序號(hào)L（m）V（cm）VV精度評定1251.52-39最后結(jié)果可寫成x=251.49±0.01（m）2251.46+393251.49004251.48-115251.50+11[V]=0[VV]=20算術(shù)平均值相對中誤差：7.5非等精度觀測值的精度評定（1）不等精度觀測不同觀測條件（2）不等精度觀測→權(quán)權(quán)大，精度高，觀測值可靠性強(qiáng)權(quán)小，精度低，觀測值可靠性差問題:怎樣求P點(diǎn)的高程ACBPN3=35站N2=20站N1=15站S1=2kmS3=4kmS2=3kmh1h2h3HP=HA+h1HP=HB+h2HP=HC+h37/24/20237:48PM第一組觀測了四次,

l1,l2,l3,l4第二組觀測了兩次,

l1’,l2’例

對某一觀測量進(jìn)行了兩組觀測:7/24/20237:48PMx1=(l1+l2+l3+l4)/4x2=(l1’+l2’)/2

l1l2l3l4

l1’l2’的精度是相同的，x1與x2的精度是不同的!X=(l1+l2+l3+l4

+l1’+l2’)/6=(4x1

+2x2)/(4+2)7/24/20237:48PM單位權(quán)

等于1的權(quán)

單位權(quán)觀測值

P=1的觀測值

單位權(quán)中誤差μ

單位權(quán)觀測值的中誤差權(quán)的概念中誤差小，精度高，觀測值可靠性大，權(quán)大中誤差大，精度低，觀測值可靠性差，權(quán)小7/24/20237:48PM權(quán)與中誤差關(guān)系l1l2l3l4

l1’l2’的精度是相同的，設(shè)其中誤差皆為m，則x1與x2的中誤差分別為

7/24/20237:48PM上式可以說明可以任意選擇μ的值，但并不改變觀測值之間的權(quán)的比

。距離、高差、角度觀測值的定權(quán)方法同精度丈量時(shí)，邊長的權(quán)與邊長成反比

Pi=c/si當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量精度相同時(shí)，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與路線長度成反比

Pi=c/si由角度觀測值求算術(shù)平均值時(shí)，其權(quán)與觀測值個(gè)數(shù)（測回?cái)?shù)）成正比Pi=ni/c7/24/20237:48PM例設(shè)對某量進(jìn)行了n次等精度觀測，求算術(shù)平均值的權(quán)。解：設(shè)一測回角度觀測值中誤差為m則算術(shù)平均值的中誤差為令μ=m一測回角度觀測值權(quán)為p=μ2/m2=