湘教版選修4《同余式》教學(xué)設(shè)計(jì)

湘教版選修4《同余式》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)了解同余式的基本概念，理解同余式的性質(zhì)；掌握求解同余式的基本方法，明確同余式的解的唯一性定理；能夠運(yùn)用同余式解決一些實(shí)際問題。教學(xué)內(nèi)容分析1.同余式的基本概念同余式是解決整數(shù)之間除法關(guān)系的一種有效方法。其中，“同余”一詞來自于拉丁文“congruent”，意為“相等、相似、一致”。同余式指的是兩個(gè)數(shù)對(duì)某個(gè)整數(shù)取余運(yùn)算的結(jié)果相同的兩個(gè)整數(shù)之間某一種特殊的關(guān)系。同余式的關(guān)系如下所示：$$a\\equivb\\pmodm$$其中，“a、b”為整數(shù)，“m”為一個(gè)正整數(shù)，相當(dāng)于：“a和b對(duì)m取余所得結(jié)果相同”。2.同余式的性質(zhì)同余式具有以下性質(zhì)：自反性：$a\\equiva\\pmodm$對(duì)稱性：如果$a\\equivb\\pmodm$，則$b\\equiva\\pmodm$傳遞性：如果$a\\equivb\\pmodm$，$b\\equivc\\pmodm$，則$a\\equivc\\pmodm$加減性：如果$a\\equivb\\pmodm$，$c\\equivd\\pmodm$，則$a+c\\equivb+d\\pmodm$和$a-c\\equivb-d\\pmodm$乘除性：如果$a\\equivb\\pmodm$，則$\\forallk\\in\\mathbb{Z}$都有$ka\\equivkb\\pmodm$，且$\\gcd(a,m)=\\gcd(b,m)$3.同余式的求解方法求解同余式的基本方法是“等式兩邊分別對(duì)一個(gè)整數(shù)取?！?。即，將同余式：$$a\\equivb\\pmodm$$轉(zhuǎn)化為：$$\\begin{cases}a=q_1\\cdotm+r_1\\\\b=q_2\\cdotm+r_2\\end{cases}$$其中，“q1和q2”為商，“r1和$$\\begin{cases}a\\equivr_1\\pmodm\\\\b\\equivr_2\\pmodm\\end{cases}$$因此，將同余式“$a\\equivb\\pmodm$”轉(zhuǎn)化為“$r_1\\equivr_2\\pmodm$”就完成了同余式的求解。4.同余式的解的唯一性定理同余式的解存在唯一性的定理是：“如果$a\\equivb\\pmodm$，則r1和r2對(duì)m換言之，如果一個(gè)同余式有解，則該解是否唯一只與m的值有關(guān)，與a和b的值無關(guān)。5.實(shí)際問題中的同余式同余式常用于解決一些實(shí)際問題，如：日期問題：計(jì)算兩個(gè)日期之間的天數(shù)。假設(shè)兩個(gè)日期為a=20220220和b=20220515，則$$\\begin{aligned}b-a&\\equiv15-20\\pmod{31}\\\\&=-5\\pmod{31}\\\\&=26\\pmod{31}\\end{aligned}$$因此兩個(gè)日期之間相差26天。-數(shù)字問題：如何判斷一個(gè)數(shù)是否能整除另一個(gè)數(shù)？假設(shè)a能整除b，則有$b=q\\cdota$，其中q為商，a,b為整數(shù)。即“b對(duì)a取模所得的余數(shù)為0$$b\\equiv0\\pmoda$$教學(xué)步驟第一步：引入同余式的基本概念教師可以通過具體例子介紹同余式的概念，例如通過兩個(gè)日期之間的問題，使學(xué)生了解同余的概念及同余式的表達(dá)方法。第二步：講解同余式的性質(zhì)教師可以通過反復(fù)提問，讓學(xué)生體會(huì)同余式的自反性、對(duì)稱性、傳遞性、加減性和乘除性等性質(zhì)，并在白板上進(jìn)行類比和驗(yàn)證。第三步：講解同余式的求解方法教師可通過具體的算法步驟和具體的例子，來講解同余式的求解方法。讓學(xué)生學(xué)會(huì)將一個(gè)同余式轉(zhuǎn)化為求余數(shù)的算式，并將該算式代入原來的同余式，從而得到同余式的解。第四步：講解同余式的解的唯一性定理教師可以通過具體的實(shí)例，來講解同余式的解的唯一性定理，并幫助學(xué)生理解如何求同余式的解。第五步：舉例實(shí)際問題中的同余式教師可以通過具體的問題和例子來展示同余式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，讓學(xué)生了解到同余式解決實(shí)際問題的重要性。第六步：練習(xí)和提升針對(duì)不同難度的問題，將同學(xué)分成不同的小組，進(jìn)行同余式的實(shí)踐操作，鍛煉學(xué)生的解決實(shí)際問題的能力和計(jì)算技能。教學(xué)方法本次教學(xué)采用“講解+操作”的方式。通過講解同余式的性質(zhì)、求解方法和實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生建立起對(duì)同余式的理論知識(shí)，并通過小組練習(xí)來提高學(xué)生的解決實(shí)際問題的能力和計(jì)算技能。教學(xué)評(píng)估1.測(cè)驗(yàn)學(xué)完同余式后，進(jìn)行一次測(cè)試，測(cè)試的內(nèi)容主要是同余式的基本概念、性質(zhì)、求解方法、解的唯一性定理和實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)。2.作業(yè)布置一定數(shù)量的作業(yè)，要求學(xué)生能夠獨(dú)立解決實(shí)際問題，逐漸提升學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算技能。3.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)一些有趣的實(shí)驗(yàn)來幫助學(xué)生更好地理解同余式的概念和求解方法。結(jié)束語同余式是