(?？碱})人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五單元三角

一、選擇題1．已知，則（）A． B． C． D．2．將函數(shù)圖像上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，在的圖像的所有對稱軸中，離原點(diǎn)最近的對稱軸為（）A． B． C． D．3．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)（）的圖象與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)距離等于，則的圖象的一條對稱軸是（）A． B．C． D．5．在中，已知，那么一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．形狀無法確定6．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．7．（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若對滿足的，，有，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，且圖象的相鄰對稱軸之間的距離為，則當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A． B． C． D．12．設(shè)，、，則有（）A． B． C． D．二、填空題13．方程在上的解的個(gè)數(shù)為______.14．設(shè)函數(shù)，，若恰有個(gè)零點(diǎn)，則下述結(jié)論中：①恒成立，則的值有且僅有個(gè)；②存在，使得在上單調(diào)遞增；③方程一定有個(gè)實(shí)數(shù)根，其中真命題的序號(hào)為_________.15．若，則___________.16．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，則_________．17．若函數(shù)在區(qū)間和上均遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．18．若是第二象限角，則__________．19．已知，則__________.20．將函數(shù)圖象右移個(gè)單位，再把所得的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到，則______．三、解答題21．已知，中，角，，所對的邊為，，.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求周長的最大值22．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，最高點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將的圖象向左平移4個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若存在，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．23．如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，P在單位圓上，且，.（1）求的值；（2）若四邊形是平行四邊形，（i）當(dāng)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（ii）設(shè)，點(diǎn)，且.求關(guān)于的函數(shù)的解析式，并求其單調(diào)增區(qū)間.24．在①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；②函數(shù)在上的最小值為；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.這三個(gè)條件中任選兩個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，再解答這個(gè)問題.已知函數(shù)，若滿足條件與.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.25．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求在區(qū)間上的取值范圍.26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn).（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值.（2）若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到角(即)，若，求的值.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除一、選擇題1．D解析：D【分析】先用誘導(dǎo)公式化為，再用二倍角公式計(jì)算．【詳解】.故選：D2．A解析：A【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換和平移變換，得到，然后令求解.【詳解】將函數(shù)圖像上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，，再將所得圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)，令，解得，所以在的圖像的所有對稱軸中，離原點(diǎn)最近的對稱軸為，故選：A3．B解析：B【分析】首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱中心；【詳解】解：將向右平移個(gè)單位長度得到，，∴的對稱中心為，當(dāng)時(shí)為.故選：B.4．D解析：D【分析】首先化簡函數(shù)，根據(jù)條件確定函數(shù)的周期，求，再求函數(shù)的對稱軸.【詳解】，，由題意可知，，，令，解得：，當(dāng)時(shí)，.故選：D5．A解析：A【分析】先用誘導(dǎo)公式變形，然后再由兩角和的正弦公式展開，再由兩角差的正弦公式化簡后可得．【詳解】∵在中，已知，∴，∴，，又，∴，，三角形為等腰三角形．故選：A．6．D解析：D【分析】由，向左平移個(gè)單位長度得到，再令求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，由題意得，所以，解得，故選：D7．D解析：D【分析】直接利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】，故選：D8．A解析：A【分析】利用圖象可得出，求出函數(shù)的最小正周期，可求得的值，再將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，結(jié)合的取值范圍，求出的值，進(jìn)而可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，，又，可得，，，，解得，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.9．B解析：B【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間列不等式組求解集即可.【詳解】由函數(shù)解析式知：在上單調(diào)遞增，∴，單調(diào)遞增，又∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，解得，所以當(dāng)時(shí)，有，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用整體代入法得到，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間與所得區(qū)間的關(guān)系求參數(shù)范圍.10．D解析：D【分析】利用三角函數(shù)的最值，取自變量、的特值，然后判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，由題意可得：，若，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差等于2，有，所以不妨取，則，即在取得最小值，所以，此時(shí)，又，所以此時(shí)不符合題意，取，則，即在取得最小值，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移，三角函數(shù)性質(zhì)之最值，關(guān)鍵在于取出，得出，再利用正弦函數(shù)取得最小值的點(diǎn)，求得的值，屬于中檔題．11．D解析：D【分析】先將函數(shù)化簡整理，根據(jù)相鄰對稱軸之間距離求出周期，確定，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合給定區(qū)間，即可求出最值.【詳解】因?yàn)?，由題意知的最小正周期為，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，因此，所以函數(shù)的最小值為．故選：D.12．B解析：B【分析】由兩角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化簡，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】，，，顯然，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)值的比較大小，解題方法是首先化簡各函數(shù)，應(yīng)用三角函數(shù)恒等變換公式化簡函數(shù)，注意轉(zhuǎn)化為同一個(gè)三角函數(shù)，并且把角轉(zhuǎn)化到三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間上，然后由三角函數(shù)的單調(diào)性得大小關(guān)系．二、填空題13．3【分析】先求出解的一般形式再根據(jù)范圍可求解的個(gè)數(shù)【詳解】因?yàn)楣使柿罟使蚀鸢笧椋?解析：3【分析】先求出解的一般形式，再根據(jù)范圍可求解的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，故，故，令，故，故答案為?.14．①②③【分析】可把中的整體當(dāng)作來分析結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解【詳解】由于恰有4個(gè)零點(diǎn)令由有4個(gè)解則解得①即由上述知故的值有且僅有個(gè)正確；②當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)解得又故存在使得在上單調(diào)遞增正確；③而所以可解析：①②③【分析】可把中的整體當(dāng)作來分析，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解．【詳解】由于恰有4個(gè)零點(diǎn)，令，，由有4個(gè)解，則，解得，①即，由上述知，故的值有且僅有個(gè)，正確；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，又，故存在，使得在上單調(diào)遞增，正確；③，而，所以可取，共4個(gè)解，正確，綜上，真命題的序號(hào)是①②③.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的性質(zhì)分析一般用數(shù)形結(jié)合，圖象的簡化十分重要。本題考查命題真假的判斷，考查三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15．【分析】將已知等式兩邊平方可得結(jié)合已知的范圍可得從而可求進(jìn)而利用二倍角公式平方差公式即可求解【詳解】解：因?yàn)閮蛇吰椒娇傻每傻盟钥傻盟怨蚀鸢笧椋航馕觯骸痉治觥繉⒁阎仁絻蛇吰椒剑傻?，結(jié)合已知的范圍可得，，從而可求，進(jìn)而利用二倍角公式，平方差公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋瑑蛇吰椒?，可得，可得，所以，，可得，所?故答案為：.16．【分析】先根據(jù)函數(shù)平移變換得平移后的解析式為再根據(jù)其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱得進(jìn)而計(jì)算得【詳解】解：根據(jù)題意得函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式為：由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱故即所以故答案為：【解析：【分析】先根據(jù)函數(shù)平移變換得平移后的解析式為，再根據(jù)其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱得，進(jìn)而計(jì)算得.【詳解】解：根據(jù)題意得函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式為：，由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故，即所以.故答案為：【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).17．【分析】由的范圍求出的范圍結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得不等關(guān)系【詳解】時(shí)時(shí)由題意又解得故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在中則的單調(diào)性與的單調(diào)性一致因此對一個(gè)區(qū)間我們只要求得的范圍它應(yīng)解析：【分析】由的范圍求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得不等關(guān)系．【詳解】時(shí)，，時(shí)，，由題意，又，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在中，，則的單調(diào)性與的單調(diào)性一致，因此對一個(gè)區(qū)間，我們只要求得的范圍，它應(yīng)在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，那么在上就有相同的單調(diào)性．這是一種整體思想的應(yīng)用．18．【分析】根據(jù)條件分別求再代入求兩角和的正弦【詳解】且是第二象限角故答案為：解析：【分析】根據(jù)條件分別求，，，再代入求兩角和的正弦【詳解】，且是第二象限角，，，.故答案為：19．3【分析】由平方關(guān)系求出用兩角和的正弦公式求得再得然后可得【詳解】∵∴∴∴故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平方關(guān)系兩角和的正弦公式三角函數(shù)求值問題需確定已知角和未知角的關(guān)系以確定先用的公式象解析：3【分析】由平方關(guān)系求出，用兩角和的正弦公式求得，再得，然后可得．【詳解】∵，∴，，∴，∴，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平方關(guān)系，兩角和的正弦公式．三角函數(shù)求值問題，需確定已知角和未知角的關(guān)系，以確定先用的公式．象本題觀察得到，需要用用兩角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方關(guān)系求得，這就要確定的范圍．以確定余弦值的正負(fù)．20．【分析】把的圖象反過來變換可得的圖象得然后再計(jì)算函數(shù)值【詳解】把的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的縱坐標(biāo)不變得的圖象再向左平移個(gè)單位得∴故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象變換三角函數(shù)的圖解析：【分析】把的圖象反過來變換可得的圖象，得，然后再計(jì)算函數(shù)值．【詳解】把的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變得的圖象，再向左平移個(gè)單位得，∴．．故答案為：．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)的圖象中注意周期變換與相位變換的順序不同時(shí)，平移單位的變化．向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜脠D象的解析式為，而的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，所得圖象再向右平移個(gè)單位得圖象的解析式為．三、解答題21．（1），；（2）.【分析】（1）首先利用降冪公式和輔助角公式化簡函數(shù)，再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先求角，再根據(jù)余弦定理和基本不等式求周長的最大值.【詳解】（1），∴在上單調(diào)遞增，∴，（2），得，即，，則，而，由余弦定理知：，有，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∵周長，∴周長最大值為【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知一邊及一邊所對角求解三角形面積或周長的最大值時(shí)，可利用余弦定理構(gòu)造方程，再利用基本不等式求所需的兩邊和或乘積的最值，代入三角形周長或面積公式，求得結(jié)果.22．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)圖像可得，，進(jìn)而求出，再將代入，即可求出的解析式；（2）先根據(jù)題意得到的圖像，再利用換元法即可求得在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）不等式恒成立等價(jià)于，求出的最小值代入得到，把它看成以為自變量的不等式，解不等式即可.【詳解】解：（1）由題圖可知：，，，即，將代入，即，，又，，；（2）根據(jù)題意可得：，令，則，令，即，解得：，在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；（3），，，，，由題意可知：，即，即以為自變量的不等式，，解得：或，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知的部分圖象求其解析式時(shí)，比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)，則令(或)，即可求出；(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出和，若對的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.23．（1）；（2）（i）；（ii）；增區(qū)間為和.【分析】（1）由三角函數(shù)定義得，再弦化切代入計(jì)算，即可求的值；（2）（i）設(shè)PA中點(diǎn)為H，，，則，，由此可求點(diǎn)O的軌跡方程；（ii）確定，即可求其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】解：（1）由三角函數(shù)定義得，所以.（2）∵四邊形是平行四邊形，∴與互相平分，（i）設(shè)中點(diǎn)為，，，則，，又，所以，代入上式得點(diǎn)Q的軌跡方程為.（ii）因?yàn)椋?，又由（i）知，∴，∴∵，∴或，∴的增區(qū)間為和.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的常用方法（1）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量，如（距離和角）的等量關(guān)系，或幾何條件簡單明了易于表達(dá)，只需要把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為的等式，就能得到曲線的軌跡方程；（2）定義法：某動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓錐曲線的定義，則可根據(jù)定義設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）幾何法：若所求軌跡滿足某些幾何性質(zhì)，如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)，則可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（4）相關(guān)點(diǎn)法（代入法）：若動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不變用等式表示，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且相關(guān)點(diǎn)滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)求兩個(gè)動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)參數(shù)求出所求軌跡的方程.24．（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）分別選①②，②③，①③三種情況，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)解析式；（2）由（1）的結(jié)果根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換與平移原則，求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：（1）選①②因?yàn)闉榈膶ΨQ中心，所以又，所以；因?yàn)?，所以，所以所以，所以；所以選②③因?yàn)闉榈囊粭l對稱軸，所