初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)153-分式方程課件

精品課件初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)實(shí)用資料第十五章分式15.3分式方程內(nèi)容分式方程的概念分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程知識(shí)解讀（1）分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，而不是分母中有字母；（2）分式方程與整式方程的根本區(qū)別在于分母中是否含有未知數(shù)分式方程的概念例1在下列方程中，關(guān)于x的分式方程是_______.（填序號(hào)）①②③④⑤⑥解析：分母中含有未知數(shù)x的方程是③④⑤.③④⑤分式方程的解法基本思路解分式方程的一般步驟解分式解分式方程分式方程(1)去分母：方程兩邊同乘分式中的最簡(jiǎn)公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.(2)解轉(zhuǎn)化后所得的整式方程.(3)檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解，需要舍去.(4)寫(xiě)出分式方程的解→去分母轉(zhuǎn)化整式方程知識(shí)解讀(1)解分式方程，就是先解轉(zhuǎn)化后的整式方程，再確認(rèn)該解是否是分式方程的解；(2)解分式方程時(shí)，去分母后得到的整式方程的根，若使最簡(jiǎn)公分母為0，則這個(gè)根是原方程的增根；(3)分式方程的解的情況可能是有解或無(wú)解；(4)分式方程本身就隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許的范圍擴(kuò)大了，因此就有可能產(chǎn)生增根.增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，會(huì)使原方程的分母為0(1)分式方程無(wú)解的兩種情況：一是由分式方程轉(zhuǎn)化的整式方程本身無(wú)解；二是由分式方程轉(zhuǎn)化的整式方程有解，但是這個(gè)解不是原分式方程的解，而是原分式方程的增根.(2)分式方程出現(xiàn)增根的原因：分式方程去分母時(shí)，方程兩邊需要同乘分式方程中各式的最簡(jiǎn)公分母，此時(shí)不能確定最簡(jiǎn)公分母是否為0，根據(jù)方程同解原理，方程兩邊同乘不為0的數(shù)或整式，得出的方程才會(huì)與原方程同解，所以在轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，就已經(jīng)埋下了可能不是同解的隱患，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.例2解分式方程：（1）

（2）

解：（1）方程兩邊同乘3x(x+5),得6x=x+5,解得x=1.檢驗(yàn)：把x=1代入3x(x+5)，得3x(x+5)≠0，所以，x=1是原分式方程的解.（2）方程兩邊同乘3(3x-1),得2(3x-1)+3x=1,解得x=.檢驗(yàn)：將x=代入3(3x-1),得3(3x-1)=0，所以，x=不是原分式方程的解，即原分式方程無(wú)解.例3若關(guān)于x的方程

有增根，試求k的值.解：方程兩邊同乘x-3,得k+2(x-3)=4-x,即3x=10-k.因?yàn)樵质椒匠逃性龈?，所以x-3=0,即x=3,所以原分式方程的增根是x=3.把x=3代入3x=10-k，解得k=1.先把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再把使得分式方程中分母為零的未知數(shù)的值代入到轉(zhuǎn)化后的整式方程中，即可求得待定量的值.列分式方程解應(yīng)用題一般步驟列分式方程解應(yīng)用題(1)審：找出問(wèn)題中已知與未知的數(shù)量關(guān)系；(2)設(shè)：一般是直接設(shè)未知數(shù)，個(gè)別是間接設(shè)未知數(shù)；(3)列：根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程；(4)解：解轉(zhuǎn)化后的整式方程；(5)驗(yàn)：檢驗(yàn)得到的整式方程的解是否是列出的分式方程的解，并檢驗(yàn)其是否符合實(shí)際意義;(6)答：寫(xiě)出答案常見(jiàn)應(yīng)用題類型中的基本數(shù)量關(guān)系(1)行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間；(2)工程問(wèn)題：工作總量=工作效率×工作時(shí)間；(3)利潤(rùn)問(wèn)題：總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×件數(shù)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)續(xù)表知識(shí)解讀(1)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系可能不止一個(gè)，分析得出與未知的等量關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)可以簡(jiǎn)化方程；(2)列方程時(shí)要保持單位統(tǒng)一；(3)注意在分式方程應(yīng)用題中檢驗(yàn)意義的雙重性，既要檢驗(yàn)得到的整式方程的解是否是列出的分式方程的解，又要檢驗(yàn)其是否符合實(shí)際意義續(xù)表注意：列分式方程解應(yīng)用題一定要檢驗(yàn)，同時(shí)還要保證其結(jié)果符合實(shí)際意義.

例4進(jìn)入防汛期后，某地對(duì)河堤進(jìn)行了加固.該地駐軍在河堤加固工程中出色的完成了任務(wù).這是記者與駐軍工程指揮官的一段對(duì)話：你們是用9天完成了4800m長(zhǎng)的河堤的加固任務(wù)嗎？是的，我們加固600m后，采用新的加固模式，這樣每天加固長(zhǎng)度是原來(lái)的2倍.通過(guò)這段對(duì)話,請(qǐng)你求出該地駐軍原來(lái)每天加固的河堤長(zhǎng)度.解：設(shè)該地駐軍原來(lái)每天加固河堤xm.根據(jù)題意，得

整理，得1200+4200=18x.解得x=300.經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是分式方程的解，且符合題意.答：該地駐軍原來(lái)每天加固河堤300m.解分式方程時(shí)忘記驗(yàn)根

例5解分式方程：

解：方程兩邊同乘(x+2)(x-2),得x(x+2)-(x+2)(x-2)=8，解得x=2.檢驗(yàn)：將x=2代入(x+2)(x-2)，得(x+2)(x-2)=0，∴原分式方程無(wú)解.求出轉(zhuǎn)化后的整式方程的解，不通過(guò)檢驗(yàn)就直接寫(xiě)出分式方程的解，這是易出現(xiàn)的錯(cuò)誤.分式方程驗(yàn)根是解分式方程必要的一步.解分式方程時(shí)漏根

例6解方程：

解：方程兩邊同乘3（x+3），得（x+2）（x+3）=3(x+2).解得x=-2或x=0.檢驗(yàn)：將x=-2和x=0分別代入3(x+3)，得3(x+3)≠0,∴原分式方程的解為x=-2或x=0.解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘（或除以）含有未知數(shù)的整式時(shí)，在不能確定該整式的值是否為0的情況下，方程可能會(huì)出現(xiàn)增根或漏根的情況.增根情況可以通過(guò)檢驗(yàn)排除，而漏根往往就找不回來(lái)了.所以在解分式方程時(shí)，不要通過(guò)兩邊同除以一個(gè)含有未知數(shù)的整式來(lái)求解.求字母的取值范圍時(shí)，忽視分式方程成立的前提例7若關(guān)于x的方程

的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A.m＜6B.m＞6C.m＜6且m≠0D.m＞6且m≠8解析：將原分式方程化為整式方程，得2-x-m=2(x-2),解得x=.因?yàn)殛P(guān)于x的方程

的解為正數(shù)，所以

＞0,解得m＜6.因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，原分式方程無(wú)解，所以≠2,解得m≠0.綜上所述，m的取值范圍為m＜6且m≠0.故選C.C本題在求m的取值范圍時(shí)，只注意到方程

的解為正數(shù)，而忽略了排除分式方程無(wú)解的情況.題型一

解分式方程角度a可化為一元一次方程的分式方程例8解方程：思路導(dǎo)圖觀察分式方程，對(duì)分子、分母中的多項(xiàng)式因式分解，整理、化簡(jiǎn)后再求解方程兩邊同乘（y+2）(y-2)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解整式方程檢驗(yàn)，并寫(xiě)出原分式方程的解解：將原方程變形為

即

方程兩邊同乘(y+2)(y-2),得6(y-2)-+=0,解得y=8.檢驗(yàn)：當(dāng)y=8時(shí)，（y+2）(y-2)≠0.所以,y=8是原分式方程的解.方法點(diǎn)撥：（1）在不改變分式方程中未知數(shù)的取值范圍的情況下，可以先對(duì)分式約分；（2）分母是多項(xiàng)式時(shí)，先把每個(gè)分母的多項(xiàng)式因式分解，這樣就可以找到最簡(jiǎn)公分母；（3）去分母時(shí)，方程兩邊同乘整式的形式，以乘積的形式最好，這樣便于檢驗(yàn)時(shí)，迅速得出結(jié)論.角度b解含有字母的分式方程例9解方程：思路導(dǎo)圖方程兩邊同乘（x-1）(x+1)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解整式方程檢驗(yàn)，將求得的整式方程的解代入分式方程的最簡(jiǎn)公分母中，檢驗(yàn)是否為零寫(xiě)出原分式方程的解解：方程兩邊同乘(x-1)(x+1)，得(m+2)x=-m.因?yàn)閙≠-2,所以x=-檢驗(yàn)：因?yàn)閙≠-1,所以x-1=-1x+1+1=≠0,所以，x

是原分式方程的解.方法點(diǎn)撥：解含有字母系數(shù)的分式方程時(shí)，要注意字母系數(shù)的取值對(duì)分式方程變形與求解的影響.特別地，檢驗(yàn)時(shí)要根據(jù)給出的字母的范圍，確定最簡(jiǎn)公分母是否為零，進(jìn)而判斷分式方程的解的情況.題型二分式方程的實(shí)際應(yīng)用角度a行程類問(wèn)題

例10甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，用球拍托著乒乓球從起跑線l起跑，繞過(guò)點(diǎn)P跑回到起跑線（如圖15-3-1），途中乒乓球掉下時(shí)必須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時(shí)少者勝.結(jié)果：甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費(fèi)了6s，乙同學(xué)則順利跑完.事后，甲同學(xué)說(shuō)：“我倆所用的全部時(shí)間的和為50s”，乙同學(xué)說(shuō)：“撿球過(guò)程不算在內(nèi)時(shí)，甲的速度是我的1.2倍”.根據(jù)圖文信息，請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)獲勝?思路導(dǎo)圖設(shè)乙的速度為xm/s，則乙全程用時(shí)s，甲全程用時(shí)s，列出方程解分式方程并檢驗(yàn)，得出用時(shí)少的乙獲勝解：設(shè)乙的速度為xm/s，則甲的速度為1.2xm/s.列方程,得,解得x=2.5.經(jīng)檢驗(yàn)，x=2.5是分式方程的解，且符合題意.∴甲所用時(shí)間為

（s），乙所用時(shí)間為

（s）.∵乙同學(xué)用的時(shí)間少，∴乙同學(xué)獲勝.方法點(diǎn)撥：行程類問(wèn)題經(jīng)常要用分式方程的知識(shí)來(lái)解決.先根據(jù)“撿球過(guò)程不算在內(nèi)時(shí)，甲的速度是我的1.2倍”，設(shè)出乙的速度，從而表示出甲的速度，再由“我倆所用的全部時(shí)間的和為50s”列出方程，最后通過(guò)比較甲、乙用時(shí)的多少而得出結(jié)論.角度b工程類問(wèn)題

例11在某市“五城同創(chuàng)”活動(dòng)中，一項(xiàng)綠化工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包.已知甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要120天，甲工程隊(duì)單獨(dú)工作30天后，乙工程隊(duì)參與合作，兩隊(duì)又共同工作了36天完成了這項(xiàng)工程，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？思路導(dǎo)圖將這項(xiàng)工程的總工作量看作單位1甲工程隊(duì)的工作效率是

設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，甲工程隊(duì)單獨(dú)工作30天完成的工作量為

，甲、乙合作36天完成的工作量為

從而列出方程解分式方程，檢驗(yàn)并得出結(jié)論解：設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天.由題意，得,解得x=80.經(jīng)檢驗(yàn),x=80是分式方程的解，且符合題意.答：乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要80天.方法點(diǎn)撥：本題也可以根據(jù)甲工作（30+36）天，乙工作36天，列出分式方程并求解.單位時(shí)間的工作量即為工作效率，各個(gè)時(shí)間段工作量之和為1，這是列方程最常用的等量關(guān)系.角度c銷售類問(wèn)題例12某商家預(yù)測(cè)一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場(chǎng)，就用13200元購(gòu)進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商家又用28800元購(gòu)進(jìn)了第二批這種襯衫，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但每件貴了10元.（1）該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是多少件？（2）若兩批襯衫按相同的標(biāo)價(jià)銷售，最后剩下的50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后的利潤(rùn)率不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元？分析：（1）設(shè)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是x件，列出分式方程.解這個(gè)方程，即可得出購(gòu)進(jìn)這兩批襯衫的件數(shù)；（2）設(shè)每件襯衫的標(biāo)價(jià)是a元，用a分別表示出兩批襯衫的利潤(rùn)，再根據(jù)總利潤(rùn)不低于42000×25%列出不等式.解這個(gè)不等式即可求出a的值.解：（1）設(shè)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購(gòu)進(jìn)的第二批襯衫是2x件.由題意，得,解得x=120.經(jīng)檢驗(yàn),x=120是分式方程的解,且符合題意.所以，該商家購(gòu)進(jìn)的第一批襯衫是120件.（2）設(shè)每件襯衫的標(biāo)價(jià)是a元.由（1）可得，第一批襯衫的進(jìn)價(jià)為13200÷120=110(元/件)，第二批襯衫的進(jìn)價(jià)為120元/件.方法點(diǎn)撥：在求解利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)，要合理運(yùn)用利潤(rùn)中的基本關(guān)系，如本題中，每件的利潤(rùn)=每件的售價(jià)-每件的進(jìn)價(jià)，售價(jià)=原價(jià)×折扣，總利潤(rùn)=各部分利潤(rùn)之和等.由題意,得120×(a-110)+(240-50)×(a-120)+50×(0.8a-120)≥25%×（13200+28800），解得a≥150.所以，每件襯衫的標(biāo)價(jià)至少是150元.角度d分式方程與方案設(shè)計(jì)問(wèn)題例13某市在道路改造過(guò)程中，需要鋪設(shè)一條長(zhǎng)為1000m的管道，決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成這項(xiàng)工程.已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天多鋪設(shè)20m，且甲工程隊(duì)鋪設(shè)350m所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250m所用的天數(shù)相同.(1)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各鋪設(shè)多少米？(2)如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過(guò)10天，那么為兩工程隊(duì)分配工程量（以百米為單位，取整數(shù)）的方案有幾種？請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)出來(lái).分析：（1）根據(jù)“甲工程隊(duì)鋪設(shè)350m所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250m所用的天數(shù)相同”列出方程并求解，即可得出甲、乙工程隊(duì)每天各鋪設(shè)的米數(shù)；（2）由“要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過(guò)10天”，列出不等式組.解這個(gè)不等式組求出未知數(shù)的值，進(jìn)而確定出分配方案.解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)xm，則乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)（x-20）m.根據(jù)題意，得,解得x=70.經(jīng)檢驗(yàn)，x=70是分式方程的解，且符合題意.所以x-20=70-20=50.答：甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)70m，乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)50m.(2)設(shè)分配給甲工程隊(duì)ym，則分配給乙工程隊(duì)(1000-y)m.由題意，得

解得500≤y≤700.所以分配方案有三種.方案一：分配給甲工程隊(duì)500m，分配給乙工程隊(duì)500m;方案二：分配給甲工程隊(duì)600m，分配給乙工程隊(duì)400m；方案三：分配給甲工程隊(duì)700m，分配給乙工程隊(duì)300m.方法點(diǎn)撥：在實(shí)際問(wèn)題中，列分式方程解應(yīng)用題的方法與列整式方程解應(yīng)用題的方法相同，不同之處在于列分式方程解應(yīng)用題時(shí)，既要檢驗(yàn)解是不是所求分式方程的解，又要檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際意義.解：去分母，得x(x-m)-3(x-1)=x(x-1),即-mx-3x+3=-x.整理，得(2+m)x-3=0.∵關(guān)于x的分式方程x-mx-1-3x=1無(wú)解，∴x=1或x=0.當(dāng)x=1時(shí)，2+m-3=0,解得m=1;當(dāng)x=0時(shí)，-3≠0，無(wú)解；當(dāng)2+m=0，即m=-2時(shí)，方程（2+m）x-3=0無(wú)解.綜上所述，m=1或m=-2.例14若關(guān)于x的分式方程

無(wú)解,求m的值.題型三由分式方程無(wú)解，求分式方程中字母的值方法點(diǎn)撥：分式方程無(wú)解，一般分為兩種情形：一是分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程無(wú)解，二是由分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程的解不是分式方程的解，導(dǎo)致分式方程無(wú)解.解讀中考：中考中對(duì)分式方程的考查主要有以下幾個(gè)方面：一是分式方程的解法;二是由分式方程的解的情況，確定字母的值或取值范圍;三是分式方程的實(shí)際應(yīng)用.若考查解法，則可能以填空題或解答題的形式出現(xiàn)，題目難度不會(huì)很大；但若考查分式方程的解的討論，則難度會(huì)加大，常作為填空題或選擇題的壓軸題出現(xiàn).分式方程的實(shí)際應(yīng)用與不等式等綜合，常以解答題為主，考查的重點(diǎn)是行程問(wèn)題、工作效率問(wèn)題和商品利潤(rùn)問(wèn)題等，題目難度中等.考點(diǎn)一解分式方程

例15(安徽中考)方程

的解是()A.-B.C.-4D.4解析：去分母，得2x+1=3x-3,解得x=4.經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原分式方程的解.故選D.D例16(浙江紹興中考)解分式方程：

解：方程兩邊同乘（x-1），得x-2=4(x-1).整理，得-3x=-2，解得x=.經(jīng)檢驗(yàn)，x=是原分式方程的解.所以，原分式方程的解為x=.方法點(diǎn)撥：解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化思想，即把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后進(jìn)行求解.轉(zhuǎn)化時(shí)，首先找出各分母的最簡(jiǎn)公分母，然后方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，這樣分式方程就化成了整式方程.考點(diǎn)二根據(jù)分式方程解的情況，求字母的值（或取值范圍）

例17(山東濰坊中考)若關(guān)于x的方程

的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A.m＜B.m＜

且m≠C.m＞-D.m＞-且m≠-B解析：去分母，得x+m-3m=3x-9.整理，得2x=-2m+9，解得x.∵關(guān)于x的方程

的解為正數(shù)，∴-2m+9＞0，解得m＜.又∵x=≠3,∴m≠.故m的取值范圍是m＜

且m≠.故選B.

例18(廣西賀州中考)若關(guān)于x的分式方程

的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）A.a≥1B.a＞1C.a≥1且a≠4D.a＞1且a≠4

解析：去分母，得2(2x-a)=x-2

,解得.由題意，得≥0且≠2,解得a≥1且a≠4.故選C.C方法點(diǎn)撥：解含字母的分式方程時(shí)，需將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程進(jìn)行求解，涉及的步驟有去分母和將系數(shù)化為1.去分母時(shí)，方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，求出整式方程的解后，需驗(yàn)證最簡(jiǎn)公分母的值是否等于0；在將系數(shù)化為1時(shí)，方程兩邊同時(shí)除以系數(shù)，系數(shù)可能為0，這時(shí)需要討論方程兩邊同時(shí)除以的數(shù)或整式是否等于0.例19(河北中考)在求3x的倒數(shù)的值時(shí)，嘉淇同學(xué)誤將3x看成了8x，她求得的值比正確答案小5.依上述情形，所列關(guān)系式成立的是()A.B.C.D.B考點(diǎn)三列分式方程

例20(新疆內(nèi)高班中考)兩個(gè)小組同時(shí)從甲地出發(fā)，勻速步行到乙地，甲、乙兩地相距7500m，第一組的步行速度是第二組的1.2倍，并且比第二組早15min到達(dá)乙地.設(shè)第二組的步行速度為xkm/h，根據(jù)題意可列方程是()A.B.C.D.D解析：第二組的步行速度為xkm/h，則第一組的步行速度為1.2xkm/h.由題意，得第一組到達(dá)乙地所用時(shí)間為h，第二組到達(dá)乙地所用時(shí)間為h.∵第一組比第二組早15min（即h）到達(dá)乙地，∴列出方程

故選D.例21(廣東深圳中考)施工隊(duì)要鋪設(shè)一段全長(zhǎng)2000m的管道，因在中考期間需停工兩天，實(shí)際每天施工需比原計(jì)劃多50m，才能按時(shí)完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天施工多少米.設(shè)原計(jì)劃每天施工xm，則根據(jù)題意所列方程正確的是（）A.B.C.D.A解析：原計(jì)劃每天施工xm，則實(shí)際每天施工(x+50)m.根據(jù)題意，可列方程.故選A.例22(山東濱州中考)甲、乙二人做某種機(jī)械零件.已知甲是技術(shù)能手每小時(shí)比乙多做3個(gè)，甲做30個(gè)所用的時(shí)間與乙做