《圓》章節(jié)知識點(diǎn)總結(jié)

《圓》章節(jié)知識點(diǎn)總結(jié)

一、圓的概念圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形，其中定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。以點(diǎn)O為圓心的圓記作“O”，讀作“圓O”。確定圓的基本條件有兩個：圓心和半徑。兩個半徑相等的圓叫做等圓，它們能夠完全重合。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表示。圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。在同圓或等圓中，能過重合的兩條弧叫做等弧。不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓且唯一一個。三角形的三個頂點(diǎn)確定一個圓，經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。與三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)面積最大的圓，圓心是三個角的角平分線的交點(diǎn)，它到三條邊的距離相等。內(nèi)心到三頂點(diǎn)的連線平分這三個角。圓的集合概念有三種：圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；圓的外部可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；圓的內(nèi)部可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合。軌跡形式的概念有五種：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個角的平分線；到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由這個點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系決定的。如果d<r，則點(diǎn)在圓內(nèi)；如果d=r，則點(diǎn)在圓上；如果d>r，則點(diǎn)在圓外。解題時需要注意點(diǎn)和圓的位置不確定性。圓具有對稱性，即圓上任意一點(diǎn)關(guān)于圓心的對稱點(diǎn)在圓上。ircleisasymmetricalshapewithcountlessaxesofsymmetry.Everystraightlinepassingthroughthecenterofthecircleisitsaxisofsymmetry.Acircleisacentralsymmetryfigurewithitscenterasthesymmetrycenter.Whenacirclerotatesanyanglearounditscenter,itcancoincidewiththeoriginalfigure.Thispropertyiscalledtherotationalsymmetryofacircle.Acircleisbothanaxissymmetryfigureandacentralsymmetryfigure.Thepositionrelationshipbetweenalineandacirclecanbedividedintothreetypes:intersection,tangent,andseparation.IftheradiusofcircleOisrandthedistancefromcenterOtolinelisd,then:1.Ifthelineisseparatefromthecircle,thend>r,andtherearenointersectionpoints.2.Ifthelineistangenttothecircle,thend=r,andthereisoneintersectionpoint.3.Ifthelineintersectswiththecircle,thend<r,andtherearetwointersectionpoints.WhentwocircleshaveradiiofRandr,andthedistancebetweentheircentersisd,then:1.Ifthecirclesareexternallyseparated(Figure1),therearenointersectionpoints,andd>R+r.2.Ifthecirclesareexternallytangent(Figure2),thereisoneintersectionpoint,andd=R+r.3.Ifthecirclesintersect(Figure3),therearetwointersectionpoints,andR-r<d<R+r.4.Ifthecirclesareinternallytangent(Figure4),thereisoneintersectionpoint,andd=R-r.5.Ifthecirclesareinternallyseparated(Figure5),therearenointersectionpoints,andd<R-r.Theperpendicularbisectortheoremisveryimportant.Itstatesthatthediameterperpendiculartoachordbisectsthechordandthearcitspans.Thetheoremhasfourcorollaries:1.Thediameterperpendiculartoachord(notthediameteritself)isalsoperpendiculartothechordandbisectsthetwoarcsitspans.2.Theperpendicularbisectorofachordpassesthroughthecenterofthecircleandbisectsthetwoarcsitspans.3.Thediameterthatbisectsoneofthearcsalsobisectsthechordandisperpendiculartoit,anditalsobisectstheotherarc.4.IfABisadiameter,ABisperpendiculartoCD,CE=DE,andarcBC=arcBD,thenarcAC=arcAD.Whensolvingproblemsrelatedtochordsinacircle,itisoftennecessarytouse"thediameterperpendiculartothechord"asanauxiliaryline.Acirclewithitscenterasthevertexofanangleiscalledacentralangle.Thedegreeofacentralangleisequaltothedegreeofthearcitspans.Thecentralangletheoremstatesthatinthesameorequalcircles,equalcentralanglescorrespondtoequalchords,equalarcs,andequalchorddistances.Thistheoremisalsocalledthe1-to-3theorem,whichmeansthatifoneofthefourconclusionsisknowntobeequal,theotherthreecanbededuced.Thatis,if∠AOB=∠DOE,thenAB=DE,OC=OF,andarcBA=arcBD.Ananglewithitsvertexonacircleandbothsidesintersectingthecircleiscalledacircumferentialangle.Thecircumferentialangletheoremstatesthatthecircumferentialanglecorrespondingtothesamearcisequal,regardlessofthecentralangleitcorrespondsto.八、圓內(nèi)接四邊形一個多邊形如果所有頂點(diǎn)都在同一個圓上，那么這個多邊形就是圓的內(nèi)接多邊形，這個圓就是多邊形的外接圓。圓的內(nèi)接四邊形定理指出，圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。另外，圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于他的內(nèi)對角。九、切線的性質(zhì)與判定定理當(dāng)一條直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即直線和圓相切）時，這條直線就是圓的切線，這個唯一的公共點(diǎn)就是切點(diǎn)。切線的判定定理指出，過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理指出，圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。此外，還有兩個推論：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)，過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。這三個定理及推論也稱為二推一定理。在解圓的切線問題時，連接圓心與切點(diǎn)間的線段是常用的輔助線，而作過切點(diǎn)的半徑則是常需要補(bǔ)充的線。切線長定理也是與圓的切線有關(guān)的重要定理。圓的切線長是指從圓外一點(diǎn)引出的與圓相切的線段長度。根據(jù)切線長定理，從圓外一點(diǎn)引出的兩條切線相等，且圓心和圓外這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。圓冪定理是指在圓內(nèi)兩條相交的弦上，交點(diǎn)所分的兩條線段的乘積相等。如果弦與直徑垂直相交，則弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。從圓外一點(diǎn)引出的切線和割線的長度比可以根據(jù)切割線定理來計算。如果引出的是兩條割線，則根據(jù)割線定理，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長度的積相等。當(dāng)兩個圓相切時，連心線必過切點(diǎn)，且垂直平分兩圓的公共弦。根據(jù)兩圓公共弦定理，