《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、圓的概念圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形，其中定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑。以點(diǎn)O為圓心的圓記作“O”，讀作“圓O”。確定圓的基本條件有兩個(gè)：圓心和半徑。兩個(gè)半徑相等的圓叫做等圓，它們能夠完全重合。連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，用符號(hào)“⌒”表示。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧。在同圓或等圓中，能過(guò)重合的兩條弧叫做等弧。不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓且唯一一個(gè)。三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。與三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)面積最大的圓，圓心是三個(gè)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，它到三條邊的距離相等。內(nèi)心到三頂點(diǎn)的連線(xiàn)平分這三個(gè)角。圓的集合概念有三種：圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；圓的外部可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；圓的內(nèi)部可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。軌跡形式的概念有五種：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（也叫中垂線(xiàn)）；到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(xiàn)；到直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是平行于這條直線(xiàn)且到這條直線(xiàn)的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線(xiàn)；到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是平行于這兩條平行線(xiàn)且到兩條直線(xiàn)距離都相等的一條直線(xiàn)。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系決定的。如果d<r，則點(diǎn)在圓內(nèi)；如果d=r，則點(diǎn)在圓上；如果d>r，則點(diǎn)在圓外。解題時(shí)需要注意點(diǎn)和圓的位置不確定性。圓具有對(duì)稱(chēng)性，即圓上任意一點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓上。ircleisasymmetricalshapewithcountlessaxesofsymmetry.Everystraightlinepassingthroughthecenterofthecircleisitsaxisofsymmetry.Acircleisacentralsymmetryfigurewithitscenterasthesymmetrycenter.Whenacirclerotatesanyanglearounditscenter,itcancoincidewiththeoriginalfigure.Thispropertyiscalledtherotationalsymmetryofacircle.Acircleisbothanaxissymmetryfigureandacentralsymmetryfigure.Thepositionrelationshipbetweenalineandacirclecanbedividedintothreetypes:intersection,tangent,andseparation.IftheradiusofcircleOisrandthedistancefromcenterOtolinelisd,then:1.Ifthelineisseparatefromthecircle,thend>r,andtherearenointersectionpoints.2.Ifthelineistangenttothecircle,thend=r,andthereisoneintersectionpoint.3.Ifthelineintersectswiththecircle,thend<r,andtherearetwointersectionpoints.WhentwocircleshaveradiiofRandr,andthedistancebetweentheircentersisd,then:1.Ifthecirclesareexternallyseparated(Figure1),therearenointersectionpoints,andd>R+r.2.Ifthecirclesareexternallytangent(Figure2),thereisoneintersectionpoint,andd=R+r.3.Ifthecirclesintersect(Figure3),therearetwointersectionpoints,andR-r<d<R+r.4.Ifthecirclesareinternallytangent(Figure4),thereisoneintersectionpoint,andd=R-r.5.Ifthecirclesareinternallyseparated(Figure5),therearenointersectionpoints,andd<R-r.Theperpendicularbisectortheoremisveryimportant.Itstatesthatthediameterperpendiculartoachordbisectsthechordandthearcitspans.Thetheoremhasfourcorollaries:1.Thediameterperpendiculartoachord(notthediameteritself)isalsoperpendiculartothechordandbisectsthetwoarcsitspans.2.Theperpendicularbisectorofachordpassesthroughthecenterofthecircleandbisectsthetwoarcsitspans.3.Thediameterthatbisectsoneofthearcsalsobisectsthechordandisperpendiculartoit,anditalsobisectstheotherarc.4.IfABisadiameter,ABisperpendiculartoCD,CE=DE,andarcBC=arcBD,thenarcAC=arcAD.Whensolvingproblemsrelatedtochordsinacircle,itisoftennecessarytouse"thediameterperpendiculartothechord"asanauxiliaryline.Acirclewithitscenterasthevertexofanangleiscalledacentralangle.Thedegreeofacentralangleisequaltothedegreeofthearcitspans.Thecentralangletheoremstatesthatinthesameorequalcircles,equalcentralanglescorrespondtoequalchords,equalarcs,andequalchorddistances.Thistheoremisalsocalledthe1-to-3theorem,whichmeansthatifoneofthefourconclusionsisknowntobeequal,theotherthreecanbededuced.Thatis,if∠AOB=∠DOE,thenAB=DE,OC=OF,andarcBA=arcBD.Ananglewithitsvertexonacircleandbothsidesintersectingthecircleiscalledacircumferentialangle.Thecircumferentialangletheoremstatesthatthecircumferentialanglecorrespondingtothesamearcisequal,regardlessofthecentralangleitcorrespondsto.八、圓內(nèi)接四邊形一個(gè)多邊形如果所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形就是圓的內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓就是多邊形的外接圓。圓的內(nèi)接四邊形定理指出，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。另外，圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于他的內(nèi)對(duì)角。九、切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理當(dāng)一條直線(xiàn)和圓有唯一公共點(diǎn)（即直線(xiàn)和圓相切）時(shí)，這條直線(xiàn)就是圓的切線(xiàn)，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)就是切點(diǎn)。切線(xiàn)的判定定理指出，過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。切線(xiàn)的性質(zhì)定理指出，圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。此外，還有兩個(gè)推論：過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)，過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心。這三個(gè)定理及推論也稱(chēng)為二推一定理。在解圓的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，連接圓心與切點(diǎn)間的線(xiàn)段是常用的輔助線(xiàn)，而作過(guò)切點(diǎn)的半徑則是常需要補(bǔ)充的線(xiàn)。切線(xiàn)長(zhǎng)定理也是與圓的切線(xiàn)有關(guān)的重要定理。圓的切線(xiàn)長(zhǎng)是指從圓外一點(diǎn)引出的與圓相切的線(xiàn)段長(zhǎng)度。根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，從圓外一點(diǎn)引出的兩條切線(xiàn)相等，且圓心和圓外這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。圓冪定理是指在圓內(nèi)兩條相交的弦上，交點(diǎn)所分的兩條線(xiàn)段的乘積相等。如果弦與直徑垂直相交，則弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)。從圓外一點(diǎn)引出的切線(xiàn)和割線(xiàn)的長(zhǎng)度比可以根據(jù)切割線(xiàn)定理來(lái)計(jì)算。如果引出的是兩條割線(xiàn)，則根據(jù)割線(xiàn)定理，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度的積相等。當(dāng)兩個(gè)圓相切時(shí)，連心線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)，且垂直平分兩圓的公共弦。根據(jù)兩圓公共弦定理，