復(fù)變函數(shù)積分變換第1講課件

1積分變換第八章Fourier變換Fourier變換是積分變換中常見的一種變換，它既能夠簡化運(yùn)算

(

如求解微分方程、化卷積為乘積等)，又具有非常特殊的物理意義。

的地位，而且在各種工程技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。因此，F(xiàn)ourier變換不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中具有重要2周期函數(shù)在一定條件下可以展開為Fourier級數(shù)；全實(shí)軸上的非周期函數(shù)不能有Fourier級數(shù)表示；引進(jìn)類似于Fourier級數(shù)的Fourier積分來表示非周期函數(shù)(周期趨于無窮時(shí)的極限形式).所以Fourier變換是在周期函數(shù)的Fourier級數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。3§1Fourier積分公式1.1Recall:周期函數(shù)的Fourier級數(shù)則在的連續(xù)點(diǎn)處有在的間斷處，上式左端為(A)區(qū)間上滿足如下條件(稱為

Dirichlet

條件)：(1)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)只有有限個(gè)極值點(diǎn)(不能震蕩太厲害)

.(

Dirichlet

定理)設(shè)

是以

T

為周期的實(shí)值函數(shù)，且在定理4稱之為基頻。其中,令則

(A)

式變?yōu)镺(A)改寫An5這些簡諧波的(角)頻率分別為一個(gè)基頻的倍數(shù)。頻率成份，其頻率是以基頻為間隔離散取值的。”

這是周期信號的一個(gè)非常重要的特點(diǎn)。認(rèn)為

“

一個(gè)周期為

T

的周期信號并不包含所有的意義周期信號可以分解為一系列固定頻率的簡諧波之和，表明相位反映了在信號中頻率為的簡諧波

這兩個(gè)指標(biāo)完全定量地刻畫了信號的頻率特性。反映了頻率為的簡諧波在信號中振幅所占有的份額；沿時(shí)間軸移動(dòng)的大小。6引進(jìn)復(fù)數(shù)形式對7其中[][]()L,2,1)(1sincos)(1)(1sincos)(1)(122222222220===+==-==-D------òòòòòncdtetfTdttnitntfTcdtetfTdttnitntfTcdttfTcnTTtinTT-nTTtinTTnTTwwwwww8)(122級數(shù)化為復(fù)數(shù)指數(shù)形式：Fourier?ò?￥+-￥=--￥+-￥=ú?ùê?é=ntinTTinntinnedefTecwwtwtt得O分析由即的模與輻角正好是振幅和相位。定義稱為離散振幅頻譜；稱為離散相位頻譜；稱為離散頻譜，記為9通常，函數(shù)f(t)

表示某系統(tǒng)的按時(shí)間變化的性質(zhì)，叫做在時(shí)域中表示的性質(zhì)。而頻譜

描述了這種性質(zhì)在頻域中的表示。因此傅里葉級數(shù)也是一種從時(shí)域到頻域的變換。例求矩形波函數(shù)延拓為Ｔ周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式和離散頻譜．解：不妨令T=4,

1-1otf(t)11-13T=4f4(t)t10則于是11前面計(jì)算出1-13T=4f4(t)tw12即非周期函數(shù)可視為一個(gè)周期為無窮大的“周期函數(shù)”。

對任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來的.13當(dāng)T越來越大時(shí)，取值間隔越來越?。划?dāng)T趨于無窮時(shí)，取值間隔趨向于零，因此，一個(gè)非周期函數(shù)將包含所有的頻率成份。即頻譜將連續(xù)取值。

當(dāng)

時(shí)，頻率特性發(fā)生了什么變化？離散頻譜變成連續(xù)頻譜。結(jié)論其頻譜是以為間隔離散取值的。Fourier

級數(shù)表明周期函數(shù)僅包含離散的頻率成份，分析：14

例如將前例的周期擴(kuò)大一倍,令T=8,得周期為8的周期函數(shù)f8(t)，這時(shí)15則在T=8時(shí),w1-17T=8f8(t)t16如果再將周期增加一倍,令T=16,可計(jì)算出w當(dāng)T趨于無窮時(shí)，取值間隔趨向于零，即頻譜將連續(xù)取值。

將那個(gè)頻率上的輪廓即sinω/ω函數(shù)的形狀看作是方波函數(shù)f(t)的各個(gè)頻率成份上的分布,稱作方波函數(shù)f(t)的傅里葉變換。171.2

Fourier積分公式與Fourier積分存在定理18{O

w1

w2

w3

wn-1wn{w192021Fourier積分公式的三角形式22又考慮到積分23§2Fourier變換2.1Fourier變換的定義(2)Fourier

逆變換(簡稱傅氏逆變換)稱為傅氏變換對，記為與-1(1)Fourier

正變換(簡稱傅氏正變換)定義其中，稱為象原函數(shù)．稱為象函數(shù)，F(xiàn)ourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一種充分條件.24與

Fourier

級數(shù)的物理意義一樣，F(xiàn)ourier

變換同樣稱為振幅譜；稱為相位譜?？坍嬃艘粋€(gè)非周期函數(shù)的頻譜特性，不同的是，非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)取值的。一般為復(fù)值函數(shù)，故可表示為稱為頻譜密度函數(shù)(簡稱為連續(xù)頻譜或者頻譜)；定義反映的是中各頻率分量的分布密度，它

對一個(gè)時(shí)間函數(shù)f(t)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù).25例1求矩形脈沖函數(shù)的付氏變換及其積分表達(dá)式。求Fourier逆變換，即可得到的Fourier積分表達(dá)式。2627tf(t)282.2單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換

在物理和工程技術(shù)中,常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流;在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究此類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).29

在原來電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則

當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.30如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),則得

這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù),簡單記成d-函數(shù):有了這種函數(shù),對于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量,例如點(diǎn)電荷,點(diǎn)熱源,集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.31de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。32

可將d-函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段表示,這個(gè)線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.tOd(t)1(1)

篩選性質(zhì)

性質(zhì)設(shè)函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，且在處連續(xù)，則一般地，若在點(diǎn)連續(xù)，則33

可見d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。(2)對稱性質(zhì)

函數(shù)為偶函數(shù)，即

34(1)單位沖激函數(shù)并不是經(jīng)典意義下的函數(shù)，而是一個(gè)廣義函數(shù)(或者奇異函數(shù))，它不能用通常意義下的“值的對應(yīng)關(guān)系”來理解和使用，而總是通過它的性質(zhì)注來使用它。(2)單位沖激函數(shù)有多種定義方式，前面給出的定義方式是由Dirac(狄拉克)給出的。35

利用篩選性質(zhì)，可得出函數(shù)的

Fourier

變換：[]即與1構(gòu)成Fourier變換對

按照

Fourier

逆變換公式有[

1

]-1

重要公式稱這種方式的

Fourier

變換是一種廣義的Fourier變換。在函數(shù)的

Fourier

變換中，其廣義積分是根據(jù)函數(shù)的注性質(zhì)直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的，36例如常數(shù),符號函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對于古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說,原象函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(w)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對.

在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對可積條件,即不滿足條件37證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例1證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對.證法1：38例2

求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換。tpp-w0w0Ow|F(w)|39例

3

證明：證：4041§3Fourier變換與逆變換的性質(zhì)

這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.1.線性性質(zhì):422.位移性質(zhì):證明：

返回機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束43推論：證明：

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束443.相似性：證明：45例1計(jì)算。

方法1：（先用相似性，再用平移性）46方法2：（先用平移性，再用相似性）474.微分性：

485.積分性：

6.帕塞瓦爾(Parserval)等式49

實(shí)際上,只要記住下面五個(gè)傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.50例2

利用傅氏變換的性質(zhì)求d(t-t0),性質(zhì)像函數(shù)微分性質(zhì)51例3

若f(t)=cosw0t

u(t),求其傅氏變換。（位移性質(zhì)）1)]()([2j00220wwdwwdpwww++-+-=)()j(1)()j(121)(0000wwpdwwwwpdwwwú?ù++++ê?é-+-=F)(j)(wpdw+?tu2ee)()(jj00ww?+=-tutftt527.卷積與卷積定理若已知函數(shù)f1(t),