常見(jiàn)隨機(jī)變量及其分布

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MAV

2008常見(jiàn)隨機(jī)變量及其分布及獨(dú)立性檢驗(yàn)徐德前北京宏志中學(xué)2021年7月27日—

常見(jiàn)隨機(jī)變量的概率及其分布二項(xiàng)分布正態(tài)分布

超幾何分布—二三二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布定義:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)ξ

是一個(gè)隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k

次的n

nk

k n-k概率是

P

(x

=

k

)

=

C

p

q

，（k＝0,1,2,…，n，

q=

1

-

p

）．于是得到隨機(jī)變量ξ

的概率分布如下：ξ01…k…nPC

0

p0qnnC

1

p1qn-1n…Ck

pk

qn-kn…Cn

pn

q

0n記作ξ～B(n，p)，其中n，p

為參數(shù)．二項(xiàng)分布命令binomPdf（二項(xiàng)式Pdf）計(jì)算隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率（點(diǎn)概率）命令binomCdf（二項(xiàng)式Cdf）計(jì)算隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率（累計(jì)概率）命令xxxPdf計(jì)算隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率（點(diǎn)概率）命令xxxCdf計(jì)算隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率（累計(jì)概率）二項(xiàng)分布輸入函數(shù)的三種方式：1.菜單→5概率→5分布→D二項(xiàng)分布PDF/E二項(xiàng)分布CDF二項(xiàng)分布輸入函數(shù)的三種方式：2.目錄鍵→2分布→二項(xiàng)分布PDF、二項(xiàng)分布CDF使用向?qū)Ф?xiàng)分布輸入函數(shù)的三種方式：3.手工輸入（熟練后）二項(xiàng)分布例

1．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是

0

.

8.求這名射手在

10

次射擊中，恰有

8

次擊中目標(biāo)的概率；至少有

8

次擊中目標(biāo)的概率．解：設(shè)X

為擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X～B(10，0.8).問(wèn)題：隨機(jī)變量取何值時(shí)，二項(xiàng)分布的概率最大？一般化的結(jié)果呢？正態(tài)分布bam

,s如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a

<

b

，隨機(jī)變量

X

滿足

P(a

<

X

￡

B)

=

j(x)dx

，(

x-m

)22s

2m

,s其中

j

(x)

=1,

x

?

(-￥

,

+￥

)

，則稱

X

的分布為正態(tài)分布（norma2pse-distribution)

．正態(tài)分布完全由參數(shù)m

和s

確定，記作N

(m,s

2

)．如果隨機(jī)變量X

服從正態(tài)分布，則記為X～

N

(m,s

2

).命令normPdf計(jì)算隨機(jī)變量在某一點(diǎn)的概率（點(diǎn)概率）命令normCdf計(jì)算隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率（累計(jì)概率）正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布注：計(jì)算器中輸入的標(biāo)準(zhǔn)差s

，不是方差s

2

.計(jì)算器還提供泊松分布、t

分布、F

分布、幾何分布等常見(jiàn)隨機(jī)變量概率的運(yùn)算及其逆運(yùn)算，可參考說(shuō)明書。正態(tài)分布在計(jì)算頁(yè)面下正態(tài)分布例

3

某年級(jí)的一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似的服從正態(tài)分布

N

(70,102

)如果規(guī)定低于60

分為不及格，求：成績(jī)不及格的人數(shù)占多少？成績(jī)?cè)?0~90

內(nèi)的學(xué)生占多少？超幾何分布NCn一般地，在含有

M

件次品的

N

件產(chǎn)品中，任取

n

件，其中恰有

X

件次品數(shù)，Ck

Cn-k則事件

{X=k｝發(fā)生的概率為

P(

X

=

k

)=

M N

-M

,

k

=

0,1,

2,,

m

，其中m

=min{M

,n}，且n

￡

N

,M

￡

N

,n,M

,N

?

N

*

．稱分布列為超幾何分布列．說(shuō)明：TI圖形計(jì)算器中并沒(méi)有內(nèi)置超幾何分布的函數(shù)命令.超幾何分布NnM下界上界輸入函數(shù)名稱超幾何分布輸入函數(shù)名稱隨機(jī)變量取值隨機(jī)變量數(shù)組超幾何分布概率數(shù)組輸入函數(shù)公式超幾何分布例

2．在含有

4

件次品的

12

件產(chǎn)品中，任取

3

件，試求：(1)取到的次品數(shù)

X

的分布列及其期望；（2）至少取到1

件次品的概率．超幾何分布超幾何分布超幾何分布注：增加“數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)”頁(yè)面，做出隨機(jī)變量與對(duì)應(yīng)概率的圖象.超幾何分布問(wèn)題1：如何求超幾何分布的方差？問(wèn)題2：隨機(jī)變量取何值時(shí)，超幾何分布的概率最大？可利用cas功能或結(jié)合圖象研究。問(wèn)題3：如果賦值n1

=10,n

=4,m

=8

，發(fā)生了什么？如何解釋你的結(jié)論？如何修改表格中某些函數(shù)？超幾何分布問(wèn)題在哪里？超幾何分布怎樣修改才對(duì)？下界超幾何分布怎樣修改才對(duì)？下界超幾何分布超幾何分布二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）一.

問(wèn)題情境有關(guān)醫(yī)學(xué)研究表明，許多疾病，例如：心臟病、癌癥、腦血管病、慢性阻塞性肺病等都與吸煙有關(guān)，吸煙已成為繼高血壓之后的第二號(hào)全球殺手.這些疾病與吸煙有關(guān)的結(jié)論是怎樣得出的呢？某醫(yī)療機(jī)構(gòu)為了了解呼吸道疾病與吸煙是否有關(guān)，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了515

個(gè)成年人，其中吸煙者220

人，不吸煙者295

人．調(diào)查結(jié)果是：吸煙的220

人中有37

人患呼吸道疾?。ê?jiǎn)稱患?。?83

人未患呼吸道疾?。ê?jiǎn)稱未患?。?；不吸煙的295

人中有21

人患病，274人未患?。畣?wèn)題：根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定“患呼吸道疾病與吸煙有關(guān)”？二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）患病未患病合計(jì)吸煙37183220不吸煙21274295合計(jì)58457515二．探索活動(dòng)二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）三．建構(gòu)數(shù)學(xué)1．獨(dú)立性檢驗(yàn)：（1）假設(shè)H

0

：患病與吸煙沒(méi)有關(guān)系．若將表中“觀測(cè)值”用字母表示，則得下表：患病未患病合計(jì)吸煙aba

+

b不吸煙cdc

+

d合計(jì)a

+

cb

+

da

+

b

+

c

+

d（近似的判斷方法：設(shè)n

=a

+b

+c

+d

，如果H

0

成立，則在吸煙的人中患病的比例與不吸煙的人中患病的比例應(yīng)差不多，由此可得a

ca+

b c

+

d?

，即

a

(c

+d

)?c(a

+b)

ad

-bc

?0

，因此，|

ad

-bc

|

越小，患病與吸煙之間的關(guān)系越弱，否則，關(guān)系越強(qiáng)．）二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）事件

A——某人吸煙，

事件

B——某人患病，事件A-——某人不吸煙，事件B-——某人不患?。僭O(shè)H0：患病與吸煙沒(méi)有關(guān)系，即H0：P(AB)

=

P(A)P(B)．“吸煙且患病”的估計(jì)人數(shù)為n

·

P(AB)?n

·

a

+

b

·

a

+

c

=(a

+

b)(a

+

c)

；n

n

n“吸煙但未患病”的估計(jì)人數(shù)為n

·

P(AB)?n

·

a

+

b

·

b

+d

=(a

+

b)(b

+d

)

；n

n

n“不吸煙但患病”的估計(jì)人數(shù)為n

·

P(AB)?n

·

c

+d

·

a

+

c

=(c

+d

)(a

+c)

；n

n

n“不吸煙且未患病”的估計(jì)人數(shù)為n

·

P(AB)?n

·

c

+d

·

b

+d

=(c

+d

)(b

+d

)

．n

n

n如果實(shí)際觀測(cè)值與假設(shè)求得的估計(jì)值相差不大，就可以認(rèn)為所給數(shù)據(jù)（觀測(cè)值）不能否定假設(shè)H0

．否則，應(yīng)認(rèn)為假設(shè)H0

不能接受，即可作出與假設(shè)H0

相反的結(jié)論．二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）（2）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量如果實(shí)際觀測(cè)值與由事件A、B

相互獨(dú)立的假設(shè)的估計(jì)相差不大，那么，我們就可以認(rèn)為這些差異是由隨機(jī)誤差造成的，假設(shè)不能被所給數(shù)據(jù)否定，否則應(yīng)認(rèn)為假設(shè)不能接受．怎樣刻畫實(shí)際觀測(cè)值與估計(jì)值的差異呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)中采用如下的量（稱為c2統(tǒng)計(jì)量）來(lái)刻畫這個(gè)差異.2卡方統(tǒng)計(jì)量（c

=(觀測(cè)值-預(yù)期值)2預(yù)期值2）來(lái)進(jìn)行估計(jì)．卡方統(tǒng)計(jì)量

χ

公式：nnnn(a

+b)(a

+c)

2(a

+b)(b

+d)

2a

-b

-χ2

=

+(a

+b)(a

+c)(a

+b)(b

+d)nnnn(c

+d)(a

+c)

2(c

+d)(b

+d)

2c

-d

-

+

+(c

+d)(a

+c)(c

+d)(b

+d)n

(ad

-

bc)2(a

+

b)(c

+

d

)(a

+

c)(b+

d

)=（其中n

=a

+b

+c

+d

）二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：一般地，對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值：類A

和類B

（如吸煙與不吸煙），Ⅱ也有兩類取值：類1和類2

（如患呼吸道疾病與不患呼吸道疾?。?，得到如下表所示：Ⅱ類1類2合計(jì)Ⅰ類Aaba

+

b類Bcdc

+

d合計(jì)a

+

cb

+

da

+

b

+

c

+

d推斷“Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系”的步驟為：第一步，提出假設(shè)H0：兩個(gè)分類變量Ⅰ和Ⅱ沒(méi)有關(guān)系；第二步，根據(jù)2×2

列聯(lián)表和公式計(jì)算χ2

統(tǒng)計(jì)量；第三步，查對(duì)課本中臨界值表，作出判斷．二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）利用TI-NSPIRE

CAS

CX進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）創(chuàng)建2×2

列聯(lián)表矩陣（即觀測(cè)矩陣）操作步驟：（菜單→7

矩陣與向量→創(chuàng)建→1矩陣）二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）利用TI-NSPIRE

CAS

CX進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)操作步驟：（菜單→6

統(tǒng)計(jì)→7統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)→8

χ2

雙因素檢驗(yàn)→填寫觀測(cè)矩陣名稱二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）利用TI-NSPIRE

CAS

CX進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）利用TI-NSPIRE

CAS

CX進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）利用TI-NSPIRE

CAS

CX進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)二 獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方檢驗(yàn)）例題2生物學(xué)上對(duì)于人類眼睛的顏色是否與頭發(fā)的顏色有關(guān)進(jìn)行了調(diào)研，以下是一次調(diào)查結(jié)果。根據(jù)上述數(shù)據(jù)檢驗(yàn)眼睛的顏色是否與頭發(fā)的顏色有關(guān)？眼睛頭發(fā)眼睛顏色頭發(fā)顏色藍(lán)色棕色綠色淡褐色黑色2068515金色9471610棕色841192954紅