趣味組合數(shù)學(xué)和幾何“衡水賽”一等獎

第三講趣味幾何選修課：趣味幾何1）找次品2）抽屜原理3）斐波那契數(shù)列4）黃金分割5）經(jīng)濟(jì)包裝6）哥德堡七橋問題1)稱次球27只球中有一只次品，這只次品外觀上與正品毫無差別，只是略輕一些，現(xiàn)有一架天平，要把次球找出來，至少需要稱幾次？（1）現(xiàn)將27只球分成3堆，一堆9個，稱其中2堆，如果一樣重，則次品在另一堆，否則在輕的一堆。（2）將有次品的一堆分成三堆，一堆3個，按上面的方法稱一次，找出有次品的一堆。（3）將有次品的一堆3個，拿2個來稱，就能找出次品了。2）檢查次鋼珠某店進(jìn)了十箱鋼珠，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，每顆10克。但后來知道，其中一箱為次品。次鋼珠的外觀與正品毫無差別，只是每顆少了1克。問怎樣才能迅速簡便把這箱珍珠找出來？

邊長為1的正方形中，任意放入9個點，求證這9個點中任取3個點組成的三角形中，至少有一個的面積不超過1/8.7）正方形的面積解：將邊長為1的正方形等分成邊長為的四個小正方形，視這四個正方形為抽屜，9個點任意放入這四個正方形中，據(jù)形式2，必有三點落入同一個正方形內(nèi).現(xiàn)特別取出這個正方形來加以討論.把落在這個正方形中的三點記為D、E、F.通過這三點中的任意一點（如E）作平行線，如圖可知：×h＋＝＝S△DEF＝S△DEG＋S△EFG≤EDFG魔術(shù)師的地毯

一日，魔術(shù)師拿著一塊8×8米的正方形地毯到裁縫店，要求把它改成13×5米的長方形地毯。

裁縫師心里暗笑，這家伙是不是連小學(xué)都沒畢業(yè)，這么簡單的數(shù)學(xué)題都不會,8×8=64，而13×5=65，面積相差1平方米，怎么可能改呢？面積少了1面積多了1黃金分割的應(yīng)用什么是黃金分割？黃金分割是公元前六世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的，后來古希臘美學(xué)家柏拉圖將此稱為黃金分割。黃金分割是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1。什么是黃金分割？形成任何穩(wěn)定的粒子總要遵循自然界最佳黃金分割原理。該原理有一個經(jīng)典的方程式：（1+X）（1-X）＝X

從中解出最佳分割解X＝0.618，1-X=0.382。其中0.382是最基本的分割，不能再少了。

這就是黃金分割原理的實質(zhì)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用五角星中可以找到的所有線段之間的長度關(guān)系都是符合黃金分割比的日常生活中的應(yīng)用黃金矩形(GoldenRectangle)的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊1.618倍。我們的國旗就是黃金矩形。日常生活中的應(yīng)用根據(jù)廣泛調(diào)查，所有讓人感到賞心悅目的矩形，包括電視屏幕、寫字臺面、書籍、門窗、火柴盒、標(biāo)準(zhǔn)紙張等，其短邊與長邊之比大多為0.618。建筑中的應(yīng)用世界上最有名的建筑中幾乎都包含“黃金分割比”。建筑中的應(yīng)用無論是古埃及的金字塔、古希臘的帕特農(nóng)神殿、印度泰姬陵、中國故宮、法國巴黎圣母院這些著名的固態(tài)建筑還是遍布全球的眾多優(yōu)秀近現(xiàn)代建筑，盡管其風(fēng)格各異，但在構(gòu)圖布局設(shè)計方面都有意無意的運(yùn)用了黃金分割法則，給人以整體上的和諧與悅目之美。自然中的應(yīng)用就連植物界也采用黃金分割，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，發(fā)現(xiàn)上下層中相鄰的兩片葉子之間約成137.5°這是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。很多葉子的主葉脈與整個葉子長度之比約為0.618。自然中的應(yīng)用動物界，形體優(yōu)美的動物形體，如馬、騾、獅、虎、豹、犬等，凡是看上去健美的，其身體的長與寬的比例也大體上接近黃金分割。蝴蝶身長與雙翅展開后的長度紙幣也接近0.618。自然中的應(yīng)用人體中的應(yīng)用人們發(fā)現(xiàn)，在人體中包含著多種“黃金分割”的比例因素，至少可以找出18個“黃金點”、15個“黃金矩形”、6個“黃金指數(shù)”、3個“黃金三角”。人體中的應(yīng)用

※人的肚臍位于身長的0.618處※咽喉位于肚臍與頭頂長度的0.618處※膝關(guān)節(jié)位于肚臍與足底長度的0.618※肘關(guān)節(jié)位于肩關(guān)節(jié)與指頭長度的0.618處生命中的應(yīng)用在人的生命程序DNA分子中，也包含著“黃金分割比”。它的每個雙螺旋構(gòu)中都是由長34個埃與寬21個埃之比組成的它們的比率為1.6190476，非常接近黃金分割的1.618。藝術(shù)中的應(yīng)用著名油畫《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的頭和肩在整幅畫面中完美的體現(xiàn)了黃金分割，使得整幅油畫看起來那么和諧和完美。藝術(shù)中的應(yīng)用另一些著名油畫中也都存在著完美的“黃金矩形”、“黃金三角”、“黃金五角星”，使畫面看起來和諧。藝術(shù)中的應(yīng)用音樂家發(fā)現(xiàn)，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1時，奏出來的音調(diào)最和諧、最悅耳。小說、戲劇的高潮在整個作品的0.618處較好。武器中的應(yīng)用當(dāng)發(fā)射子彈的步槍剛剛制造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學(xué)合理，很不方便于抓握和瞄準(zhǔn)。到了1918年，一個名叫阿爾文·約克的美遠(yuǎn)征軍下士，對這種步槍進(jìn)行了改造，改進(jìn)后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。1）經(jīng)濟(jì)包裝12）經(jīng)濟(jì)包裝21）蜘蛛抓蒼蠅2）螞蟻找路徑有一個鐵絲做成的長方體框架的長、寬、高分別為5厘米，3厘米，4厘米，如下圖所示。一只螞蟻從某個頂點出發(fā)地沿棱爬行，線路不能重復(fù)，它能爬行的最長距離為多少厘米？5×4+4×4+3=39厘米哥德堡七橋問題在歐洲的普魯士哥尼斯堡鎮(zhèn)上有一個小島，普里格爾河蜿蜒其間，河岸與島嶼間有七座橋相連，在18世紀(jì)，有人提出：能否不重復(fù)地一次接連通過每座橋？歐拉：“一筆畫圖”的規(guī)律規(guī)律1：凡能一筆畫的圖形必須是一個連通圖；規(guī)律2：凡能一筆畫的圖形，與偶點個數(shù)無關(guān)，與奇點個數(shù)有關(guān)，其個數(shù)是0或2.讓我們先來了解兩個新概念1、奇點：有奇數(shù)條邊相連的點2、偶點：有偶數(shù)條邊相連的點怎樣走才能不重復(fù)不遺漏地逛完整個超市？家電區(qū)蔬菜區(qū)水果區(qū)零食區(qū)日常用品區(qū)服裝區(qū)文具區(qū)下面是一公園的平面圖，要使游客走遍每一條路，且不重復(fù)，問出入口應(yīng)設(shè)在哪里？2）公園出入口甲乙兩個郵遞員去送信，兩人同時出發(fā)以同樣的速度走遍所有的街道，甲從A點出發(fā)，乙從B點出發(fā)，最后都回到郵局(C點)。如果要選擇最短的線路，誰先回到郵局？3）郵遞員送信14）郵遞員送信2

下圖為郵遞員負(fù)責(zé)的郵區(qū)