新湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修·第二冊3.3正態(tài)分布 課件（共24張PPT）

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3．3正態(tài)分布

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點

要點一正態(tài)曲線與正態(tài)分布

函數(shù)p(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ(σ＞0，μ∈R)為參數(shù)，p(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.此時我們稱隨機變量X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，簡記為X～________．

批注概率密度曲線能反映隨機變量X的取值規(guī)律以及它取值在某個區(qū)間的概率，它所起到的作用與離散型隨機變量分布列的作用是相同的．

N(μ，σ2)

要點二正態(tài)分布密度曲線的特點

1．曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

2．曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對稱；

3．p(x)在________處達到最大值；

4．當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；

5．σ越大，正態(tài)曲線越扁平，σ越小，正態(tài)曲線越尖陡；

6．曲線與x軸之間所夾區(qū)域的面積等于________．

x＝μ

x＝μ

1

要點三正態(tài)分布的均值與方差

若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝________，D(X)＝________．

批注特別地，數(shù)學(xué)期望μ＝0，方差σ2＝1時的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布．

要點四正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

1．P(μ－σ5)，則μ＝________．

2

解析：因為P(X5)，故μ＝＝2.

題型探究·課堂解透

題型1正態(tài)曲線的應(yīng)用

例1已知某地農(nóng)民工年均收入ξ服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)圖象如圖所示．

(1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達式；

(2)求出總體隨機變量的期望與方差．

解析：(1)從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝8000對稱，最大值為，

所以μ＝8000，

由＝，解得σ＝500，

所以概率密度函數(shù)的解析式為P(x)＝＝，x∈(－∞，＋∞)，

(2)則總體隨機變量的均值為8000，方差為250000.

方法歸納

正態(tài)密度函數(shù)解析式的求法

利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實質(zhì)，主要有兩點：一是對稱軸x＝μ，二是最值，這兩點確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入便可求出相應(yīng)的解析式．

鞏固訓(xùn)練1(多選)某市高二期末質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布),則由如圖所示曲線可得下列說法中正確的項是()

A．甲科總體的標準差最小

B．丙科總體的平均數(shù)最小

C．乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中

D．甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同

答案：AD

解析：由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.

題型2正態(tài)分布的概率計算

例2設(shè)X～N(1，22)，試求：

(1)P(－1＜X≤3)；

(2)P(3＜X≤5)．

解析：因為X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.

(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.

(2)因為P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)

＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]

＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]

≈(0.9545－0.6827)＝0.1359.

方法歸納

正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略

鞏固訓(xùn)練2在某次測驗中，測驗結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(80，σ2)．若P(ξ>90)＝0.2，則P(7090)－P(ξ<80)]

＝2(1－0.2－0.5)

＝0.6.

題型3正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用

例3某車間生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機抽取10個零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)據(jù)如下(單位：cm)：

979798102105107108109113114

設(shè)這10個數(shù)據(jù)的平均值為μ，標準差為σ.

(1)求μ與σ；

(2)假設(shè)這批零件的內(nèi)徑Z(單位：cm)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．

①從這批零件中隨機抽取5個，設(shè)這5個零件中內(nèi)徑小于87cm的個數(shù)為X，求E(4X＋3)；

②若該車間又新購一臺新設(shè)備，安裝調(diào)試后，試生產(chǎn)了5個零件，測量其內(nèi)徑(單位：cm)分別為86，95，103，109，118.以原設(shè)備生產(chǎn)性能為標準，試問這臺設(shè)備是否需要進一步調(diào)試？說明理由．

參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973，0.99734≈0.99.

解析：(1)μ＝(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，σ2＝(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，則σ＝6.

(2)①∵Z服從正態(tài)分布N(105，36)，

∴P(Z<87)＝P(Z<μ－3σ)≈0.5－＝0.00135，則X～B(5，0.00135)，

∴E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝4×5×0.00135＋3＝3.027.

②∵Z服從正態(tài)分布N(105，36)，

∴P(87≤Z≤123)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973，

∴5個零件中恰有一個內(nèi)徑不在[μ－3σ，μ＋3σ]的概率為×(1－0.9973)＝0.013355，

∵86[87，123]，∴試生產(chǎn)的5個零件就出現(xiàn)了1個不在[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)，

出現(xiàn)的頻率是0.013355的15倍左右，根據(jù)3σ原則，需要進一步調(diào)試．

方法歸納

正態(tài)曲線的應(yīng)用及求解策略

解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想．

鞏固訓(xùn)練3在某校舉行的一次數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績X近似服從正態(tài)分布N(70，100)．已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有16名．

(1)試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少？

(2)若該校計劃獎勵競賽成績在80分以上(含80分)的學(xué)生，試問此次競賽獲獎勵的學(xué)生約為多少人？

附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.

解析：(1)設(shè)參賽學(xué)生的成績?yōu)閄，因為X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，則

P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50<X<90)]＝[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝×(1－0.955)＝0.0225，

16÷0.