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文檔簡介

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示共線向量定理:復習：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標表示xyo問題：

我們知道，平面內的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示（平面向量基本定理）.對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？xyzOQP一、空間向量的正交分解

給定一個空間坐標系和向量且設為空間兩兩垂直的向量，設點Q為點P在所確定平面上的正投影由平面向量基本定理有一、空間向量的正交分解xyzQPO

由此可知,如果是空間兩兩垂直的向量,那么,對空間任一向量,存在一個有序實數組{x,y,z}使得我們稱為向量在上的分向量.二、空間向量基本定理：都叫做基向量.注:

如果三個向量不共面,那么對空間任一向量,存在有序實數組{x,y,z}使探究：在空間中,如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的向量,你能得出類似的結論嗎？（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底.特別提示：對于基底{a,b,c},除了應知道a,b,c不共面，還應明確：（2）由于可視為與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,所以三個向量不共面,就隱含著它們都不是.（3）一個基底是指一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關連的不同概念.三、空間直角坐標系

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立一個空間直角坐標系O--xyzxyze1e2e3O

在空間直角坐標系O--xyz中，對空間任一向量,平移使其起點與原點o重合,得到向量OP=p由空間向量基本定理可知,存在有序實數組{x,y,z}使p=xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3

在空間直角坐標系O–x

y

z

中，對空間任一點P,對應一個向量,于是存在唯一的有序實數組x,y,z,使(如圖).

顯然,向量的坐標，就是點P在此空間直角坐標系中的坐標(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是說,以O為起點的有向線段(向量)的坐標可以和終點的坐標建立起一一對應的關系,從而互相轉化.

我們說,點P的坐標為(x,y,z),記作P(x,y,z)，其中x叫做點P的橫坐標,y叫做點P的縱坐標,z叫做點P的豎坐標.e1e2e3例題講解1、已知向量{a，b，c}是空間的一個基底．求證：向量a+b，a-b，c能構成空間的一個基底．練習練習2練習3ABCOA/B/C/O/G小結：

如果三個向量不共面,那么對空間

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