《復(fù)變函數(shù)與積分變換》教學(xué)大綱（40學(xué)時(shí)2.5學(xué)分）

PAGE－PAGE6－《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程教學(xué)大綱課程名稱：復(fù)變函數(shù)與積分變換FunctionsofComplexVariablesandIntegralTransformations課程代碼：0601學(xué)分?jǐn)?shù)：2.5學(xué)分學(xué)時(shí)數(shù)：40學(xué)時(shí)（理論課40學(xué)時(shí)+實(shí)踐課0學(xué)時(shí)）課程類別：必修適用專業(yè)/開(kāi)課對(duì)象：自動(dòng)化、測(cè)控技術(shù)與儀器、飛行器質(zhì)量與可靠性等專業(yè)開(kāi)課單位：理學(xué)院一、課程性質(zhì)與目標(biāo)課程性質(zhì)：《復(fù)變函數(shù)與積分變換》是高等院校工科各專業(yè)的一門重要的必修課，是繼《高等數(shù)學(xué)》課程之后的課程。本課程主要講授復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)專業(yè)課提供必要的工具。課程目標(biāo)：本課程是微積分學(xué)在復(fù)數(shù)域上的推廣和發(fā)展，通過(guò)復(fù)變函數(shù)論的學(xué)習(xí)能使學(xué)生對(duì)微積分學(xué)的某些內(nèi)容加深理解，提高認(rèn)識(shí)。熟練掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和基本方法，對(duì)解析函數(shù)、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數(shù)的泰勒展式與洛朗展式、留數(shù)理論、傅里葉變換、拉普拉斯變換等有較深入的理解，并能用來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。具體教學(xué)目標(biāo)可分解為以下三點(diǎn)：（1）使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的相關(guān)概念，在此基礎(chǔ)上利用復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)和有關(guān)定理，開(kāi)展復(fù)變函數(shù)的微積分計(jì)算，并將復(fù)變函數(shù)進(jìn)行級(jí)數(shù)表示，并能夠在復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)上開(kāi)展傅里葉變換和拉普拉斯變換。（2）培養(yǎng)學(xué)生在掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換基礎(chǔ)概念、基本定理和基本公式與方法的基礎(chǔ)上，利用復(fù)變函數(shù)與積分變換這一種有力工具，在流體力學(xué)、自動(dòng)控制等工程技術(shù)領(lǐng)域進(jìn)行相關(guān)的分析計(jì)算，來(lái)解決工程實(shí)踐問(wèn)題。（3）通過(guò)教學(xué)與練習(xí)，在使學(xué)生理論知識(shí)得到鞏固和升華的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神以及溝通交流、自我學(xué)習(xí)的能力。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，培養(yǎng)較好的科學(xué)素養(yǎng)，確立起用馬克思主義辯證法去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的思想基礎(chǔ)。課程教學(xué)目標(biāo)對(duì)畢業(yè)要求的支撐關(guān)系課程教學(xué)目標(biāo)畢業(yè)要求目標(biāo)1：使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的相關(guān)概念，在此基礎(chǔ)上利用復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)和有關(guān)定理，開(kāi)展復(fù)變函數(shù)的微積分計(jì)算，并將復(fù)變函數(shù)進(jìn)行級(jí)數(shù)表示，并能夠在復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)上開(kāi)展傅里葉變換和拉普拉斯變換。1．工程知識(shí)：能夠?qū)?shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程基礎(chǔ)和專業(yè)知識(shí)用于解決各種科學(xué)問(wèn)題或復(fù)雜工程問(wèn)題。目標(biāo)2：培養(yǎng)學(xué)生在掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換基礎(chǔ)概念、基本定理和基本公式與方法的基礎(chǔ)上，利用復(fù)變函數(shù)與積分變換這一種有力工具，在流體力學(xué)、自動(dòng)控制等工程技術(shù)領(lǐng)域進(jìn)行相關(guān)的分析計(jì)算，來(lái)解決工程實(shí)踐問(wèn)題。2．問(wèn)題分析：能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)、自然科學(xué)基本原理和計(jì)算思維，并通過(guò)文獻(xiàn)研究、識(shí)別、表達(dá)、分析復(fù)雜工程實(shí)踐問(wèn)題，以獲得有效結(jié)論。3．工程與社會(huì)：具有追求創(chuàng)新的態(tài)度和意識(shí)，掌握基本的創(chuàng)新方法，以及綜合運(yùn)用理論和技術(shù)手段解決工程問(wèn)題的能力，在其過(guò)程中能夠綜合考慮社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、環(huán)境、法律、安全、健康、倫理等制約因素。目標(biāo)3：通過(guò)教學(xué)與練習(xí)，在使學(xué)生理論知識(shí)得到鞏固和升華的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神以及溝通交流、自我學(xué)習(xí)的能力。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，培養(yǎng)較好的科學(xué)素養(yǎng)，確立起用馬克思主義辯證法去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的思想基礎(chǔ)。4。研究：能夠基于科學(xué)原理并采用科學(xué)方法對(duì)復(fù)雜工程問(wèn)題進(jìn)行研究，包括設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、分析和解釋數(shù)據(jù)、并通過(guò)信息綜合得到合理有效的結(jié)論。二、本課程與其他課程的關(guān)系本課程的先修課程：高等數(shù)學(xué)（理工類）（A）I，高等數(shù)學(xué)（理工類）（A）II；本課程的后繼課程：信號(hào)與系統(tǒng)三、課程內(nèi)容、基本要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)及學(xué)時(shí)分配序號(hào)教學(xué)內(nèi)容基本要求及重點(diǎn)和難點(diǎn)學(xué)時(shí)教學(xué)方式對(duì)應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)1復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)基本要求：理解復(fù)數(shù)的概念及三種表示法；掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及乘方、開(kāi)方運(yùn)算及它們的幾何意義，會(huì)進(jìn)行一些不太復(fù)雜的運(yùn)算；掌握用復(fù)數(shù)解決幾何問(wèn)題的思想和方法；了解復(fù)平面上點(diǎn)集的一般概念，掌握用復(fù)數(shù)方程來(lái)表示常用曲線及用不等式表示區(qū)域的方法；理解復(fù)變函數(shù)及映射的概念，復(fù)變函數(shù)與一對(duì)二元實(shí)函數(shù)的關(guān)系；知道復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)。重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾種表示，復(fù)數(shù)的乘積、商、乘冪、方根運(yùn)算；區(qū)域的相關(guān)概念，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)。難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的方根計(jì)算；復(fù)變函數(shù)的極限。4課堂講授+課后自學(xué)+課后作業(yè)1，32解析函數(shù)基本要求：理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，掌握求導(dǎo)的方法；理解解析函數(shù)的定義，掌握函數(shù)解析的充要條件，會(huì)判斷一個(gè)函數(shù)是否解析；了解指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)的定義，以及它們的解析性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)。重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，解析函數(shù)的概念，柯西-黎曼條件；指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及解析性。難點(diǎn)：柯西-黎曼條件；初等函數(shù)的性質(zhì)與解析性。4課堂講授+課后自學(xué)+課后作業(yè)1，33復(fù)變函數(shù)的積分基本要求：了解復(fù)變函數(shù)積分的概念，積分的存在性及計(jì)算公式，復(fù)變函數(shù)積分與兩個(gè)二維曲線積分的關(guān)系；理解柯西—古薩基本定理，掌握積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，了解原函數(shù)與不定積分的概念；理解復(fù)合閉路定理及柯西積分公式，會(huì)計(jì)算某些封閉曲線的積分；理解高階導(dǎo)數(shù)公式（證明不作要求），會(huì)應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算某些積分；了解調(diào)和函數(shù)的概念，掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，能由解析函數(shù)實(shí)（虛）部求虛（實(shí)）部。重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)積分的定義及計(jì)算，柯西-古薩基本定理，復(fù)合閉路原理；解析函數(shù)的積分公式，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式；調(diào)和函數(shù)的定義，調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系。難點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)積分的定義與計(jì)算；由解析函數(shù)的實(shí)（虛）部求虛（實(shí)）部。6課堂講授+課后自學(xué)+課后作業(yè)1，2，34解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法基本要求：知道復(fù)數(shù)列收斂的概念；了解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的有關(guān)定理，能判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性；理解阿貝爾定理，了解冪級(jí)數(shù)的收斂情況，掌握求冪級(jí)數(shù)收斂圓的方法，知道冪級(jí)數(shù)在收斂域的性質(zhì)；理解復(fù)變函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的條件，熟悉幾種初等函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式；理解洛朗級(jí)數(shù)的概念及其收斂域，能熟練地把一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)在不同的圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)；了解孤立奇點(diǎn)及其分類，掌握其判斷方法。重點(diǎn)：復(fù)數(shù)列、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)；幾個(gè)特殊函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式，在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)；可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)的概念及判斷。難點(diǎn)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂、條件收斂、發(fā)散；用間接法將復(fù)變函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)；將復(fù)變函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)；判別奇點(diǎn)的類型。6課堂講授+課后自學(xué)+課后作業(yè)1，2，35留數(shù)理論及其應(yīng)用基本要求：了解孤立奇點(diǎn)及其分類，掌握其判斷方法；掌握留數(shù)定理；掌握求孤立奇點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算，能用留數(shù)定理求閉曲線的積分；知道留數(shù)定理在某些類型的定積分的應(yīng)用。重點(diǎn)：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)的概念及判斷留數(shù)的計(jì)算方法，利用留數(shù)定理求閉合回路積分。難點(diǎn)：判別奇點(diǎn)的類型；求留數(shù)的方法。4課堂講授+課后自學(xué)+課后作業(yè)1，26傅里葉變換基本要求：知道周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及其復(fù)數(shù)形式；理解傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉積分與傅里葉變換的概念，并能夠進(jìn)行求解，掌握單位脈沖函數(shù)的概念和性質(zhì)，能夠?qū)挝幻}沖函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換；掌握傅里葉變換的基本性質(zhì)和定理。重點(diǎn)：傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉積分與傅里葉變換的概念，單位脈沖函數(shù)的概念和性質(zhì)，單位脈沖函數(shù)的傅里葉變換，傅里葉變換的基本性質(zhì)和卷積定理。難點(diǎn)：傅里葉變換的基本性質(zhì)和卷積定理。8課堂講授+課后自學(xué)+課后作業(yè)1，2，37拉普拉斯變換基本要求：理解拉普拉斯變換的概念，注意它與傅里葉變換的區(qū)別、聯(lián)系；掌握拉普拉斯線性與相似性質(zhì)、微分性質(zhì)、延遲與位移性質(zhì)，熟悉卷積定理，能夠進(jìn)行卷積計(jì)算；掌握求拉普拉斯變換的方法；能熟練應(yīng)用拉普拉斯變換求解微分方程或微分方程組來(lái)解決工程實(shí)踐問(wèn)題。重點(diǎn)：理解拉普拉斯變換的概念，拉普拉斯線性與相似性質(zhì)、微分性質(zhì)、延遲與位移性質(zhì)，卷積定理、卷積計(jì)算，拉普拉斯逆變換，利用拉普拉斯變換解決工程實(shí)踐問(wèn)題。難點(diǎn)：拉普拉斯變換性質(zhì)，卷積定理；拉普拉斯逆變換，利用拉普拉斯變換解決工程實(shí)踐問(wèn)題。8課堂講授+課后自學(xué)+課后作業(yè)1，2，3合計(jì)40四、課內(nèi)實(shí)踐內(nèi)容與要求無(wú)五、課程的考核1.考核方式：考查課2.考核形式：課程考核形式由課后作業(yè)、課堂表現(xiàn)、出勤及期末考核構(gòu)成，期末考核采用書(shū)面閉卷方式進(jìn)行考核。3.成績(jī)構(gòu)成：（1）本課程綜合成績(jī)由平時(shí)成績(jī)和末考卷面成績(jī)構(gòu)成，其中，期末考卷面成績(jī)占總成績(jī)的70%，平時(shí)成績(jī)占總成績(jī)的30%；

（2）平時(shí)成績(jī)由課后作業(yè)、課堂表現(xiàn)、出勤三項(xiàng)成績(jī)構(gòu)成，其中課后作業(yè)占平時(shí)成績(jī)的1/3，課堂表現(xiàn)占平時(shí)成績(jī)的1/3，出勤占平時(shí)成績(jī)的1/3。課程考核形式與教學(xué)目標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系編號(hào)課程教學(xué)目標(biāo)考查方式與考查點(diǎn)占比1目標(biāo)1：使學(xué)生掌握復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)的相關(guān)概念，在此基礎(chǔ)上利用復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)和有關(guān)定理，開(kāi)展復(fù)變函數(shù)的微積分計(jì)算，并將復(fù)變函數(shù)進(jìn)行級(jí)數(shù)表示，并能夠在復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)上開(kāi)展傅里葉變換和拉普拉斯變換。隨堂提問(wèn)、隨堂測(cè)試、期末閉卷考試（填空題、解答題）復(fù)變函數(shù)的各類積分、級(jí)數(shù)理論、留數(shù)理論，復(fù)數(shù)的表示與基本計(jì)算，傅里葉變換與拉普拉斯變換。50%2目標(biāo)2：培養(yǎng)學(xué)生在掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換基礎(chǔ)概念、基本定理和基本公式與方法的基礎(chǔ)上，利用復(fù)變函數(shù)與積分變換這一種有力工具，在流體力學(xué)、自動(dòng)控制等工程技術(shù)領(lǐng)域進(jìn)行相關(guān)的分析計(jì)算，來(lái)解決工程實(shí)踐問(wèn)題。隨堂提問(wèn)、隨堂測(cè)試、期末閉卷考試（解答題）針對(duì)具體函數(shù)，判斷函數(shù)是否可導(dǎo)、是否解析；將函數(shù)在指定區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)形式，復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法的靈活運(yùn)用，傅里葉變換與拉普拉斯變換的應(yīng)用。30%3目標(biāo)3：通過(guò)教學(xué)與練習(xí)，在使學(xué)生理論知識(shí)得到鞏固和升華的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神以及溝通交流、自我學(xué)習(xí)的能力。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，培養(yǎng)較好的科學(xué)素養(yǎng)，確立起用馬克思主義辯證法去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的思想基礎(chǔ)。隨堂提問(wèn)、隨堂測(cè)試、期末閉卷考試（解答題）結(jié)合具體函數(shù)判斷奇點(diǎn)類型，求留數(shù)與積分。20%六、教學(xué)說(shuō)明在授課過(guò)程中，打破以教師講授為主的模式，教師圍繞教學(xué)內(nèi)容，提出問(wèn)題，發(fā)揮學(xué)生參與的主動(dòng)性，通過(guò)互動(dòng)的探討學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的能力；使學(xué)生清楚了解由客觀世界-數(shù)學(xué)抽象-數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程及關(guān)系，在講解基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念與應(yīng)用背景的同時(shí)，也要注重使學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)研究思想方法怎樣從原始的問(wèn)題演化發(fā)展而來(lái)的。重點(diǎn)講解和數(shù)學(xué)其他課程（如高等數(shù)學(xué)等）的不同之處。在講授基礎(chǔ)理論和基本技能的同時(shí)，加強(qiáng)學(xué)生在應(yīng)用方面的培養(yǎng)。如在講解留數(shù)的應(yīng)用時(shí)，除重點(diǎn)介紹留數(shù)計(jì)算在實(shí)積分中應(yīng)用之外，還介紹留數(shù)計(jì)算在數(shù)字濾波器性能分析和形狀設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。在講解積分變換時(shí)，重點(diǎn)介紹傅里葉變換在現(xiàn)代信號(hào)處理的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)傅里葉變換在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中重要地位，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的興趣。在教學(xué)中，適當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，不但能夠加強(qiáng)對(duì)復(fù)變函數(shù)論中的抽象概念的直觀認(rèn)識(shí)，而且可以提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的學(xué)習(xí)興趣，誘導(dǎo)學(xué)生深入探討更廣泛的問(wèn)題。通過(guò)課程的教學(xué)，使學(xué)生的能力和素質(zhì)得到鍛煉：1.獨(dú)立獲取知識(shí)的能力——通過(guò)積分理論、級(jí)數(shù)理論、留數(shù)理論、傅里葉變換與拉普拉斯變換等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，逐步掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，閱讀并理解相當(dāng)于大學(xué)數(shù)學(xué)水平的數(shù)學(xué)類教材、參考書(shū)和科技文獻(xiàn)，不斷地?cái)U(kuò)展知識(shí)面，增強(qiáng)獨(dú)立思考的能力，更新知識(shí)結(jié)構(gòu)。2.邏輯思維和推理的能力——運(yùn)用復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和基本觀點(diǎn)，通過(guò)觀察、分析、綜合、演繹、歸納等方法培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力，并對(duì)所涉問(wèn)題有一定邏輯推理能力。3.分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力——根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特征、性質(zhì)以及實(shí)際情況，抓住主要矛盾，進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和基本數(shù)學(xué)方法進(jìn)行描述，運(yùn)用所學(xué)的復(fù)變函數(shù)與積分變換理論和研究方法進(jìn)行分析、研究。4.求實(shí)精神——通過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生追求真理的勇氣、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度和刻苦鉆研的作風(fēng)。5.創(chuàng)新意識(shí)——通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的研究方法、數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史以及數(shù)學(xué)家的成長(zhǎng)經(jīng)歷等，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立科學(xué)的世界觀，激發(fā)學(xué)生的求知熱情、探索精神、創(chuàng)新欲望，以及敢于向舊觀念挑戰(zhàn)的精神。七、建議教材與教學(xué)參考書(shū)