中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難題型突破類型一最優(yōu)方案問題

類型一最優(yōu)方案問題例1．某商品的進價為每件40元．當(dāng)售價為每件60元時，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價1元，每星期可多賣出20件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：（1）若設(shè)每件降價元、每星期售出商品的利潤為元，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】：當(dāng)降價2.5元時，每星期的利潤最大，最大利潤是6125元.【分析】：這是一道與商品銷售有關(guān)的最優(yōu)化問題．首先根據(jù)“利潤=（售價－進價）×銷售量”構(gòu)建二次函數(shù)，然后通過配方或用頂點坐標公式求出最值.【解析】：（1）y=(60－x－40)(300+20x)

＝6000+400x－300x－20x2

＝－20x2+100x+6000自變量的取值范圍是0≤x≤20.（2）∵a＝－20<0，∴函數(shù)有最大值，∵，.∴當(dāng)x=2.5時，y的最大值是6125.∴當(dāng)降價2.5元時，每星期的利潤最大，最大利潤是6125元.圖1ABCDx3040x例2現(xiàn)有一塊矩形場地，如圖1所示，長為40m，寬為30m，要將這塊地劃分為四塊分別種植：圖1ABCDx3040x（1）求出這塊場地中種植菊花的面積與場地的長之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自為量的取值范圍．（2）當(dāng)是多少時，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？【答案】：當(dāng)時，種植菊米的面積最大，最大面積為225m2．【分析】：這是花草種植面積的最優(yōu)化問題，先根據(jù)矩形的面積公式列出與之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法或公式法求得最大值.【解析】：（1）由題意知，場地寬為，∴，自變量的取值范圍為．（2），當(dāng)時，種植菊米的面積最大，最大面積為225m2．點評：求解與二次函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問題時，首先要根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一點大家一定要注意：頂點橫坐標在自變量的取值范圍內(nèi)時，二次函數(shù)在頂點處取得最值；頂點橫坐標不在自變量的取值范圍內(nèi)時，要根據(jù)題目條件，具體分析，才能求出符合題意的最值．例3ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖1(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？【答案】：(1)四邊形EFGH是正方形．（2）當(dāng)CE=CF=0.1米時總費用最省.圖1(2)ADFBEC(1)EFGHABDC【分析】：（1）通過觀察圖形，可猜想四邊形EFGH是正方形。要注意圖形中隱含的條件，由圖1(2)可得△CEF是等腰直角三角形，即可說明四邊形EFGH是正方形；（2）設(shè)圖1(2)ADFBEC(1)EFGHABDC【解析】：(1)四邊形EFGH是正方形．圖1(2)可以看作是由四塊圖1(1)所示地磚繞C點按順(逆)時針方向依次旋轉(zhuǎn)90°后得到的，故CE=CF=CG=CH．∴△CEF、△CFG、△CGH、△CHE是四個全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE，∠FEH=∠EFG=∠GHE=∠FGH=90°，因此四邊形EFGH是正方形.(2)設(shè)CE=x，則BE=0.4－x，每塊地磚的費用為y,那么y=x×30+xx-x)]×10=10(xx+0.24)=10(x-0.1)2+2.3(0＜x＜0.4)．當(dāng)x=0.1時，y有最小值，即費用為最省，此時CE=CF=0.1。答:當(dāng)CE=CF=0.1米時總費用最省.說明：這類探究幾何圖形中的關(guān)系式的問題，在近年來考試題中較為常見，同學(xué)們要注意總結(jié)它們的方法，一般地，在平面幾何中尋找關(guān)系式，要充分挖掘圖形的性質(zhì)，利用圖形的性質(zhì)（如面積公式、相似三角形的性質(zhì)等）列出關(guān)系式。例4、一家電腦公司推出一款新型電腦．投放市場以來前3個月的利潤情況如圖2所示，該圖可以近看作為拋物線的一部分．請結(jié)合圖象，解答以下問題：（1）求該拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；（2）該公司在經(jīng)營此款電腦過程中，第幾月的利潤最大？最大利潤是多少？yxyx332413O圖2【答案】：（1）（2）49（3）15個月【分析】：（1）結(jié)合圖象可以判斷出是該函數(shù)是二次函數(shù)，利用待頂系數(shù)法即可解決；（2）在（1）的基礎(chǔ)上配方即可；（2）令y=0，列出一元二次方程，解方程即可?！窘馕觥浚海?）因為圖象過原點，故可設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：，由圖知：，解得，所以．（2）=－（x-7）2+49，當(dāng)