高考中的零點(diǎn)問(wèn)題

例析2013年高考中的零點(diǎn)問(wèn)題縱觀2013年全國(guó)各個(gè)省市的高考題，有9個(gè)省市的數(shù)學(xué)高考題涉及了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，且這部分知識(shí)往往滲透于綜合題中，對(duì)思維能力有很高的要求，如何準(zhǔn)確、快速地解決這類問(wèn)題呢？本文試作簡(jiǎn)單的分析.題型一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

例1、(2013年重慶高考題)若則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間解:因?yàn)?，，，且是二次函?shù).所以的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間.點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，必須結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)和單調(diào)性.題型二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例2、(2013年天津高考題）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為解：令，即，設(shè)，，在同一個(gè)直角坐標(biāo)中分別作出它們的圖像，的圖像與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有兩個(gè)，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).點(diǎn)評(píng)：對(duì)于很難用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，處理時(shí)往往轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，借助他們圖象的交點(diǎn)判定原函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).例3、（2013年江蘇高考試題）設(shè)函數(shù)其中為實(shí)數(shù).若上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.解：當(dāng)時(shí)，必是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令解得，則，因?yàn)樯鲜菃握{(diào)增函數(shù)，所以有，即，結(jié)合上述兩種情況有，(1)、當(dāng)，由以及，得存在唯一的零點(diǎn).(2)、當(dāng)時(shí)，由于的定義域?yàn)?所以，故在同理若在上恒成立，則。所以在上有解等價(jià)于所以在上有解即令，所以故上單調(diào)遞增所以點(diǎn)評(píng)：本題與三角適當(dāng)綜合.要解決此題首先要把其轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，再分離參數(shù)求解.分離參數(shù)后，一般采取通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，有時(shí)借助相應(yīng)函數(shù)圖像來(lái)解決問(wèn)題.題型五：復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)例6、(2013年安徽高考題）若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是解：由已知函數(shù)有極值點(diǎn)，所以方程的兩根分別是，故要的方程成立，只要或，又，因此當(dāng)是極大值點(diǎn)時(shí)，，有兩個(gè)根，僅有一個(gè)根；當(dāng)是極小值點(diǎn)時(shí)，，有兩個(gè)根，僅有一個(gè)根.如下圖：綜上所述：關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3個(gè).點(diǎn)評(píng)：本題是以三次函數(shù)極值點(diǎn)為載體，與復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合.解決此類問(wèn)題，首先分清復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外層次，可以由外向里的一層一層研究下去，分步求解層疊的零點(diǎn)，必要時(shí)作出圖像，幫助理解.總之，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題越來(lái)越受高考出題者的青睞.要想解決這類問(wèn)題，我們不僅