人教A版（2023）選修一3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（含解析）

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（共19題）

一、選擇題（共11題）

已知橢圓上的一點到左焦點的距離為，點是線段的中點，為坐標(biāo)原點，則

A．B．C．D．

橢圓的焦點坐標(biāo)是

A．（）B．（）C．（）D．（）

若橢圓的焦距為，則實數(shù)等于

A．B．C．D．

焦點在軸上的橢圓的焦距為，兩個焦點分別為，，弦過點，則的周長為

A．B．C．D．

已知點是平面內(nèi)的動點，，是平面內(nèi)的兩個定點，則“點到點，的距離之和為定值”是“點的軌跡是以，為焦點的橢圓”的

A．充要條件B．充分不必要條件

C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件

已知橢圓的一個焦點是，那么

A．B．C．D．

設(shè)橢圓，若四點，，，中恰有三點在橢圓上，則不在上的點為

A．B．C．D．

已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，則的最大值是

A．B．C．D．

已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，，則的方程為

A．B．C．D．

已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，，則的方程為

A．B．C．D．

若點到直線的距離比它到點的距離小，則點的軌跡為

A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓

二、填空題（共5題）

橢圓的一個焦點為，則．

已知橢圓，點與橢圓的焦點不重合．若關(guān)于橢圓的焦點的對稱點分別為，，線段的中點在橢圓上，則．

能夠說明“方程的曲線不是橢圓”的一個的值是．

設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且，，若，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

若點到兩定點，的距離之和為，則點的軌跡方程是．

三、解答題（共3題）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點和，頂點在橢圓上，求的值．

已知圓（）與直線相切，設(shè)點為圓上一動點，于，且動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線．

(1)求曲線的方程；

(2)直線與直線垂直且與曲線交于，兩點，求（為坐標(biāo)原點）面積的最大值．

如圖，已知圓：，點是圓內(nèi)一個定點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點．當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡為曲線．

(1)求曲線的方程；

(2)設(shè)過點的直線與曲線相交于，兩點（點在，兩點之間）．是否存在直線使得？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

答案

一、選擇題（共11題）

1.【答案】C

【解析】設(shè)橢圓的右焦點為，連接，由橢圓的定義得，

因為，

所以．

因為，，

所以．

2.【答案】A

3.【答案】D

【解析】依題意，，所以，因此當(dāng)橢圓焦點在軸上時，有，解得；

當(dāng)橢圓焦點在軸上時，有，解得，不合題意，舍去．

故實數(shù)等于．

4.【答案】D

【解析】因為焦點在軸上的橢圓的焦距為，所以，解得．

如圖，

根據(jù)橢圓的定義可得，，

所以的周長

故選D．

5.【答案】C

【解析】若點到點，的距離之和恰好為，兩點之間的距離，則點的軌跡不是橢圓，所以前者不能推出后者．

由橢圓的定義知，橢圓上一點到兩焦點的距離之和為常數(shù)，所以后者能推出前者．

故“點到點，的距離之和為定值”是“點的軌跡是以，為焦點的橢圓”的必要不充分條件．

6.【答案】C

【解析】由題意知，橢圓的焦點在軸上，橢圓方程可化為，

所以，，

又，

所以，解得．

7.【答案】A

【解析】因為，關(guān)于軸對稱，

所以橢圓經(jīng)過，，所以．

當(dāng)在橢圓上時，，解得，，

橢圓方程為：，成立．

因為，所以橢圓不經(jīng)過．

8.【答案】C

【解析】由題意，得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選C．

9.【答案】B

【解析】設(shè)，則，，，，

由橢圓的定義知，

所以，

在中，由余弦定理得，

即

在中，由余弦定理得，

即

由①②，得，

所以，，

所以，

故橢圓的方程為．

故選B．

10.【答案】A

【解析】因為，所以，又，

又，所以，所以，，

因為，所以，所以，所以在軸上．

在中，，

在中，由余弦定理可得，

根據(jù)，可得，

解得，．

所以橢圓的方程為：．

11.【答案】C

【解析】因為點到直線的距離比它到點的距離小，

所以點到直線的距離等于它到點的距離，

又點不在直線上，

所以點的軌跡為拋物線．

二、填空題（共5題）

12.【答案】

13.【答案】

【解析】如圖，設(shè)的中點為，連接，，

則由是的中點，可知．同理可得．

所以．

根據(jù)橢圓的定義得，

所以．

14.【答案】（答案不唯一，均可）

【解析】由所表示的曲線是橢圓，

可知，得，

所以解得且，

所以曲線表示圓時的取值范圍是；

所以“方程的曲線不是橢圓”時的一個的值是中任取一值即為正確答案．（答案不唯一）

15.【答案】

【解析】因為，，

所以．

又，

所以．

由橢圓定義可知，，

所以，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

16.【答案】

三、解答題（共3題）

17.【答案】由已知，得．

依正弦定理，得．

18.【答案】

(1)設(shè)動點，，因為于，所以，

由題意得，，

所以圓的方程為．

因為，所以，

即

將代入圓中，得動點的軌跡方程為．

(2)由題意，設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程得消去，得，

，解得，

，

又點到直線的距離，，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．

故面積的最大值為．

19.【答案】

(1)因為圓的方程為，所以，半徑．

因為是線段的垂直平分線，所以．

所以．因為，

所以點的軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓．

因為，，，

所以曲線的方程為．

(2)存在直線使得．

方法一：

因為點在曲線外，直線與曲線相交，

所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．

設(shè)，，

由得．

則

由題意知，解得．

因為，所以，即

把代入得，

把代入