人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)第04講 角度計(jì)算中的常見(jiàn)模型 暑假練習(xí)（含解析）

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人教版

·模塊一A字型

·模塊二8字型

·模塊三燕尾角

·模塊四風(fēng)箏型

·模塊五課后作業(yè)

A字型

【條件】△ADE與△ABC.

【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.

【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，

∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.

【例1】如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可．

【詳解】解：，

，

，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．

【例2】如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，則_____．

【答案】或

【分析】當(dāng)時(shí)，，分兩種情況考慮，根據(jù)翻折可得或，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可解決問(wèn)題．

【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，

∴，

∵，

∴，

由翻折可知：，

∴．

或者：由翻折可知：，

∴，

∴．

故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．

【例3】舊知新意：

我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

嘗試探究：

（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

初步應(yīng)用：

（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝50°；

（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫(xiě)出答案∠P＝90°∠A．

拓展提升：

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說(shuō)明，可直接使用，不需說(shuō)明理由．）

【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理計(jì)算即可得解；

（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；

（4）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的結(jié)論整理即可得解．

【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB

＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB

＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝360°﹣（180°﹣∠A）

＝180°+∠A；

（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，

∴130°+∠2＝180°+∠C，

∴∠2﹣∠C＝50°；

（3）∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，

∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠PBC+∠PCB（∠DBC+∠ECB）（180°+∠A），

在△PBC中，∠P＝180°（180°+∠A）＝90°∠A；

即∠P＝90°∠A；

故答案為：50°，∠P＝90°∠A；

（4）延長(zhǎng)BA、CD于Q，

則∠P＝90°∠Q，

∴∠Q＝180°﹣2∠P，

∴∠BAD+∠CDA＝180°+∠Q，

＝180°+180°﹣2∠P，

＝360°﹣2∠P．

【變式1】如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為_(kāi)________．

【答案】

【分析】根據(jù)平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

【詳解】解：如圖

，，

，

，

，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考基礎(chǔ)題．

【變式2】如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DC、DE，在CD上取一點(diǎn)F，連接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．

【分析】先利用平行線的判定定理判定AB∥EF，利用平行線的性質(zhì)定理得到∠3＝∠ADE，利用等量代換得到∠B＝∠ADE，最后利用同位角相等，兩直線平行判定即可．

【解答】證明：∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，

∴∠2＝∠DFE．

∴AB∥EF．

∴∠3＝∠ADE．

∵∠3＝∠B，

∴∠B＝∠ADE．

∴DE∥BC．

故答案為：240°．

【變式3】如圖，已知中，，平分，E是線段（除去端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)F．若，求的度數(shù)．

【答案】

【分析】先根據(jù)垂直的定義得到，進(jìn)而求出，利用三角形外角的性質(zhì)求出，則由角平分線的定義求出，則由三角形內(nèi)角和定理得到．

【詳解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義等等，正確求出是解題的關(guān)鍵．

8字型

【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O.

【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)

【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，

∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對(duì)頂角相等：∠BOA=∠COD

∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.

【例1】如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）

A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角相等逐一判斷即可．

【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，

∴∠B＝∠D，

∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，

∴∠2＞∠D，

故選項(xiàng)A，B，C正確，

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【例2】如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（）．

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】如圖標(biāo)記，然后利用三角形的外角性質(zhì)得，，再利用互為鄰補(bǔ)角，即可得答案．

【詳解】解：如下圖標(biāo)記，

，

，

，

又，

，

，

，

故選C．

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義是解答此題的關(guān)鍵．

【例3】如圖，和中，交于M．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為°；

(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)為°；

(3)如圖3，當(dāng)繞O點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)時(shí)，與是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請(qǐng)你用表示，并用圖3進(jìn)行證明；若不確定，說(shuō)明理由．

【答案】(1)90

(2)120

(3)

【分析】（1）根據(jù)，可得，可證得，從而得到，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解；

（2）根據(jù)，可得，可證得，從而得到，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解；

（3）設(shè)交于K．根據(jù)，可得，可證得，從而得到，再由三角形內(nèi)角和定理，即可求解．

【詳解】（1）解：∵，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

即；

故答案為：90

（2）解：∵，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

即；

故答案為：120

（3）解：如圖3中，設(shè)交于K．

∵

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，證得是解題的關(guān)鍵．

【變式1】如圖所示，求的度數(shù).

【答案】.

【分析】首先利用三角新的外角的性質(zhì)，然后根據(jù)多邊形的外角和定理即可求解．

【詳解】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，

又∵∠1+∠2+∠3=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)以及多邊形的外角和是360°，理解定理是關(guān)鍵．

【變式2】如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）

A．240°B．280°C．360°D．540°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個(gè)角的和，加在一起即可．

【詳解】解：由三角形外角的性質(zhì)得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，

∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，

∴∠2+∠3=120°，

即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，

∵∠B+∠C=120°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．

故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角和三角形的內(nèi)角和的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是將題目中的六個(gè)角分成兩部分來(lái)分別求出來(lái)，然后再加在一起．

【變式3】如圖，，，，，求和的度數(shù)．

【答案】，

【分析】由，可得，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，因?yàn)?，即可求得的度?shù)；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可得的度數(shù)．

【詳解】解：∵，

∴，，

∵，，，

∴，

，

∴

，

∴．

∴，．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，采用了數(shù)形結(jié)合的思想方法．找到相應(yīng)等量關(guān)系的角是解題的關(guān)鍵．

【變式4】（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“字形”，試說(shuō)明：．

（2）如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．

（3）如圖（3），直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________；

（4）如圖（4），直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）26°；（3）；（4）

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和對(duì)頂角的性質(zhì)即可得證；

（2）設(shè)，，解方程即可得到答案；

（3）根據(jù)直線平分，平分的外角，得到

，從而可以得到180°，再根據(jù)∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到即可求解；

（4）連接PB，PD根據(jù)180°，180°得到360°，同理得到：360°，再根據(jù)180°，180°，，，即可求解.

【詳解】解：（1）180°，180°，

．

，

；

（2），分別平分，，設(shè)，，

則有，

，

（36°+16°）=26°

（3）直線平分，平分的外角，

，，

∴180°-，

∴180°

∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D

∴

∴

∴180°，

即90°．

（4）連接PB，PD

直線平分的外角，平分的外角，

，，

∵180°，180°

∴360°

同理得到：360°

∴720°

∴720°

∵180°，180°

∴360°，

180°-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

燕尾角

【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.

【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和)

【證明】如上右圖，連接AD并延長(zhǎng)到E，則：

∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明.

【例1.1】如圖所示，已知四邊形，求證．

【答案】見(jiàn)解析

【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；

方法2作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，，兩式相加即可得到結(jié)論；

方法3延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E，兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【詳解】方法1如圖所示，連接BC.

在中，，即.

在中，，

；

方法2如圖所示，連接AD并延長(zhǎng).

是的外角，

.

同理，.

.

即.

方法3如圖所示，延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E.

是的外角，

.

是的外角，

.

.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理．

【例2】在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（）．

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．

【詳解】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，如圖，

∵

∴

同理得

∵

∴

∵

∴

∴

∴,

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；多邊形內(nèi)角和：．

【例3】如圖，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，依此類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則∠BD5C的度數(shù)是（）

A．24°B．25°C．30°D．36°

【答案】B

【詳解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,

∴∠ABC+∠ACB=160°，

∵∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，

∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB

∵∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，

∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，

同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，

∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，

∴∠BCD5+∠CBD5=155°，

∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，

故選：B

【變式1】如圖，已知分別交的邊、于、，交的延長(zhǎng)線于，，，，求的度數(shù).

【答案】.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解

【詳解】解：在中，=--，

∴∠DEC=

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和為180°及三角形的一個(gè)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．

【變式2】如圖，若，則____________．

【答案】230°

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．

【詳解】解：如圖

∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，

∴∠E+∠D+∠C=115°，

∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，

∴∠A+∠B+∠F=115°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，

故答案為：230°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．

【變式3】模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．

模型應(yīng)用

（1）直接應(yīng)用：

①如圖2，，則__________；

②如圖3，__________；

（2）拓展應(yīng)用：

①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；

②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；

③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；

④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．

【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0

【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計(jì)算即可；

②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計(jì)算即可；

（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計(jì)算可得；

②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入計(jì)算即可；

③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）計(jì)算可得；

④根據(jù)兩個(gè)凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個(gè)等式，聯(lián)立可得結(jié)論．

【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；

②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；

（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1

=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）

=∠BOC-（∠BOC-∠A）

=∠BOC-（120°-50°）

=120°-35°

=85°；

②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）

=120°-（120°-50°）

=120°-21°

=99°；

③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）

=180°-（∠BOC-∠C）

=180°-（120°-44°）

=142°；

④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，

∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，

聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運(yùn)用其性質(zhì)．

風(fēng)箏型

【條件】四邊形ABPC，分別延長(zhǎng)AB、AC于點(diǎn)D、E，如上左圖所示.

【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.

【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，

∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.

【例1.1】如圖所示，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊之后（3個(gè)頂點(diǎn)不重合），圖中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．

【分析】由折疊可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六邊形的內(nèi)角和減去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．

【解答】解：由題意知，

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）

又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，

∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．

故答案為：360．

【例2】如圖，在四邊形中，，E、F分別是、上的點(diǎn)，將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，交于點(diǎn)G，若有兩個(gè)相等的角，則______．

【答案】或

【分析】根據(jù)題意有兩個(gè)角相等，于是有三種情況，分別令不同的兩個(gè)角相等，利用折疊的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和列方程，最后綜合得出答案．

【詳解】解：分三種情況：

（1）當(dāng)時(shí)，

設(shè)，則，，

在四邊形中，由內(nèi)角和為得：

，

∵，

∴，

解得：；

（2）當(dāng)時(shí)，，

在四邊形中，由內(nèi)角和為得：，

得，顯然不成立，

即此種情況不存在；

（3）當(dāng)時(shí)，

同理有：，

∵，

∴，

解得：；

綜上分析可知，的度數(shù)為：或．

故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的翻折，三角形和四邊形的內(nèi)角和，有一定難度，熟悉三角形和四邊形的內(nèi)角和定理以及正確的分情況討論是解題關(guān)鍵．

【例3】（2022春銅山區(qū)期中）（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1+2與∠A的關(guān)系：．

（2）如圖2，把△ABC分別沿DE、FG折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，則∠C＝°

（3）如圖3，在銳角△ABC中，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，BM、CN交于點(diǎn)H，把△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，則∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系是．

A．∠BHC＝180°（∠1+∠2）

B．∠BHC＝∠1+∠2

C．∠BHC＝90°（∠1+∠2）

D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2

（4）如圖4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，進(jìn)而求出∠A（∠1+∠2），即可得出答案；

（4）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠HBC+∠HCB＝90°∠A，得出∠BIC的度數(shù)即可；

【解答】解：（1）∠1+∠2＝2∠A；

理由如下：由折疊的性質(zhì)得：∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°，

∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED＝360°①，

又∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，

∴2（∠A+∠ADE+∠AED）＝360°②，

由①②得：∠1+∠2＝2∠A；

故答案為：∠1+∠2＝2∠A；

（2）由（1）可得，∠A（∠1+∠2），∠B（∠3+∠4），

∴∠A+∠B（∠1+∠2+∠3+∠4）220＝110，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，

故答案為：70°；

（3）理由：∵BM⊥AC，CN⊥AB，

∴∠AMH+∠ANH＝90°+90°＝180°，∠MHN+∠A＝180°，

∴∠BHC＝∠MHN＝180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2＝2∠A．

∴∠A（∠1+∠2）．

∴∠BHC＝180°（∠1+∠2）．

故選A；

（4）由（1）得：∠1+∠2＝2∠A，

得2∠A＝100°，

∴∠A＝50°，

∵HB平分∠ABC，HC平分∠ACB，

∴∠HBC+∠HCB（∠ABC+∠ACB）

（180°﹣∠A）＝90°∠A，

∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）

＝180°﹣（90°∠A）

＝90°∠A＝90°50°

＝115°．

【變式1】如圖，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處．如果，那么的度數(shù)為_(kāi)___．

【答案】/度

【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，根據(jù)平角計(jì)算即可．

【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)，得，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角，熟練掌握折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．

【變式2】已知△ABC是一張三角形的紙片．

（1）如圖①，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊AC上點(diǎn)A′的位置，∠DA′E與∠1的之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（2）如圖②所示，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，∠A、∠1與∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（3）如圖③，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部點(diǎn)A′的位置，∠A、∠1與∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠A＝∠DA′E，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答即可；

（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；

（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠A＝∠DA′E，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式整理即可得解．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，

∴∠A＝∠DA′E，

根據(jù)三角形外角性質(zhì)，∠1＝∠A+∠DA′E＝2∠DA′E，

即∠1＝2∠DA′E；

（2）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，

∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，

∴∠ADE（180°﹣∠1），∠AED（180°﹣∠2），

在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，

∴∠A（180°﹣∠1）（180°﹣∠2）＝180°，

整理得，2∠A＝∠1+∠2；

（3）如圖③，∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，

∴∠A＝∠A′，

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠3＝∠2+∠A′，

∠1＝∠A+∠3，

∴∠1＝∠A+∠2+∠A′＝∠2+2∠A，

即∠1＝∠2+2∠A．

【變式3】△ABC，直線DE交AB于D，交AC于E，將△ADE沿DE折疊，使A落在同一平面上的A′處，∠A的兩邊與BD、CE的夾角分別記為∠1，∠2

如圖①，當(dāng)A落在四邊形BDEC內(nèi)部時(shí)，探索∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

如圖②，當(dāng)A′落在BC下方時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系．

如圖③，當(dāng)A′落在AC右側(cè)時(shí)，探索∠A與∠1，∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【分析】（1）根據(jù)圖①中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論2∠A＝∠1+∠2；

（2）與（1）的證明過(guò)程完全相同；

（3）根據(jù)圖③中由于折疊∠A與∠A′是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論2∠A＝∠1﹣∠2．

【解答】解：（1）2∠A＝∠1+∠2．理由如下：

如圖①，∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，

又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，

∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，

又∵∠A＝∠A′，

∴2∠A＝∠1+∠2；

（2）2∠A＝∠1+∠2．

理由：∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°，

又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°，

∴∠A+∠A′＝∠1+∠2，

又∵∠A＝∠A′，

∴2∠A＝∠1+∠2；

（3）2∠A＝∠1﹣∠2．理由如下：

如圖③，設(shè)DA′交AC于點(diǎn)F．

∵∠1＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A′+∠2，

∴∠1＝∠A+∠A′+∠2，

∴∠A+∠A′＝∠1﹣∠2，

∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，

∴∠A＝∠A′，

∴2∠A＝∠1﹣∠2．

1．如圖，在中，，平分，且，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)進(jìn)行角的等量代換，再計(jì)算即可．

【詳解】解：，，

，

平分，

，

．

故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線和平行線的性質(zhì)；關(guān)鍵在于能利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行角的等量代換．

2．如圖，在中，為上一點(diǎn)，將沿折疊至處，'與交于點(diǎn)．若，，的度數(shù)為_(kāi)_____．

【答案】/度

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．

【詳解】解：四邊形是平行四邊形，

，

由折疊的性質(zhì)得：，，

＋＋，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

3．如圖，點(diǎn)，分別在等邊的邊，上，將沿直線翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，，分別交邊于點(diǎn)，．若，則_________________．

【答案】

【分析】由對(duì)頂角相等可得，由兩角對(duì)應(yīng)相等可得，那么的度數(shù)，則．

【詳解】

解：是等邊三角形，

，

由翻折可得，

，

，

，

，

，

，

．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換問(wèn)題，得到所求角與所給角的度數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

4．如圖，四邊形中，點(diǎn)、分別在，上，將沿翻折，得，若，，，，則________．

【答案】/95度

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出和，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．

【詳解】解：∵，，，，

∴，，

∵沿翻折，得，

∴，

∴，，

∴，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)，翻折變換，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出和的度數(shù)．

5．如圖，在中，，的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)M，將以直線為對(duì)稱軸翻折得到，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．求的度數(shù)．

【答案】

【分析】利用角平分線的定義求出，利用折疊的性質(zhì)和對(duì)頂角相等得，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可求解．

【詳解】解：∵，是的角平分線，

∴．

又∵是翻折得到，

∴≌．

∴，

即．

又∵，，

∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，折疊的性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)，求出是解答本題的關(guān)鍵．

6．如圖，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)G，．

（1）若，求的度數(shù)；

（2）若，求的度數(shù)．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得解；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．

【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF=，

∵，

∴，

∴；

（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，

∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，

∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，

∴∠A+∠C=2∠P，

∵∠A=42°，∠C=38°，

∴∠P=（38°+42°）=40°．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關(guān)鍵．

7．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六個(gè)角的和．

【答案】360°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案．

【詳解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，

∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，

∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

8．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．

【答案】540°

【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案．

【詳解】解：如圖所示：

由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，利用三角形外角和的性質(zhì)將所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵

9.已知，在中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)D是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到．

(1)如圖，若，則______；

(2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了，，之間的關(guān)系，請(qǐng)您替小明寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明．

【答案】(1)；

(2)，證明見(jiàn)解析．

【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和求出，再由折疊的性質(zhì)得

，進(jìn)而可求出的度數(shù)；

（2）先由三角形內(nèi)角和求出，再由折疊的性質(zhì)得

，進(jìn)而可求出，，之間的關(guān)系．

【詳解】（1）在中，，

∴．

由折疊的性質(zhì)，可知：，，

∴．

又∵∠，

∴

．

故答案為：；

（2）．

證明：在中，，

∴．

由折疊的性質(zhì)，可知：，

∴．

又∵，

∴

，

即．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

10.在中，，點(diǎn)在直線上（不與重合），點(diǎn)在直線上（不與重合），且．

（1）如圖①，若，則_____，此時(shí)，_____；

（2）若點(diǎn)在邊上（點(diǎn)除外）運(yùn)動(dòng)（圖①），試探究與數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由：

（3）若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上（如圖②），其余條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系：___；

（4）若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上（如圖③），點(diǎn)在直線上，，其余條件不變，則_____．（友情提醒：可利用圖③畫(huà)圖分析）

【答案】（1）35°，2；（2）∠BAD=2∠CDE，理由見(jiàn)解析；（3）∠BAD=2∠CDE；（4）79°或11°

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

（2）結(jié)論：∠BAD=2∠CDE．設(shè)∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，則∠BAC=180°-2x，∠CDE=y-x，∠DAE=180°-2y，推出∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x），由此可得結(jié)論．

（3）如圖②中，結(jié)論：∠BAD=2∠CDE．解決方法類似（2）．

（4）分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，設(shè)∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，則∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，由題意，∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°，推出x+y=101°，可得結(jié)論．②如圖④中，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可求．

【詳解】解：（1）如圖①中，

∵∠ABC=∠ACB=40°，

∴∠BAC=180°-40°-40°=100°，

∵∠AED=∠CDE+∠C，

∴∠CDE=75°-40°=35°，

∵∠ADE=∠AED=75°，

∴∠DAE=180°-75°-75°=30°，

∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-30°=70°，

∴==2．

故答案為35°，2．

（2）結(jié)論：∠BAD=2∠CDE．

理由：設(shè)∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，

則∠BAC=180°-2x，∠CDE=y-x，∠DAE=180°-2y，

∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x），

∴∠BAD=2∠CDE．

（3）如圖②中，結(jié)論：∠BAD=2∠CDE．

理由：設(shè)∠B=∠ACB=x，∠AED=∠ADE=y，

則∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，

∴∠BAD=∠BAC+∠DAE=360°-2（x+y），

∴∠BAD=2∠CDE．

故答案為∠BAD=2∠CDE．

（4）如圖③中，

設(shè)∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，

則∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，

∴∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°，

∴x+y=101°

∴∠CDE=180°-101°=79°．

如圖④中，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)∠ABC=∠ACB=x，∠AED=∠ADE=y，

則∠ADB=x-22°，∠CDE=y-（x-22°），

∵∠ACB=∠CDE+∠AED，

∴x=y+y-（x-22°），

∴x-y=11°，

∴∠CDE=

故答案為79°或11°．

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.第04講角度計(jì)算中的常見(jiàn)模型

人教版

·模塊一A字型

·模塊二8字型

·模塊三燕尾角

·模塊四風(fēng)箏型

·模塊五課后作業(yè)

A字型

【條件】△ADE與△ABC.

【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.

【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，

∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.

【例1】如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（）．

A．B．C．D．

【例2】如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，則_____．

【例3】舊知新意：

我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

嘗試探究：

（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

初步應(yīng)用：

（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝50°；

（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫(xiě)出答案∠P＝90°∠A．

拓展提升：

（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說(shuō)明，可直接使用，不需說(shuō)明理由．）

【變式1】如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為_(kāi)________．

【變式2】如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DC、DE，在CD上取一點(diǎn)F，連接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC．

【變式3】如圖，已知中，，平分，E是線段（除去端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)F．若，求的度數(shù)．

8字型

【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O.

【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)

【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，

∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對(duì)頂角相等：∠BOA=∠COD

∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.

【例1】如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（）

A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D

【例2】如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（）．

A．B．C．D．

【例3】如圖，和中，交于M．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為°；

(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)為°；

(3)如圖3，當(dāng)繞O點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)時(shí)，與是否存在著確定的數(shù)量關(guān)系？如果存在，請(qǐng)你用表示，并用圖3進(jìn)行證明；若不確定，說(shuō)明理由．

【變式1】如圖所示，求的度數(shù).

【變式2】如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）

A．240°B．280°C．360°D．540°

【變式3】如圖，，，，，求和的度數(shù)．

【變式4】（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱為“字形”，試說(shuō)明：．

（2）如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．

（3）如圖（3），直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________；

（4）如圖（4），直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．

燕尾角

【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.

【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和)

【證明】如上右圖，連接AD并延長(zhǎng)到E，則：

∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明.

【例1.1】如圖所示，已知四邊形，求證．

【例2】在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（）．

A．B．C．D．

【例3】如圖，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，依此類推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則∠BD5C的度數(shù)是（）

A．24°B．25°C．30°D．36°

【變式1】如圖，已知分別交的邊、于、，交的延長(zhǎng)線于，，，，求的度數(shù).

【變式2】如圖，若，則____________．

【變式3】模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．

模型應(yīng)用

（1）直接應(yīng)用：

①如圖2，，則__________；

②如圖3，__________；

（2）拓展應(yīng)用：

①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；

②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則_____