第四章連續(xù)時間傅立葉變換heconinuousi

第4章連續(xù)時間傅立葉變換

TheContinuoustimeFourierTransform本章的主要內(nèi)容:連續(xù)時間傅立葉變換;傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系;傅立葉變換的性質(zhì);系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析；

在工程應(yīng)用中有相當廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應(yīng)該如何進行分解，什么是非周期信號的頻譜表示，線性時不變系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)如何求得，就是這一章要解決的問題。4.0引言Introduction在鋼時渠域淘可汗以窗看奮到膜，怪如絕果煮一巧個奇周黃期銅信燦號醬的貸周資期宵趨旬于凳無鴿窮撿大箏，蘇則蛾周轉(zhuǎn)期蔥信應(yīng)號尊將垂演械變蝴成澡一退個悉非透周洗期侵信頸號廊；嶺反牙過慮來經(jīng)，翁如忽果旱將餅任息何援非北周垮期屋信燥號續(xù)進肌行貌周題期躺性嚼延則拓達，貓就淚一佳定肢能躍形后成綁一序個僵周至期源信掛號桂。我票們飄把惜非弦周析期炒信你號憶看誼成泄是芬周耀期調(diào)信鵲號損在企周屆期婚趨廢于球無匠窮漲大疲時棟的血極惱限近，肉從錢而超考崖查使連白續(xù)富時林間固傅統(tǒng)立然葉夫級抹數(shù)午在T趨頑于劫無齊窮鍬大央時回的返變孔化者，盞就缸應(yīng)摧該默能造夠壺得是到騾對勞非毒周皺期惕信垃號涉的催頻付域居表臥示尿方午法法。4利.粗1非樸周邀期例信肥號咱的控表隙示手—彼連頸續(xù)集時棕間察傅秘立置葉幕變益換R板e甘p圈r照e糖s懲e量n考t飄a斬t強i莖o超n賭o巾f困A候p鈴e稿r飛i悉o謹d疫i箱c追S盞i匪g吼n擠a茫l井s捎:卻T躺h機e戀C母o腦n昏t翅i逝n高u痛o激u勞s語-降T某i潔m別e竊F針o取u河r嬸i組e墾r慚T僑r學a亂n祝s娘f侵o抬r凍m一駱.東從昆傅痕立溝葉攜級活數(shù)歐到卡傅些立寒葉堂變歡換我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當周期增大時，頻譜的幅度隨的增大而下降；譜線間隔隨的增大而減?。坏l譜的包絡(luò)不變。再醬次惕考棵察役周油期連性魯矩淘形奏脈甘沖衰的找頻學譜遙圖憲：

當時，周期性矩形脈沖信號將演變成為非周期的單個矩形脈沖信號。（a）（b）(a)(b)

00由于也隨增大而減小，并最終趨于0，考查的變化，它在時應(yīng)該是有限的。

于是，我們推斷出:當時，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。由當時,如果令則有與周期信號傅立葉級數(shù)對比有：這櫻表衫明漆:周寨期疑信吵號叫的述頻遙譜配就礦是供與瘋它嗚相芳對撿應(yīng)據(jù)的野非嗓周徑期樸信卡號醬頻希譜君的翠樣辱本詢。根據(jù)傅立葉級數(shù)表示：連續(xù)時間傅立葉變換當時，于是有：傅立葉反變換此式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個頻率連續(xù)分布、振幅為的復(fù)指數(shù)信號之和。由于具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱為頻譜密度函數(shù)。于畜是穗，涌我扇們巧得責到丙了禽對域非擺周襲期魯信誤號靜的讓頻問域匆描優(yōu)述融方剪法這圖一傅對趴關(guān)掀系扶被爽稱駕為塞連音續(xù)麻時叢間顯傅揭立掛葉偉變圾換雨對梅。可師見角，闖周懼期袖信粒號叨的這頻量譜蹄是驗對慎應(yīng)戚的諷非本周扭期莊信您號頻遠譜因的靜樣湯本；珍而造非腫周缺期職信低號擠的駁頻萌譜誰是鏟對造應(yīng)腹的篇周惰期戲信舞號頻但譜映的鑰包度絡(luò)螞。既蹦然手傅嚴立沸葉塊變筒換睡的寸引膚出舊是己從促周張期管信宰號外的敏傅旱立蓄葉熊級臨數(shù)捕表錫示塞出董發(fā)剩，挨討林論駕周系期素趨填于使無復(fù)窮薪大近時將的滅極耍限嚷得腫來眨的漢，赴傅耐立爽葉系變稈換飾的榨收敲斂銳問漂題滿就輪應(yīng)孟該傳和拘傅腦立澤葉來級舉數(shù)哲的民收獄斂華相朽一銷致影。二噴.配傅夜立紡葉腰變衣?lián)Q猛的吩收焰斂這纖表淋明父能鏈量杏有煩限腰的犁信互號油其差傅槐立奧葉糧變目換紡一冠定偵存牽在妥。2熊.D券i諸r梁i倡c舉h鄉(xiāng)豐l抽e袋t條岔件a.絕對可積條件1.若則存在。也然有示相她應(yīng)庫的維兩類組奴條迫件航：b.在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，且極值有限。c.在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類間斷點。應(yīng)猶該桑指敢出搞:這抽些集條萌件嶼只奔是露傅嗓立乏葉穿變父換濱存暢在益的展充百分慮條殲件。和周期信號的情況一樣，當?shù)母盗⑷~變換存在時，其傅立葉變換在的連續(xù)處收斂于信號本身，在間斷點處收斂于左右極限的平均值，在間斷點附近會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象。

這兩組條件并不等價。例如：是平方可積的，但是并不絕對可積。三填.侵常廊用腐信滴號深的都傅弦立歸葉搭變糾換思：1.0102.結(jié)朗論炸：實改偶逃信棗號技的派傅搭立糧葉掛變勢換第是軌實燥偶予函升數(shù)軌。此沉時沈可觀以蛋用心一旋幅拍圖乖表賣示承信座號罷的選頻咬譜丸。對此例有103.0這表明中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)才能完全描述一個LTI系統(tǒng)的特性，才在信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。01

顯然，將中的代之以再乘以，即是相應(yīng)周期信號的頻譜4.矩形脈沖:101000不等同天脈喘沖徒寬帖度蒜對錘頻軟譜夏的任影銹響可包見細，信酒號幅在差時棒域企和覽頻章域禿之環(huán)間辜有脹一移種隊相繞反梢的顧關(guān)窗系。(飄稱洽為理態(tài)想栗低鐘通啦濾皇波名器)與占矩添形倉脈謝沖產(chǎn)情晨況捐對機比筑，遺可抄以促發(fā)麻現(xiàn)信拳號明在細時鳥域唐和須頻專域纖之摟間告存跳在添一霧種拳對鐮偶爹關(guān)大系費。5.1，0，100對撐偶平關(guān)被系石可更表鬼示知如突下野:101000

同時可以看到，信號在時域和頻域之間也有一種相反的關(guān)系。即信號在時域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。對例5.我們可以想到，如果，則將趨于一個沖激。6.若則有因為所以四握.頌信畜號影的旦帶騙寬(B診a涌n挨d蔑w扮i蹲d盜t善h蝦o臭f礎(chǔ)S略i騰g指n翅a扁l懷s)茂:由爸信且號隨的印頻遍譜擁可偉以屬看湯出訂：庸信蚊號貫的絹主繡要佩能厚量方總召是恩集全中樸于心低為頻種分豎量冒。忙另償一瘡方牢面浩，藍傳可輸該信碑號欄的丟系嚼統(tǒng)夕都道具活有贈自惡己顧的膜頻字率禽特疼性疾。悼因傍而復(fù)，弱工仿程利中元在瞇傳蚊輸憑信隔號糊時朽，課沒綢有只必獸要購一伸定鵝要慕把紛信計號汁的插所逢有朱頻畏率樹分統(tǒng)量冶都煙有墾效號傳趁輸盼，任而忙只嫌要后保謙證窯將眉占徐據(jù)偽信榆號泊能純量傅主貿(mào)要宇部脾分班的蠻頻銜率赴分琴量飽有溪效爛傳頭輸說即郵可仁。叢為如此建，乏需源要良對蜻信賀號相定甩義膝帶伙寬隆。駛通滴常殿有花如裙下涌定撐義的帶相寬另的偷方忠法抬:2.對包絡(luò)是形狀的頻譜，通常定義主瓣寬度(即頻譜第一個零點內(nèi)的范圍)為信號帶寬。

下降到最大值的時對應(yīng)的頻率范圍,此時帶內(nèi)信號分量占有信號總能量的1/2。1.以萬矩報形和脈串沖鉆為旨例鴉，悟按葬帶箏寬注的夢定殃義枕，上可獅以箱得鴿出姓，脈嚷寬割乘類以饑帶陵寬潔等助于知常棟數(shù)損C(慣脈登寬夏帶魔寬府積列)曉。鹿這聚清撕楚祖地辰反螺映栗了賴頻果域浴和余時壇域閱的控相本反歇關(guān)端系蟻。4根.密2周課期污信虛號沒的巡壽傅揪立票葉漲變鴉換到訊此水為狼止浮，夫我乞們傅對般周瓶期仿信諒號孝用貫傅乓立啟葉紋級梢數(shù)喘表歷示狗，劈燕非洞周訂期劣信組號螞用瞇傅趙立貓葉付變緩換涂表德示嗚。忽因那為畜數(shù)淺學言描蹦述腿方某法竹的霸不仔一夫致卵，竄在姥某似些繁情乏況鏡下奶,頂會挽給糕我牲們劫帶穿來阿不迫便痰。柔但驢由衛(wèi)于針周汗期替信市號袍不究滿總足D芽i邪r閉i盜c佳h焰l芒e蠶t條伸件引，殼因哭而延不場能林直蚊接景從深定放義甩出橡發(fā)混，瓶建池立呈其角傅沙立窄葉碗變叨換筋表絞示畢。T爭h呈e悔F耐o陡u傍r西i暗e誘r勇T抖r便a膨n葡s泰f芬o訓r予m熱a霧t灘i煌o衡n否o衰f籮P把e幫r賢i巨o懷d圍i鈴c廈S紫i割g張n談a宴l微s所對應(yīng)的信號考查這挖表簡明周補期毅性班復(fù)圾指之數(shù)臣信鞏號怨的攏頻嘩譜塊是球一指個展沖截激。于是當把周期信號表示為傅立葉級數(shù)時，因為就有周期信號的傅立葉變換表示若則

這表明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各次諧波的頻率處，其沖激強度正比于對應(yīng)的傅立葉級數(shù)的系數(shù)。例1：

例2：

例3：

均勻沖激串010例劍4銀.峰周慚期燃性束矩才形赤脈撿沖014疏.板3連矮續(xù)溝時副間授傅丙立犁葉喪變供換懲的盟性臘質(zhì)討溜論街傅徐立樸葉陸變演換題的退性硬質(zhì)障，因旨佳在似通慈過羊這罩些戲性做質(zhì)芒揭羅示劍信端號抄時何域飼特拘性蔽與踐頻武域局特測性抖之溪間漆的裳關(guān)魯系廁，川同乓時習掌款握花和撞運處用星這圾些蛙性辭質(zhì)匙可跨以貢簡仗化廳傅柔立織葉熟變鉗換牧對廊的辨求廳取休。1霞.牢線總性廟:L貪i易n邀e象a變r銳i做t嚷y則P斬r疏o狠p睛e武r盛t喪i亡e南s粘o羅f爪t泥h朵e奶C調(diào)o刑n持t立i嘗n啊u詳o禾u白s束-惱T垃i篇m葡e胃F泡o倆u首r皺i分e稼r戒T亞r醫(yī)a矩n償s葡f凱o雁r段m若2態(tài).祝時肢移柳:T蘇i祥m督e面S猴h吧i牛f悔t炊i鍬n興g這星表困明族信鎮(zhèn)號還的陜時藥移賽只倍影奸響爆它儉的岸相昏頻星特觸性杯，守其顧相酒頻循特周性她會徒增幕加諷一抵個隸線猶性愛相代移鍛。則若3梨.掉共傾軛酸對床稱鉛性明:C乒o占n銅j冊u債g扭a抄t夕e晴a讀n購d握S蝕y辮m鳥m勻e賀t頃r臂y若

則所以即若是實信號，則于是有:由可得即實興部抽是沙偶已函偷數(shù)虛朵部珍是騾奇勿函潛數(shù)若則可得出即扶：模惱是駝偶犧函猴數(shù)叢，車相踢位篇是泄奇猛函魄數(shù)若則可得如果即信號是偶函數(shù)。則表慈明礙：實持偶早信帳號近的羞傅斑立爭葉絨變比換子是扛偶膨函私數(shù)扶。表明是實函數(shù)。若即信號是奇函數(shù)，同樣可以得出:所以又因為表明是奇函數(shù)表明是虛函數(shù)若則有:例:的頻譜:101/20-1/21/20將分解為偶部和奇部有4膠.布時悲域身微齡分卷與寶積篇分畜:D倍i音f鑄f篩e失r沉e者n抖t雕i略a慨t在i葬o激n勿a繩n房誠d垮I術(shù)n壓t沾e姜g蹈r徑a膊t楚i倡o嘩n(雨可泡將舟微字分圓運蠟算逗轉(zhuǎn)碑變衛(wèi)為朵代殖數(shù)逢運四算陜)(將兩邊對微分即得該性質(zhì))由時域積分特性從也可得到:（時域積分特性）則若5擔.秩時薯域攏和換頻哥域雜的框尺嶺度繼變隙換逐:S求c趨a稍l莫i功n棄g當時，有尺扭度頌變且換鄰特斧性叨表腥明悔：信挑號優(yōu)如泥果疏在君時體域更擴汁展見a亡倍隊，嘩則坑其丸帶師寬痕相紐奉應(yīng)掏壓陣縮短a登倍噴，掘反葉之巴亦袖然下。這腦就禿從荒理錫論充上忘證馬明騎了葉時李域談與功頻腥域暈的稈相年反良關(guān)痰系搬，仙也率證摘明棋了呆信綢號憐的唐脈堂寬絹帶獵寬有積工等杰于胳常故數(shù)捆的戒結(jié)娘論假。則若時逼域秤中徑的周壓句縮耽（鹿擴市展魔）怠對瞞應(yīng)靜頻流域眨中坡的舅擴羽展宴（快壓賣縮各）6嶄.摔對殿偶各性銅:D屆u向a稀l鳳i建t滅y若則證明：也可由得到證明。根據(jù)得這摧就宵是移井頻柄特航性例如:由有對偶關(guān)系利用時移特性有再次對偶有由兆對鏡偶兔性恒可招以粒方財便掠地毅將罪時叨域遍的談某型些眾特紋性娃對桶偶濤到侵頻蔥域由得所以頻鐘域止微尚分隸特相性該抵特板性討也鑼可拿由虹對吳偶杏性片從豪時威域俯微斥分貫特昌性漂得吉出訓:由有利用時域微分特性有對再次對偶得頻蛙域環(huán)微鉤分壤特大性由場時棍域阿積萌分慘特復(fù)性洞，它可百對格偶們出址頻泳域撥積曠分功特托性利惕用時艙域堪積戶分網(wǎng)特原性再次對偶由有頻有域朋積爪分示特改性7刮.P甲a頭r須s薦e支v虎a袖l定開理眨:若則這表明：信號的能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。由于表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度”函數(shù)。4櫻.棉4卷辭積究性星質(zhì)T成h語eC哄o源n稿v沖o展l囑u賢t大i越o霞n霧P輛r喪o姐p滋e襖r證t錦y一讀.沈卷壺積決特妥性景：由慕于飄卷陸積批特轟性脖的糖存攝在赤，警使衫對L槽T左I系言統(tǒng)毅在需頻右域夾進瘦行薄分掙析所成豬為向可旋能賭。逃本發(fā)質(zhì)尤上宿，傭卷傅積子特熱性學的也成跟立畜正巨是棒因湖為窄復(fù)琴指享數(shù)棍信仆號暢是夸一碑切L眉T損I系宰統(tǒng)忍的慮特卵征慕函默數(shù)駱。則若由表明：故夸有可將分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個通過LTI系統(tǒng)時都要受到系統(tǒng)與對應(yīng)的特征值的加權(quán)。這個特征值就是所以

由于的傅氏變換就是頻率為的復(fù)指數(shù)信號通過LTI系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸入信號在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

鑒于與是一一對應(yīng)的，因而LTI系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng)都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時，一般都限于對穩(wěn)定系統(tǒng)。因為，穩(wěn)定性保證了二省.L元T籠I系叢統(tǒng)詞的段頻丸域居分烤析浩法燈:根議據(jù)壞卷我積粥特樂性蘿,位可膊以誓對L痕T稈I系博統(tǒng)賴進現(xiàn)行封頻鬧域構(gòu)分魄析肆,喝其蜓過參程肝為純:1.由2.根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出3.4.4娛.縫5相激乘齊性結(jié)質(zhì)T稅h咸eM攤u傾l贊t甘i涼p宿l鳴i牛c弓a牢t齡i尾o錫n滅P柏r凡o鑄p撇e色r愁t叢y利股用屬對錦偶鴨性猴可鏟以從撤卷樂積熔性接質(zhì)芽得乎出鋒相青乘杰性通質(zhì)若則兩酸個名信環(huán)號賄在圍時仿域窯相卡乘泛，矩可升以刷看四成鬧是漏由許一童個跪信患號蹦控仰制欲另紹一比個籠信冷號低的挖幅蹈度嚷，心這移就改是幅付度瞇調(diào)反制。粘其明中獄一酒個殘信跳號凈稱和為載佳波，歷另枝一療個嘴是調(diào)戰(zhàn)制是信償號。例1:移頻性質(zhì)例加2飄.正婦弦絡(luò)幅有度恩調(diào)香制毯:1001/2正兵弦殲幅階度菠調(diào)襪制童等曉效鏈于偉在芝頻滴域炕將鳴調(diào)尾制笛信乒號喉的沾頻與譜標搬賠移谷到晚載哄頻挎位增置慘。例符3且.同典步變解抖調(diào)醬:1/21/41/4此時，用一個頻率特性為的系統(tǒng)即可從恢復(fù)出。20只要即可。具緞有臺此良頻獎率拜特貸性筋的L而T樣I系密統(tǒng)憶稱蝴為理駐想員低億通泄濾曉波夕器。例皇4柄.中錘心筑頻晶率眠可辭變恥的貞帶殼通琴濾牲波娘器僑：A1理想低通的頻率響應(yīng)1等亡效慮帶膊通拴濾性波湯器

相當于從中直接用一個帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個系統(tǒng)相當于一個中心頻率為的帶通濾波器，改變即可實現(xiàn)中心頻率可變。4.6傅立葉變換的性質(zhì)與傅立葉變換對列表(自學)工肚程粘實煉際窯中踏有爭相包當符廣雜泛軌的L確T影I系添統(tǒng)搞其炊輸基入枯輸門出蛇關(guān)游系銅可代以踏由洞一借個露線炊性賺常票系淘數(shù)免微富分名方屈程打描俗述耀。爺一孝般繼形雞式例的L笨C漫C票D糠E是始:4扭.猜7由菜線愁性控常紫系勁數(shù)易微沃分星方摩程酒表濱征閱的憶系豬統(tǒng)一暈.斥由L評C凡C歌D爹E描伏述度的L潔T婚I系泄統(tǒng)玻的趨頻吳率鳴特裂性拾:S裁y蜻s輔t淘e盡m脆s咽C任h傻a籠r帖a簡c大t老e蔥r綁i那z雹e慕d優(yōu)b守y辛L昌i念n武e坡a天r板C莫o威n怎s睜t唱a嫂n維t把-晨C勒o哲e秧f蜂f貍i姻c冰i航e覺n霸t養(yǎng)D宗i臭f叨f乎e馬r知e寧n科t捕i坦a經(jīng)l碗E鉆q團u莫a艱t芬i漲o亦n遷s由于是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此，當系統(tǒng)的輸入為時，系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)就是。表明在的情況下，求解LCCDE即可得到。但是這種方法太麻煩，很少使用。對L饞C柴C行D韻E兩遲邊析進形行詢傅扁立斤葉兆變?nèi)螕Q博有別：由于

可見由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)其頻率特性是一個有理函數(shù)。由此可以看出，對由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)，當需要求得其時(比如時域分析時)，往往是由做反變換得到。對日有北理炸函永數(shù)雅求遣傅從立亂葉訓反愈變樹換底通除常圈采休用部毅分疲分鳳式雕展版開和利推用帥?；\用壩變賞換蜻對進葉行餐。二斥.多頻助率輩響占應(yīng)所的咸求毫法蠻：1