自動(dòng)控制原理的復(fù)習(xí)總結(jié)

自動(dòng)控制原理的復(fù)習(xí)總結(jié)階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義是A,t<0t>0式中A為常數(shù)。A等于1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖所示。它表示為xr(t)=l(t),或xr(t)=u(t)單位階躍函數(shù)的拉氏變換為Xr(s)=L[1(t)]=1/s在t=0處的階躍信號(hào)，相當(dāng)于一個(gè)不變的信號(hào)突然加到系統(tǒng)上；對(duì)于恒值系統(tǒng)，相當(dāng)于給定值突然變化或者突然變化的擾動(dòng)量;對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，相當(dāng)于加一突變的給定位置信號(hào)斜坡函數(shù)這種函數(shù)的定義是'0,t<0")L,t>0式中A為常數(shù)。該函數(shù)的拉氏變換是Xr(s)=L[At]=A/s2這種函數(shù)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)中加入一按:恒速變化的位置信號(hào)，該恒速度為A。當(dāng)A=l時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)，如圖所示。拋物線函數(shù)如圖所示，這種函數(shù)的定義是0,t<0七⑴七t2,t>0式中A為常數(shù)。這種函數(shù)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)中加入一按照恒加速變化的位置信號(hào)，該恒加速度為A。拋物線函數(shù)的拉氏變換是Xr(s)=L[At2]=2A/s3當(dāng)A=1/2時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)即Xr(s)=1/s3。脈沖函數(shù)這種函數(shù)的定義是rn一一—,0<t<￡G—0)￡尤(t)={' 0,t<0,t>￡(￡T0)式中A為常數(shù)，8為趨于零的正數(shù)。脈沖函數(shù)的拉氏變換是「n1

Xr(s)=Llim-=nL￡項(xiàng)-當(dāng)A=1，8-0時(shí)，稱為單位脈沖函數(shù)5(t)，如圖所示。單位脈沖函數(shù)的面積等于1,即單位酷沖函數(shù)+■fw5(t)dt=1—3在t=t0處的單位脈沖函數(shù)用5(t-t0)來(lái)表示，它滿足如下條件幅值為無(wú)窮大、持續(xù)時(shí)間為零的脈沖純屬數(shù)學(xué)上的假設(shè)，但在系統(tǒng)分析中卻很有用處。單位脈沖函數(shù)5(t)可認(rèn)為是在間斷點(diǎn)上單位階躍函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即反之，單位脈沖函數(shù)5(t)的積分就是單位階躍函數(shù)。控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)對(duì)控制系統(tǒng)的一般要求歸納為穩(wěn)、準(zhǔn)、快。工程上為了定量評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能好壞，必須給出控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)的準(zhǔn)確定義和定量計(jì)算方法。1動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常有如下幾項(xiàng)：延遲時(shí)間t階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值h（8）的50%所需的時(shí)間。d上升時(shí)間t階躍響應(yīng)從終值的10%上升到終值的90%所需的時(shí)間；對(duì)有振蕩的系統(tǒng)，r也可定義為從0到第一次達(dá)到終值所需的時(shí)間。峰值時(shí)間t階躍響應(yīng)越過(guò)穩(wěn)態(tài)值h（8）達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。p調(diào)節(jié)時(shí)間t階躍響到達(dá)并保持在終值h（8）土5%誤差帶內(nèi)所需的最短時(shí)間;有時(shí)也用s終值的土2%誤差帶來(lái)定義調(diào)節(jié)時(shí)間。超調(diào)量。%峰值h（t）超出終值h（8）的百分比，即ph(t)一h(8)。％=—P x100%h(8)在上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)節(jié)時(shí)間t（描述“快”），超調(diào)量。%（描s述“勻”）以及峰值時(shí)間tp。2穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差是時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)實(shí)際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩(wěn)態(tài)誤差有不同定義，通常在典型輸入下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)一.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一些控制元部件及簡(jiǎn)單系統(tǒng)如RC網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機(jī)、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為R（s）=1/s，故輸出的拉氏變換式為1 1T ?—=_一 Ts+1ssTs+1取C（s）的拉氏反變換得c(t)=1-e-*t或?qū)懗?/p>

c(t)=c+c1- -——t式中，css=1,代表穩(wěn)態(tài)分量；ctt=-eT代表暫態(tài)分量。當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮，暫態(tài)分量衰減為零。顯然，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開(kāi)始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖所示。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)典型二階系統(tǒng)方框圖，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：()_C(s)_K/s(Ts+1)_K_ ①2&$=RS)=1+K/s(Ts+1)Ts2+s+K s2+2。①s+①2式中K?=‘—；

n\K?=‘—；

n\Tm3廠無(wú)阻尼自然頻率或固有頻率，…尸1Z--阻尼比，。^―-。2y二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為S2+2Z°nS+°2n=0其特征根為s1,2=-E士化2-1］氣1.臨界阻尼(Z=1)其時(shí)域響應(yīng)為c(t)=1—e-%(1+wt)n上式包含一個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)。c(t)上式包含一個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)。c(t)為一無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升曲線，如圖3-8b所示。(a) (b) (c)ZN1時(shí)二階系統(tǒng)的特征根的分布與單位階躍響應(yīng)2.過(guò)阻尼(。>1)具有兩個(gè)不同負(fù)實(shí)根［S1,S2=-(提&2—1)3」的慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)拉氏變換式。其時(shí)域響應(yīng)必然包含二個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng)，其動(dòng)態(tài)過(guò)程呈現(xiàn)非周期性，沒(méi)有超調(diào)和振蕩。圖為其特征根分布圖。3.欠阻尼(0<ZV1)4(0圖3-90<ZV1時(shí)二階系統(tǒng)特征根的分布圖3-10欠阻尼時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)4.無(wú)阻尼(1=0)C(v)=箕s(s2+①2)n其時(shí)域響應(yīng)為c(t)=1-cos3t在這種情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)為等幅(不衰減)振蕩，圖Z=0時(shí)特征根的分布 圖Z=0時(shí)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)負(fù)阻尼(ZV0)當(dāng)ZV0時(shí)，特征根將位于復(fù)平面的虛軸之右，其時(shí)域響應(yīng)中的e的指數(shù)將是正的時(shí)間函數(shù)，因而e-Q3n為發(fā)散的，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然，ZW0時(shí)的二階系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的，而在ZN1時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的速度又太慢，所以對(duì)二階系統(tǒng)而言，欠阻尼情況是最有實(shí)際意義的。下面討論這種情況下的二階系統(tǒng)的動(dòng)

態(tài)性能指標(biāo)。欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)上升時(shí)間tr上升時(shí)間tr是指瞬態(tài)響應(yīng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。兀一0K-0t= = '氣氣^-。2由此式可見(jiàn)，阻尼比Z越小，上升時(shí)間tr則越?。?；Z越大則tr越大。固有頻率3n越大，tr越小，反之則tr越大。 r r n峰值時(shí)間tp及最大超調(diào)量Mp最大超調(diào)量 M=c —c（8）=e-《「；\一2）兀最大超調(diào)百分?jǐn)?shù) 5%=Cmax—"8）=e-q/1-。2）兀.100%c C（8）3.調(diào)整時(shí)間tss11-3-七（5%）=疝［3—2頃1-。2）］^疝，0＜。＜0.707n n11-4-L（2%）=。--［4—2“（1-。2）］^。―,0＜。＜0.707nn圖3-13圖3-13二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一對(duì)包絡(luò)線圖3-14調(diào)節(jié)時(shí)間和阻尼比的近似關(guān)系根據(jù)以上分析，二階振蕩系統(tǒng)特征參數(shù)Z和3n與瞬態(tài)性能指標(biāo)（54.振蕩次數(shù)“在調(diào)整時(shí)問(wèn)ts之內(nèi)，輸出c（t）波動(dòng)的次數(shù)稱為振蕩次數(shù)佑顯然tH=—#—tf2兀 2兀式中七=—=一； ，稱為阻尼振蕩的周期時(shí)間。d n '成）= 1 2T2S2+2TS+1這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)瞬態(tài)特性指標(biāo)為：最大超調(diào)百分?jǐn)?shù)5 =e-《/,1Y2）兀x100%=4.3%%

上升時(shí)間兀-0=4.7T調(diào)整時(shí)間t（2%）=8.43T（用近似式求得為8T）

t（5%）=4.14T上升時(shí)間兀-0=4.7T調(diào)整時(shí)間S有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)其中Kk=4。求該系統(tǒng)的（1）固有頻率；（2）阻尼比；（3）超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間；（4）如果要求實(shí)現(xiàn)工程最佳參數(shù)Z=l/\G，開(kāi)環(huán)放大系數(shù)J值應(yīng)是多少？【解】系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為代）=氣七=4k對(duì)比得：（1）(2)阻尼比由2對(duì)比得：（1）(2)阻尼比由2知n①2 n s2+2。3s+32n n=.K=\：4=2k“ 1一=1得c=——=0.2523n孤)=(3)(4)超調(diào)8(%)=U'T-。2)nx100%=47%調(diào)整時(shí)間t(5%)? =6s(3)(4)n當(dāng)要求C=-^=時(shí)，由2知=1得①=7^，犬k=必2=。.5可見(jiàn)該系統(tǒng)要滿足工程最佳參數(shù)的要求，須降低開(kāi)環(huán)放大系數(shù)匕的值。但是，降低匕值將增大系統(tǒng)的誤差。勞斯穩(wěn)定判據(jù)將系統(tǒng)的特征方程式寫(xiě)成如下標(biāo)準(zhǔn)式asn+asn-1+asn-2+AA+as+a=0將各系數(shù)組成如下排列的勞斯表 nnsnaaaaAA0246sn-1aaaaAA1357sn-2bbbbAA1234sn-3ccccAA1234MMMMMMs2ee12s1fsog1表中的有關(guān)系數(shù)為7aa一aab=i2 TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"aiaa一aab=~4 ^-5aib a】a&-a^a.3 nAAAAAAAA系數(shù)b,?的計(jì)算，一直進(jìn)行到其余的b值全部等于零為止。ba-abbiba一abc= 1^-b1ba一abc—17 b1AAAAAAAA這一計(jì)算過(guò)程，一直進(jìn)行到n行為止。為了簡(jiǎn)化數(shù)值運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，這時(shí)并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。(l)第一列所有系數(shù)均不為零的情況第一列所有系數(shù)均不為零時(shí)，勞斯判據(jù)指出，特征方程式的實(shí)部為正實(shí)數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。方程式的根全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是，方程式的各項(xiàng)系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號(hào)。例如，三階系統(tǒng)的特征方程式為T(mén)OC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"as3+as2+as+a—0

0 12 3列出勞斯表為\o"CurrentDocument"s3 a a0 2\o"CurrentDocument"s2 a a\o"CurrentDocument"1 3aa一aa

s1 12 a1s0 a3則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是a>0,a>0,a>0,a>0,(aa-aa)>00 1 2 3 12 03系統(tǒng)的特征方程為S5+2S4+s3+3s2+4s+5=0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解計(jì)算勞斯表中各元素的數(shù)值，并排列成下表TOC\o"1-5"\h\zS5 114S4 2 3 5S3-130S2 9 5 0s132s0 5由上表可以看出，第一列各數(shù)值的符號(hào)改變了兩次，由+2變成-1，又由-1改變成+9。因此該系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（2）某行第一列的系數(shù)等于零而其余項(xiàng)中某些項(xiàng)不等于零的情況在計(jì)算勞斯表中的各元素的數(shù)值時(shí)，如果某行的第一列的數(shù)值等于零，而其余的項(xiàng)中某些項(xiàng)不等于零，那么可以用一有限小的數(shù)值8來(lái)代替為零的那一項(xiàng)，然后按照通常方法計(jì)算陣列中其余各項(xiàng)。如果零（8）上面的系數(shù)符號(hào)與零（8）下面的系數(shù)符號(hào)相反，則表明這里有一個(gè)符號(hào)變化。例如，對(duì)于下列特征方程式S4+2S3+s2+2s+1=0勞斯表為T(mén)OC\o"1-5"\h\zs4 1 1 1s3 2 2 0s28（Q0）1s1 2--8s0 1_…，，，，一—，皿 工，c2 …現(xiàn)在觀察第一列中的各項(xiàng)數(shù)值。當(dāng)8趨近于零時(shí)，2-—的值是一很大的負(fù)值，因此可8以認(rèn)為第一列中的各項(xiàng)數(shù)值的符號(hào)改變了兩次。由此得出結(jié)論，該系統(tǒng)特征方程式有兩個(gè)根具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果零（8）上面的系數(shù)符號(hào)與零（8）下面的系數(shù)符號(hào)不變，則表示系統(tǒng)有純虛根。例如，對(duì)下列特征方程式s3+2s2+s+2=0勞斯表為s311s222s1 8s02可以看出，第一列各項(xiàng)中8的上面和下面的系數(shù)符號(hào)不變，故有一對(duì)虛根。將特征方程式分解，有(s2+1)(s+2)=0解得根為_(kāi)〃1,2=±兀-P3=~2(3)某行所有各項(xiàng)系數(shù)均為零的情況如果勞斯表中某一行的各項(xiàng)均為零，或只有等于零的一項(xiàng)，這表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等但符號(hào)相反的特征根。在這種情況下，可利用全零行的上一行各系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，式中s均為偶次。將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)，用所得的導(dǎo)數(shù)方程系數(shù)代替全零行，然后繼續(xù)計(jì)算下去。至于這些大小相等，符號(hào)相反的根，可以通過(guò)解輔助方程得到。系統(tǒng)特征方程式為s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解勞斯表中的s6?s3各項(xiàng)為s6 1 82016TOC\o"1-5"\h\zs5 2 12 16 0s4 16 8s3 0 0 0由上表可以看出，s3行的各項(xiàng)全部為零。為了求出s3-s0各項(xiàng)，將s4行的各項(xiàng)組成輔助方程為A(s)=s4+6s2+8將輔助方程A(s)對(duì)s求導(dǎo)數(shù)得dA(s) =4s3+12sds用上式中的各項(xiàng)系數(shù)作為s3行的各項(xiàng)系數(shù)，并計(jì)算以下各行的各項(xiàng)系數(shù)，得勞斯表為T(mén)OC\o"1-5"\h\zs6 1 8 20 16ss 2 12 16 0s4 1 6 8s3 4 12s2 3 84s1 —s0 8從上表的第一列可以看出，各項(xiàng)符號(hào)沒(méi)有改變，因此可以確定在右半平面沒(méi)有特征方程式的根。另外，由于s3行的各項(xiàng)皆為零，這表示有共軛虛根。這些根可由輔助方程求出。本例中的輔助方程式是s4+6s2+8=0由之求得特征方程式的大小相等符號(hào)相反的虛根為?=±j克，一P3,4=±j2，"5,6=-1土j2穩(wěn)態(tài)誤差及其計(jì)算誤差本身是時(shí)間t的函數(shù)，在時(shí)域中以。&)表示。穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差,s，即為誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量，則穩(wěn)態(tài)誤差為e=lime(t)=limse(s)t—3 S—0系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)E(s)_ 1RtS)—1+G(s)H(s)E(s)=——R(S)—1+G(s)H(s)將系統(tǒng)誤差的拉氏變換E(s)代入(3-38)，得穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算公式為e=lim—sR(s)_1+G(s)H(s)S—0控制系統(tǒng)的型別控制系統(tǒng)的一般開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以寫(xiě)成kn(Ts+1)G(s)H(s)= ——snn1(Ts+1)=1式中Kk為開(kāi)環(huán)放大系數(shù)或稱為開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)；T、T為時(shí)間常數(shù)；N表示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)。這是一個(gè)很重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)。根據(jù)N的數(shù)值，可將系統(tǒng)分為幾種不同類型。N=0的系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)；N=1的系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)；N=2的系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)。當(dāng)N>2時(shí)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定是很困難的。因此，一般采用的是0型、I型和II型系統(tǒng)。典型輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于不同輸入函數(shù)，下面分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍輸入(R(s)=上)下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，由式(3-40)得Se=lim S 1= 1 SS 1+G(s)H(S)s 1+G(s)H(S)S—0定義k=limG(S)H(S)S—0kp稱為位置誤差系數(shù)，則1

e= SS1+Kp0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

1e= ss1+KkI型或高于I型的系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為e=02.1e= ss1+KkI型或高于I型的系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差為e=02.單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡輸入(R&)=—)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差

s2ess=lim s ._!= 1 1+G(s)H(s)s2limsG(s)H(s)st0st0定義=limsG(s)H(s)sT0Kv稱為速度誤差系數(shù)。e

ssKV對(duì)于0型系統(tǒng)所以對(duì)于I型系統(tǒng)].Kkn