噪聲與隨機(jī)信號(hào)分析課件

1數(shù)字通信(第六講)噪聲與隨機(jī)信號(hào)分析2015YupingZhao(Professor)趙玉萍DepartmentofElectronicsPekingUniversityBeijing100871,Chinaemail:yuping.zhao@1數(shù)字通信(第六講)YupingZhao(Profe12通信中的常見噪聲分析2通信中的常見噪聲分析23

白噪聲白噪聲的定義：功率譜密度函數(shù)在整個(gè)頻域(-∞<ω<+∞)內(nèi)是常數(shù)的噪聲不符合上述條件的噪聲稱為有色噪聲白噪聲的功率譜密度函數(shù)

n0是一個(gè)常數(shù)，單位為W/Hz3白噪聲白噪聲的定義：功率譜密度函數(shù)在整個(gè)頻域(-∞<ω<34白噪聲的自相關(guān)函數(shù)由于功率信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)R(τ)互為傅氏變換對(duì)因此，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)位于τ=0處的沖激函數(shù)，即白噪聲只有在n0/2時(shí)才相關(guān)，而在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的隨機(jī)取值都是不相關(guān)的。4白噪聲的自相關(guān)函數(shù)由于功率信號(hào)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)45高斯噪聲高斯噪聲的定義：概率密度函數(shù)服從高斯分布（即正態(tài)分布）的噪聲。

式中，a為噪聲的數(shù)學(xué)期望值，也就是均值；σ2為噪聲的方差。通常，通信信道中噪聲的均值a=0。5高斯噪聲高斯噪聲的定義：概率密度函數(shù)服從高斯分布（即正態(tài)分56在噪聲均值為零時(shí)，噪聲的平均功率等于噪聲的方差。因?yàn)樵肼暤钠骄β蕿?/p>

而噪聲的方差為所以Pn=σ26在噪聲均值為零時(shí)，噪聲的平均功率等于噪聲的方差。67通信系統(tǒng)中常常使用誤差函數(shù)計(jì)算高斯分布函數(shù)中的小概率事件所占的比例標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)高斯通道下當(dāng)發(fā)射+1與-1的概率相同時(shí)，得到的接收信號(hào)pdf函數(shù)為：7通信系統(tǒng)中常常使用誤差函數(shù)計(jì)算高斯分布函數(shù)中的小概率事件所78誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)的主要性質(zhì)8誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)的主要性質(zhì)89誤差函數(shù)的其他表示方法許多通信系統(tǒng)采用Q(X)函數(shù)表示誤碼率9誤差函數(shù)的其他表示方法許多通信系統(tǒng)采用Q(X)函數(shù)表示誤碼910兩種誤差函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)10兩種誤差函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)1011帶通系統(tǒng)中的高斯噪聲1 定義與表達(dá)式高斯噪聲通過以ωc為中心的窄帶系統(tǒng)可形成窄帶高斯噪聲。特點(diǎn)：頻譜局限在±ωc附件很窄的頻率范圍內(nèi)，包絡(luò)和相位作緩慢隨機(jī)變化。窄帶高斯噪聲n(t)可表示為

ρ(t)為噪聲n(t)的隨機(jī)包絡(luò)，φ(t)為噪聲n(t)的隨機(jī)相位。11帶通系統(tǒng)中的高斯噪聲1 定義與表達(dá)式1112窄帶高斯噪聲的另外一種表達(dá)式為其中

式中nc(t)及ns(t)分別稱為n(t)的同相分量和正交分量。12窄帶高斯噪聲的另外一種表達(dá)式為12132 統(tǒng)計(jì)特性(1)一個(gè)均值為零，方差為σx2的窄帶高斯噪聲n(t)，假定它是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的同相分量nc(t)、正交分量ns(t)同樣是平穩(wěn)高斯噪聲，且均值都為零，方差也相同，即

其中 這里，σx2、σc2、σs2分別表示窄帶高斯噪聲n(t)、同相分量nc(t)和正交分量ns(t)的方差（亦即功率）。132 統(tǒng)計(jì)特性1314(2)一個(gè)均值為零，方差為σx2的窄帶高斯噪聲n(t)，假定它是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則其隨機(jī)包絡(luò)ρ(t)服從瑞利分布，相位φ(t)服從均勻分布，即

p(ρ)和p(φ)的波形如下圖所示。14(2)一個(gè)均值為零，方差為σx2的窄帶高斯噪聲n(t1415在通信系統(tǒng)中，概率論與隨機(jī)過程是重要的數(shù)學(xué)工具。接收機(jī)的設(shè)計(jì)：接收機(jī)的作用是設(shè)法去除信道對(duì)隨機(jī)信源的影響，恢復(fù)出原始的隨機(jī)信源信號(hào)。系統(tǒng)性能評(píng)估：性能評(píng)估實(shí)際上是對(duì)接收機(jī)恢復(fù)原始信源能力的評(píng)估。這種評(píng)估一般用錯(cuò)誤概率來表示。接收信號(hào)的數(shù)學(xué)描述：接收機(jī)的主要工作是根據(jù)接收信號(hào)估計(jì)出發(fā)射信號(hào)：系統(tǒng)評(píng)估準(zhǔn)則（使誤差最小化）：接收信號(hào)（隨機(jī)）信道特征（隨機(jī)）信源（隨機(jī)）噪聲（隨機(jī)）15在通信系統(tǒng)中，概率論與隨機(jī)過程是重要的數(shù)學(xué)工具。接收信號(hào)1516

在任何通信系統(tǒng)中，高斯噪聲都是存在的，它作為加性噪聲疊加到接收信號(hào)上高斯噪聲的表達(dá)式16 在任何通信系統(tǒng)中，高斯噪聲都是存在的，它作為加性噪聲疊1617聯(lián)合事件

考慮兩個(gè)事件，其聯(lián)合概率記做P(A,B)，聯(lián)合概率滿足以下條件且;;17聯(lián)合事件考慮兩個(gè)事件，其聯(lián)合概率記做P(A,B)，1718統(tǒng)計(jì)獨(dú)立事件A的發(fā)生不依賴事件B的發(fā)生，即

高斯噪聲符合這一準(zhǔn)則：18統(tǒng)計(jì)獨(dú)立事件A的發(fā)生不依賴事件B的發(fā)生，即高斯噪聲1819隨機(jī)變量的和假設(shè)Xi,i=1,2,…n是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量，有限均值mx，有限方差x2。Y定義為歸一化總和，稱為樣本平均

Y的均值

Y的方差19隨機(jī)變量的和假設(shè)Xi,i=1,2,…n是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且1920若Y沒有被歸一化，即，其它條件同上，則有

均值：

方差：問題:在高斯信道中，將固定數(shù)據(jù)重復(fù)發(fā)送后，求系統(tǒng)信噪比的變化信噪比的定義為：結(jié)論:方差只是原來的n倍!20若Y沒有被歸一化，即2021接收信號(hào)相加之后，噪聲的方差變?yōu)?，信?hào)的幅度加倍，能量則變?yōu)樵瓉淼?倍。則信噪比變?yōu)椋航Y(jié)論：在加性高斯白噪聲通道中，若某發(fā)射信號(hào)重復(fù)發(fā)射兩次，接收端將兩次接收結(jié)果相加，則接收信號(hào)信噪比有2倍的提高。單發(fā)一次時(shí)，信號(hào)能量若同樣信號(hào)發(fā)送兩次，接收端將兩次信號(hào)相加，則有此時(shí)信號(hào)能量為，噪聲方差為解答:為了提高接收端的信噪比，可以將一個(gè)數(shù)據(jù)重復(fù)發(fā)送并在接收端進(jìn)行求和，可以提高接收信號(hào)的信噪比21接收信號(hào)相加之后，噪聲的方差變?yōu)?，信?hào)2122擴(kuò)展：結(jié)論：在加性高斯白噪聲通道中，若某發(fā)射信號(hào)重復(fù)發(fā)射N次，接收端將N次接收結(jié)果相加，則接收信號(hào)信噪比有N倍的提高。思考題：假設(shè)你在進(jìn)行通信系統(tǒng)仿真，現(xiàn)在需要仿真系統(tǒng)信噪比為10dB時(shí)的特性，假設(shè)發(fā)射信號(hào)的平均功率為1，需要自己產(chǎn)生高斯噪聲并加到發(fā)射信號(hào)上，問1，假設(shè)每個(gè)信號(hào)只傳輸一次，那么產(chǎn)生的高斯噪聲的均值與方差是多少？2，假設(shè)同樣信號(hào)傳輸8次，那么產(chǎn)生的高斯噪聲的均值與方差是多少？22擴(kuò)展：思考題：2223問題擴(kuò)展同樣的信號(hào)重復(fù)發(fā)送兩次，兩次的幅度可能不同，經(jīng)過信道疊加噪聲之后分別為和，接收端對(duì)兩個(gè)接收信號(hào)以一定比例合并：討論：接收端以怎樣的比例合并可以使接收信噪比達(dá)到最大？

23問題擴(kuò)展2324問題分析已知：求為了使：假設(shè)：1.每次發(fā)送時(shí)的加性高斯噪聲功率不變

2.原始信號(hào)功率

3.原始信噪比24問題分析已知：2425理論推導(dǎo)

接收信號(hào)為：信號(hào)平均功率為：噪聲平均功率為：信噪比為：25理論推導(dǎo)接收信號(hào)為：2526理論推導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)：

要使

26理論推導(dǎo)對(duì)求導(dǎo)：2627理論推導(dǎo)

結(jié)論：

上述合并方法被稱為最大比合并27理論推導(dǎo)上述合并方法被稱為最大比合并2728討論如下信號(hào)的合并方法tT2T當(dāng)信號(hào)有加性高斯噪聲，如何得到最大信噪比的信號(hào)？合并后的信噪比增大了多少倍？28討論如下信號(hào)的合并方法tT2T當(dāng)信號(hào)有加性高斯噪聲，如何2829討論如下信號(hào)的合并方法tT2T當(dāng)信號(hào)有加性高斯噪聲，如何得到最大信噪比的信號(hào)？合并后的信噪比增大了多少倍？29討論如下信號(hào)的合并方法tT2T當(dāng)信號(hào)有加性高斯噪聲，如何2930討論如下信號(hào)的合并方法當(dāng)接收信號(hào)有加性高斯噪聲時(shí)，如果發(fā)端信號(hào)為Sinc(x)，接收端將信號(hào)合并時(shí)，也應(yīng)采用Sinc(x)作為其信號(hào)加權(quán)的權(quán)重這就是接收端最大比合并，這也是匹配濾波的原理30討論如下信號(hào)的合并方法當(dāng)接收信號(hào)有加性高斯噪聲時(shí)，如果發(fā)3031關(guān)于最大比合并中噪聲的討論要保證接收信號(hào)的信噪比為某一確定值，在采樣率確定情況下，如何在信號(hào)采樣點(diǎn)上加噪聲？31關(guān)于最大比合并中噪聲的討論要保證接收信號(hào)的信噪比為某一確3132高斯信號(hào)的產(chǎn)生方法應(yīng)用中心極限定理應(yīng)用隨機(jī)信號(hào)的函數(shù)的方法32高斯信號(hào)的產(chǎn)生方法應(yīng)用中心極限定理3233中心極限定理

假設(shè)Xi,i=1,2,…n

是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量，有限均值mx，有限方差x2。定義歸一化隨機(jī)變量(零均值和單位方差)令當(dāng)n時(shí)，Y的極限分布為高斯分布。33中心極限定理假設(shè)Xi,i=1,2,…n是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立3334[0~1]的均勻分布(一次記錄)rand();高斯信號(hào)產(chǎn)生方法134[0~1]的均勻分布(一次記錄)rand();3435多次[0~1]的均勻分布的PDF直方圖35多次[0~1]的均勻分布的PDF直方圖35366次事件相加，高斯分布？366次事件相加，高斯分布？363760次事件相加，高斯分布？3760次事件相加，高斯分布？37隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X，已知其概率密度函數(shù)為p(x)，設(shè)有另一個(gè)隨機(jī)變量Y可以表示成X的確定函數(shù)。求隨機(jī)變量Y

的pdf函數(shù)

該問題的引申：--給定某隨機(jī)序列并已知其概率密度函數(shù)，將該隨機(jī)序列進(jìn)行特定變換后得到序列的pdf函數(shù)是什么？--給定某隨機(jī)序列并已知其概率密度函數(shù)，現(xiàn)在需要根據(jù)該隨機(jī)序列得到符合某種pdf函數(shù)的隨機(jī)序列，如何進(jìn)行？隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X，已知其概率密度函數(shù)為p(x)3839例：設(shè)隨機(jī)變量X，概率密度函數(shù)給定p(x)，另一個(gè)隨機(jī)變量Y

定義為：

第一步：確定Y的概率分布函數(shù)

x0求Y的pdf函數(shù)39例：設(shè)隨機(jī)變量X，概率密度函數(shù)給定p(x)，另一個(gè)隨3940第二步：微分，得到Y(jié)的概率密度函數(shù)

則

也可以寫成上述的結(jié)果相應(yīng)的是方程的兩個(gè)解。

40第二步：微分，得到Y(jié)的概率密度函數(shù)則也可以寫成上述的4041一般情況，如果x1,x2,...,xn是方程g(x)=y的實(shí)數(shù)解(即x用y表示的解)，x的概率密度函數(shù)為p(x)，則隨機(jī)變量Y=g(X)的概率密度函數(shù)為41一般情況，如果x1,x2,...,xn是方程g(4142高斯信號(hào)產(chǎn)生方法2產(chǎn)生(0,1)之間的均勻分布序列U[0,2π)之間的均勻分布θ（相位）得到參數(shù)為σ的瑞利分布X（幅度）得到N(0,σ2)的高斯分布Y（復(fù)數(shù)）42高斯信號(hào)產(chǎn)生方法2產(chǎn)生(0,1)之間的均勻分布序列U4243仿真中出現(xiàn)的實(shí)際問題如何觀察噪聲的大小實(shí)部與虛部疊加的噪聲方法仿真經(jīng)驗(yàn)43仿真中出現(xiàn)的實(shí)際問題如何觀察噪聲的大小4344利用星座圖觀察噪聲正確的星座圖44利用星座圖觀察噪聲正確的星座圖4445利用星座圖觀察噪聲錯(cuò)誤的星座圖1噪聲實(shí)部大于虛部45利用星座圖觀察噪聲錯(cuò)誤的星座圖14546利用星座圖觀察噪聲錯(cuò)誤的星座圖2噪聲僅有實(shí)部46利用星座圖觀察噪聲錯(cuò)誤的星座圖24647利用星座圖觀察噪聲xnoisy=x+sigma*randn(size(x));47利用星座圖觀察噪聲xnoisy=x+sigma4748利用星座圖觀察噪聲xnoisy=x+sigma*randn(size(x))*(1+i);48利用星座圖觀察噪聲xnoisy=x+sigma4849利用星座圖觀察噪聲正確的加噪聲方法是給實(shí)部和虛部分別加噪聲xnoisy_real=real(x)+sigma*randn(size(x));xnoisy_imag=imag(x)+sigma*randn(size(x));xnoisy=xnoisy_real+i*xnoisy_imag;49利用星座圖觀察噪聲正確的加噪聲方法是給實(shí)部和虛部分別加噪4950利用星座圖觀察噪聲正確的星座圖50利用星座圖觀察噪聲正確的星座圖5051不同信噪比下接收信號(hào)星座圖51不同信噪比下接收信號(hào)星座圖5152隨機(jī)信號(hào)分析52隨機(jī)信號(hào)分析5253關(guān)于發(fā)射信號(hào)頻譜特性的討論概率論與隨機(jī)過程的幾個(gè)基本定義關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)過程關(guān)于自相關(guān)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)隨機(jī)變量的互相關(guān)函數(shù)關(guān)于功率譜密度53關(guān)于發(fā)射信號(hào)頻譜特性的討論概率論與隨機(jī)過程的幾個(gè)基本定義5354概率分布函數(shù)(cdf)概率密度函數(shù)54概率分布函數(shù)(cdf)概率密度函數(shù)5455555556多維隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)離散序列（時(shí)間、幅度均離散）：56多維隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)離散序列（時(shí)間5657均值N階矩N

階中心矩方差幾個(gè)概率統(tǒng)計(jì)函數(shù)的定義57均值N階矩N階中心矩方差幾個(gè)概率統(tǒng)計(jì)函數(shù)的定義5758隨機(jī)過程是帶有參數(shù)t的隨機(jī)變量，t一般是時(shí)間。在任一確定時(shí)刻，隨機(jī)過程都是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)過程可以由它的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)來描述。隨機(jī)變量可以表示為X(t),X(t)可以是連續(xù)的也可以是離散的。

隨機(jī)變量的取樣:t1>t2>t2>…tnX

t1,

X

t2,…,X

t2隨機(jī)過程58隨機(jī)過程是帶有參數(shù)t的隨機(jī)變量，t一般是時(shí)間。在任一確定5859平穩(wěn)隨機(jī)過程（嚴(yán)平穩(wěn)，狹義平穩(wěn)）如果對(duì)于所有的t

和n滿足否則隨即過程是非平穩(wěn)的。即pdf函數(shù)不隨時(shí)間改變，統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間改變。59平穩(wěn)隨機(jī)過程（嚴(yán)平穩(wěn)，狹義平穩(wěn)）否則隨即過程是非平穩(wěn)的。5960

統(tǒng)計(jì)平均隨機(jī)過程Xt

的兩個(gè)取樣X

ti,i=1,2（兩個(gè)隨機(jī)變量）。X

ti,i=1,2

的相關(guān)函數(shù)定義為Xt

的自相關(guān)函數(shù)對(duì)于平穩(wěn)過程，是不隨t變化的，其值只是與有關(guān)，則有：

其中=t1-t2自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：偶函數(shù)60統(tǒng)計(jì)平均隨機(jī)過程Xt的兩個(gè)取樣Xti,i=1,26061自協(xié)方差函數(shù)對(duì)于平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)隨機(jī)過程：過程的均值與時(shí)間無關(guān)，此時(shí)只需滿足關(guān)于平穩(wěn)隨機(jī)過程：狹義平穩(wěn)：p(x)不隨時(shí)間變化；寬平穩(wěn)：不隨時(shí)間變化，即x(t)的均值不隨時(shí)間變化。61自協(xié)方差函數(shù)對(duì)于平穩(wěn)過程寬平穩(wěn)隨機(jī)過程：過程的均值與時(shí)間6162自相關(guān)函數(shù)連續(xù)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)

意義：函數(shù)值v(t)與自身平移后的函數(shù)值v(t-)之間的相似性自相關(guān)系數(shù)：歸一化的自相關(guān)函數(shù)62自相關(guān)函數(shù)連續(xù)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)6263離散序列的自相關(guān)函數(shù)離散序列的自相關(guān)函數(shù)

意義：序列x(n)與自身平移m后的值x(n-m)之間的相似性離散序列的自相關(guān)系數(shù)：自相關(guān)函數(shù)的歸一化表示過程Xt的平均功率63離散序列的自相關(guān)函數(shù)離散序列的自相關(guān)函數(shù)表示過程Xt的平6364自相關(guān)函數(shù)的物理意義：()的物理意義在于表征隨機(jī)變量x(t)在相隔時(shí)間間隔情況下其取值的相關(guān)性（相似程度）的平均值。問題：1.某時(shí)間函數(shù)為f(t)=1，-∞<t<∞，那么其自相關(guān)函數(shù)是怎樣的？2.序列為高斯噪聲隨機(jī)序列，序列的每個(gè)取值都不具有相關(guān)性，那么其自相關(guān)函數(shù)是怎樣的？64自相關(guān)函數(shù)的物理意義：()的物理意義在于表征隨機(jī)變量6465例：隨機(jī)函數(shù)的變化快慢與自相關(guān)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系設(shè)：1.X1(t)較之X2(t)隨時(shí)間變化慢。2.兩隨機(jī)函數(shù)采樣時(shí)間間隔相同問：如下兩個(gè)自相關(guān)函數(shù)的圖分別對(duì)應(yīng)X1(t)與X2(t)中的哪一個(gè)？X1(t)()()X2(t)tt5510無線系統(tǒng)實(shí)際意義：對(duì)于隨距離變化的信道參數(shù)，以相同的時(shí)間間隔，不同的移動(dòng)速度取樣65例：隨機(jī)函數(shù)的變化快慢與自相關(guān)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系X1(t)6566互相關(guān)函數(shù)設(shè)實(shí)信號(hào)為v(t)與w(t)，為考察兩函數(shù)的相似性，定義互相關(guān)函數(shù)為：

意義：函數(shù)v(t)與函數(shù)w(t)平移后之間的相似性。 相關(guān)函數(shù)與信號(hào)幅度有關(guān)!設(shè)離散信號(hào)為x(n)和y(n)，定義互相關(guān)函數(shù)為：66互相關(guān)函數(shù)設(shè)實(shí)信號(hào)為v(t)與w(t)，為考察兩函6667隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)設(shè)x(t),y(t)為隨機(jī)變量，p(x,y)為其聯(lián)合概率密度函數(shù)，則x,y的聯(lián)合二階矩為

聯(lián)合二階矩給出了函數(shù)x,y的相似性設(shè)m,n為離散隨機(jī)變量，p(m,n)為其聯(lián)合概率密度函數(shù)，則m,n的聯(lián)合二階矩為67隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)設(shè)x(t),y(t)為隨機(jī)變量，p6768聯(lián)合中心矩：協(xié)方差

這里mx,my為x,y的均值。 聯(lián)合中心矩給出了函數(shù)x,y與各自均值之差的相關(guān)性。68聯(lián)合中心矩：協(xié)方差 6869協(xié)方差(Covariance)幾點(diǎn)討論相關(guān)函數(shù)：表征兩個(gè)隨機(jī)變量值的相似性協(xié)方差：表征兩個(gè)隨機(jī)變量變化的相似性相關(guān)系數(shù)：協(xié)方差的歸一化，表征兩個(gè)隨機(jī)變量變化的相似性（不考慮變量的值）69協(xié)方差(Covariance)幾點(diǎn)討論6970互相關(guān)系數(shù)的求法連續(xù)隨機(jī)變量：離散隨機(jī)變量：離散隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的實(shí)際求法：70互相關(guān)系數(shù)的求法連續(xù)隨機(jī)變量：離散隨機(jī)變量：離散隨機(jī)變量70ttX(t)y(t)互相關(guān)函數(shù)的物理意義；兩個(gè)隨機(jī)變量取值的相關(guān)性互協(xié)方差函數(shù)的物理意義；兩個(gè)隨機(jī)變量相對(duì)于其均值變化的相關(guān)性ttX(t)y(t)互相關(guān)函數(shù)的物理意義；兩個(gè)隨機(jī)變量取值的7172

關(guān)于獨(dú)立與相關(guān)的討論相互獨(dú)立

(Statisticallyindependent)：概率密度函數(shù)沒有相互關(guān)系相關(guān)函數(shù)(Correlationfunction)：不相關(guān)(Uncorrelated)：乘積的均值等于均值的乘積兩信號(hào)獨(dú)立則一定是不相關(guān)的，但不相關(guān)不能保證獨(dú)立不相關(guān)

獨(dú)立正交(Orthogonality)72關(guān)于獨(dú)立與相關(guān)的討論不相關(guān)獨(dú)立7273正交(Orthogonality)不相關(guān)(Uncorrelated)結(jié)論：如果隨機(jī)過程是平穩(wěn)的，那么他們的相關(guān)函數(shù)只和有關(guān)，否則和t與均有關(guān)。，

73正交(Orthogonality)，7374例子考慮股票漲跌股票A均值為100；股票B均值為10；漲跌情況完全不同，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其協(xié)方差為0，根據(jù)公式得到相關(guān)系數(shù)（均值的乘積）=1000；結(jié)論：兩個(gè)隨機(jī)量的變化相關(guān)性不能使用相關(guān)函數(shù)，而應(yīng)使用協(xié)方差函數(shù)（將均值去掉）或相關(guān)系數(shù)。74例子考慮股票漲跌74仿真問題：給出一個(gè)隨機(jī)序列x=(a1,a2,…ak,…)，仿真如何求出該隨機(jī)變量的均值，方差序列的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)系數(shù)給出兩個(gè)隨機(jī)序列x=(a1,a2,…ak,…)，y=(b1,b2,…bk,…)，仿真如何求出該隨機(jī)變量的互相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)系數(shù)仿真問題：給出一個(gè)隨機(jī)序列x=(a1,a2,…ak,…)，仿7576復(fù)隨機(jī)過程

自相關(guān)函數(shù)注意：隨機(jī)變量共軛76復(fù)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)注意：隨機(jī)變量共軛7677對(duì)于兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)

and注意：隨機(jī)變量共軛77對(duì)于兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)and注意：隨機(jī)變量共軛7778例設(shè)信號(hào)序列Sk

滿足遞推式,其中，為噪聲，噪聲和信號(hào)相互獨(dú)立。未加噪聲時(shí)信號(hào)方差為1，求加噪聲后信號(hào)序列的自相關(guān)函，。